जॉर्डन आव्यूह

मैट्रिक्स (गणित) के गणित अनुशासन में, एक जॉर्डन मैट्रिक्स, जिसका नाम केमिली जॉर्डन के नाम पर रखा गया है, एक रिंग (गणित) के ऊपर एक ब्लॉक मैट्रिक्स है R (जिसका पहचान तत्व 0 (संख्या) 0 और 1 (संख्या) 1 है), जहां विकर्ण के साथ प्रत्येक ब्लॉक, जिसे जॉर्डन ब्लॉक कहा जाता है, का निम्न रूप है:

$${\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.$$

परिभाषा

प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक को उसके आयाम n और उसके eigenvalue द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है $\lambda \in R$, और के रूप में दर्शाया गया है J_λ,n. यह है एक $n\times n$ विकर्ण को छोड़कर हर जगह शून्य का मैट्रिक्स, जो भरा हुआ है $\lambda$ और अतिविकर्ण के लिए, जो एक से बना है।

कोई भी ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स जिसके ब्लॉक जॉर्डन ब्लॉक हैं उसे जॉर्डन मैट्रिक्स कहा जाता है। यह (n₁ + ⋯ + n_r) × (n₁ + ⋯ + n_r) वर्ग मैट्रिक्स, से मिलकर r विकर्ण ब्लॉकों को सघन रूप से दर्शाया जा सकता है $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ या $\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)$, जहां i-th जॉर्डन ब्लॉक है J_λi,ni.

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स

$$J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]$$

एक है 10 × 10 जॉर्डन मैट्रिक्स ए के साथ 3 × 3 eigenvalue के साथ ब्लॉक करें 0, दो 2 × 2 काल्पनिक इकाई को eigenvalue के साथ ब्लॉक करता है i, और ए 3 × 3 eigenvalue 7 के साथ ब्लॉक। इसकी जॉर्डन-ब्लॉक संरचना या तो लिखी गई है $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$ या diag(J_0,3, J_i,2, J_i,2, J_7,3).

रेखीय बीजगणित

कोई n × n वर्ग मैट्रिक्स A जिनके तत्व बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में हैं K जॉर्डन मैट्रिक्स के समान मैट्रिक्स है J, मे भी $\mathbb {M} _{n}(K)$, जो अपने विकर्ण ब्लॉकों के क्रमपरिवर्तन तक अद्वितीय है। J को जॉर्डन का सामान्य रूप कहा जाता है A और विकर्णीकरण प्रक्रिया के सामान्यीकरण से मेल खाता है। एक विकर्णीय मैट्रिक्स, वास्तव में, जॉर्डन मैट्रिक्स के एक विशेष मामले के समान है: वह मैट्रिक्स जिसके सभी ब्लॉक हैं 1 × 1. अधिक सामान्यतः, जॉर्डन मैट्रिक्स दिया गया है $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$, अर्थात्, किसका kवां विकर्ण ब्लॉक, $1\leq k\leq N$, जॉर्डन ब्लॉक है J_λk,mk और जिनके विकर्ण तत्व ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{}$