बीटा फलन

This article is about the Euler beta function. For other uses, see बीटा फलन (disambiguation).

File:Beta function contour plot.png

Contour plot of the beta function

File:Beta Function plotted in the complex plane in three dimensions with Mathematica 13.1's ComplexPlot3D.svg

Beta function plotted in the complex plane in three dimensions with Mathematica 13.1's ComplexPlot3D

का कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी|थंब|बीटा फ़ंक्शन जटिल विमान में गणित 13.1 के कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी के साथ तीन आयामों में प्लॉट किया गया]]गणित में, बीटा फ़ंक्शन, जिसे पहली तरह का यूलर इंटीग्रल (बहुविकल्पी) भी कहा जाता है, एक विशेष फ़ंक्शन है जो गामा फ़ंक्शन और द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित है। इसे अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt$

सम्मिश्र संख्या इनपुट के लिए

$z_{1},z_{2}$ ऐसा है कि $\Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0$.

बीटा फ़ंक्शन का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा किया गया था और इसे जैक्स फिलिप मैरी बिनेट द्वारा इसका नाम दिया गया था; इसका प्रतीक Β एक ग्रीक वर्णमाला का कैपिटल बीटा (अक्षर) है।

गुण

बीटा फ़ंक्शन सममित फ़ंक्शन है, जिसका अर्थ है $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})$ सभी इनपुट के लिए $z_{1}$ और $z_{2}$. बीटा फ़ंक्शन की एक प्रमुख संपत्ति गामा फ़ंक्शन से इसका घनिष्ठ संबंध है:

$\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.$

इसका एक प्रमाण नीचे दिया गया है § Relationship to the gamma function.

बीटा फ़ंक्शन भी द्विपद गुणांक से निकटता से संबंधित है। कब m (या n, समरूपता द्वारा) एक सकारात्मक पूर्णांक है, यह गामा फ़ंक्शन की परिभाषा से अनुसरण करता है Γ वह

$\mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}.$

गामा फ़ंक्शन से संबंध

संबंध की एक सरल व्युत्पत्ति $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}$ एमिल आर्टिन|एमिल आर्टिन की पुस्तक द गामा फंक्शन, पृष्ठ 18-19 में पाया जा सकता है। इस संबंध को प्राप्त करने के लिए, दो फैक्टोरियल के उत्पाद को इस प्रकार लिखें

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z_1)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z_2)& ={\int <!--\; \int \; -->}_{u=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->u}{u}^{z_1-<!--\; -\; -->1}du\cdot <!--\; \cdot \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{v=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->v}{v}^{z_2-<!--\; -\; -->1}dv\\ & ={\int <!--\; \int \; -->}_{v=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{u=0}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->u-<!--\; -\; -->v}{u}^{z_1-<!--\; -\; -->1}{v}^{z_2}\end{array}$