द्विक भाज्य

The double factorial should not be confused with the factorial function iterated twice (sequence A000197 in the OEIS), which is written as $(n!)!$, not $n!!$.

छह बिंदुओं पर पंद्रह अलग-अलग कॉर्ड आरेख (गणित), या छह-शीर्ष पूर्ण ग्राफ़ पर समकक्ष पंद्रह अलग-अलग पूर्ण मिलान। इन्हें डबल फैक्टोरियल द्वारा गिना जाता है 15 = (6 − 1)‼.

गणित में, किसी संख्या का दोहरा भाज्य n, द्वारा चिह्नित n‼, तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है n जिसमें समान समता (गणित) (विषम या सम) हो n. वह है,

$$n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .$$

पुनर्कथित, यह कहता है कि सम के लिए n, डबल फैक्टोरियल है

$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,$$

जबकि विषम के लिए n यह है

$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.$$

उदाहरण के लिए, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. शून्य डबल फैक्टोरियल 0‼ = 1 एक खाली उत्पाद के रूप में। सम के लिए दोहरे भाज्यों का क्रम n = 0, 2, 4, 6, 8,... के रूप में प्रारंभ होता है

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, ... (sequence A000165 in the OEIS)

विषम के लिए दोहरे भाज्यों का क्रम n = 1, 3, 5, 7, 9,... के रूप में प्रारंभ होता है

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ... (sequence A001147 in the OEIS)

विषम भाज्य शब्द का प्रयोग कभी-कभी किसी विषम संख्या के दोहरे भाज्य के लिए किया जाता है।

इतिहास और उपयोग

1902 के एक पेपर में, भौतिक विज्ञानी आर्थर शूस्टर ने लिखा:

The symbolical representation of the results of this paper is much facilitated by the introduction of a separate symbol for the product of alternate factors, $n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1$, if $n$ be odd, or $n\cdot n-2\cdots 2$ if $n$ be odd [sic]. I propose to write $n!!$ for such products, and if a name be required for the product to call it the "alternate factorial" or the "double factorial."

Meserve (1948) बताता है कि डबल फैक्टोरियल को मूल रूप से वालिस उत्पाद की व्युत्पत्ति में उत्पन्न होने वाले त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की कुछ सूची की अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए पेश किया गया था। एन-गोले के आयतन को व्यक्त करने में डबल फैक्टोरियल भी उत्पन्न होते हैं, और गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स में उनके कई अनुप्रयोग हैं।वे विद्यार्थी के t-वितरण|छात्र में होते हैं t-वितरण (1908), हालांकि विलियम सीली गॉसेट ने दोहरे विस्मयादिबोधक बिंदु संकेतन का उपयोग नहीं किया।

कारख़ाने का से संबंध

क्योंकि डबल फैक्टोरियल में साधारण फैक्टोरियल के केवल आधे कारक शामिल होते हैं, इसका मूल्य फैक्टोरियल के वर्गमूल से काफी बड़ा नहीं होता है n!, और यह पुनरावृत्त फैक्टोरियल से बहुत छोटा है (n!)!.

एक सकारात्मक का भाज्य n को दो दोहरे फैक्टोरियल के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:

$$n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,$$

और इसलिए

$$n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,$$

जहां हर अंश में अवांछित कारकों को रद्द कर देता है। (अंतिम फॉर्म तब भी लागू होता है जब n = 0.)

सम गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए n = 2k साथ k ≥ 0, दोहरे भाज्य को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

$$(2k)!!=2^{k}k!\,.$$

विषम के लिए n = 2k − 1 साथ k ≥ 1, पिछले दो सूत्रों को मिलाकर परिणाम प्राप्त होते हैं

$$(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.$$

एक विषम धनात्मक पूर्णांक के लिए n = 2k − 1 साथ k ≥ 1, दोहरे भाज्य को क्रमपरिवर्तन#बिना दोहराव वाले क्रमपरिवर्तन| के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैk-का क्रमपरिवर्तन 2k जैसा

$$(2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {(2k)^{\underline {k}}}{2^{k}}}\,.$$

गणनात्मक संयोजन विज्ञान में अनुप्रयोग

चार लेबल वाली पत्तियों के सेट पर पंद्रह अलग-अलग जड़ वाले बाइनरी पेड़ (अव्यवस्थित बच्चों के साथ), सचित्र 15 = (2 × 4 − 3)‼ (लेख पाठ देखें)।

डबल फैक्टोरियल इस तथ्य से प्रेरित होते हैं कि वे गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स और अन्य सेटिंग्स में अक्सर होते हैं। उदाहरण के लिए, n‼ के विषम मानों के लिए n मायने रखता है

• संपूर्ण ग्राफ़ का उत्तम मिलान K_{n + 1} विषम के लिए n. ऐसे ग्राफ़ में, किसी एक शीर्ष पर v होता है n शीर्ष के संभावित विकल्प जिनसे इसका मिलान किया जा सकता है, और एक बार यह विकल्प बन जाने के बाद शेष समस्या दो कम शीर्षों के साथ पूर्ण ग्राफ़ में एक पूर्ण मिलान का चयन करने में से एक है। उदाहरण के लिए, चार शीर्षों ए, बी, सी और डी वाले एक पूर्ण ग्राफ में तीन पूर्ण मिलान होते हैं: एबी और सीडी, एसी और बीडी, और विज्ञापन और बीसी।पूर्ण मिलान को कई अन्य समकक्ष तरीकों से वर्णित किया जा सकता है, जिसमें एक सेट पर निश्चित बिंदुओं के बिना इनवोल्यूशन (गणित) शामिल है n + 1 आइटम (क्रमपरिवर्तन जिसमें प्रत्येक चक्र एक जोड़ी है)या कॉर्ड आरेख (गणित) (एक सेट की जीवा के सेट n + 1 बिंदु एक वृत्त पर समान रूप से इस प्रकार स्थित होते हैं कि प्रत्येक बिंदु ठीक एक जीवा का अंतिम बिंदु होता है, जिसे रिचर्ड ब्रौएर आरेख भी कहा जाता है)। पूर्ण ग्राफ़ में मिलान की संख्या, मिलान को पूर्ण होने से रोके बिना, इसके बजाय टेलीफोन नंबर (गणित) द्वारा दी जाती है, जिसे दोहरे फैक्टोरियल वाले योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन, संख्याओं के बहुसमूह का क्रमपरिवर्तन 1, 1, 2, 2, ..., k, k जिसमें समान संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को केवल बड़ी संख्याओं द्वारा अलग किया जाता है, जहां k = n + 1/2. की दो प्रतियाँ k आसन्न होना चाहिए; उन्हें क्रमपरिवर्तन से हटाने पर एक क्रमपरिवर्तन निकलता है जिसमें अधिकतम तत्व होता है k − 1, साथ n वह स्थिति जिसमें आसन्न जोड़ी k मान रखे जा सकते हैं. इस पुनरावर्ती निर्माण से, एक प्रमाण मिलता है कि स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन को प्रेरण के बाद दोहरे क्रमपरिवर्तन द्वारा गिना जाता है।वैकल्पिक रूप से, इस प्रतिबंध के बजाय कि किसी जोड़ी के बीच का मान इससे बड़ा हो सकता है, कोई इस मल्टीसेट के क्रमपरिवर्तन पर भी विचार कर सकता है जिसमें प्रत्येक जोड़ी की पहली प्रतियां क्रमबद्ध क्रम में दिखाई देती हैं; ऐसा क्रमपरिवर्तन एक मिलान को परिभाषित करता है 2k क्रमपरिवर्तन की स्थिति, इसलिए फिर से क्रमपरिवर्तन की संख्या को दोहरे क्रमपरिवर्तन द्वारा गिना जा सकता है।
• ढेर (डेटा संरचना)|ढेर-आदेशित पेड़, पेड़ k + 1 नोड्स लेबल किए गए 0, 1, 2, ... k, जैसे कि पेड़ की जड़ में लेबल 0 है, प्रत्येक दूसरे नोड में उसके मूल से बड़ा लेबल होता है, और इस तरह कि प्रत्येक नोड के बच्चों के पास एक निश्चित क्रम होता है। पेड़ की यूलर तकनीकी टावर (दोगुने किनारों के साथ) एक स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन देती है, और प्रत्येक स्टर्लिंग क्रमपरिवर्तन इस तरह से एक पेड़ का प्रतिनिधित्व करता है।
• बिना जड़ वाले बाइनरी पेड़ n + 5/2 लेबल वाली पत्तियाँ। ऐसे प्रत्येक पेड़ को एक कम पत्ती वाले पेड़ से, किसी एक को उप-विभाजित करके बनाया जा सकता है n पेड़ के किनारे और नए शीर्ष को नए पत्ते का जनक बनाना।
• जड़ वाले बाइनरी पेड़ n + 3/2 लेबल वाली पत्तियाँ। यह मामला बिना जड़ वाले मामले के समान है, लेकिन किनारों को उप-विभाजित करने की संख्या सम है, और एक किनारे को उप-विभाजित करने के अलावा एक कम पत्ती वाले पेड़ में एक नई जड़ जोड़कर एक नोड जोड़ना संभव है, जिसके दो बच्चे हैं छोटे पेड़ और नए पत्ते हैं।

Callan (2009) और Dale & Moon (1993) समान संयोजन वर्ग के साथ कई अतिरिक्त वस्तुओं की सूची बनाएं, जिनमें ट्रैपेज़ॉइडल शब्द (बढ़ते हुए विषम मूलांक के साथ मिश्रित मूलांक प्रणाली में अंक प्रणाली), ऊंचाई-लेबल वाले डाइक पथ, ऊंचाई-लेबल वाले आदेशित पेड़, ओवरहैंग पथ, और निम्नतम का वर्णन करने वाले कुछ वैक्टर शामिल हैं- जड़ वाले बाइनरी ट्री में प्रत्येक नोड का क्रमांकित पत्ता वंशज। विशेषण प्रमाण के लिए कि इनमें से कुछ वस्तुएँ समसंख्य हैं, देखें Rubey (2008) और Marsh & Martin (2011). सम दोहरे फैक्टोरियल हाइपरऑक्टाहेड्रल समूहों के तत्वों की संख्या देते हैं (अतिविम के हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन या समरूपता)

असिम्प्टोटिक्स

फैक्टोरियल के लिए स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग डबल फैक्टोरियल के लिए एसिम्प्टोटिक विश्लेषण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशेषकर, तब से $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ एक के पास जैसा है $n$ उस अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है

$$n!!\sim {\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is even}},\\[5pt]\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$$

एक्सटेंशन

नकारात्मक तर्क

सामान्य फैक्टोरियल, जब गामा फ़ंक्शन तक बढ़ाया जाता है, तो प्रत्येक नकारात्मक पूर्णांक पर एक ध्रुव (जटिल विश्लेषण) होता है, जो इन संख्याओं पर फैक्टोरियल को परिभाषित होने से रोकता है। हालाँकि, विषम संख्याओं के दोहरे भाज्य को उसके पुनरावृत्ति संबंध को उल्टा करके किसी भी नकारात्मक विषम पूर्णांक तर्क तक बढ़ाया जा सकता है

$$n!!=n\times (n-2)!!$$

दे देना

$$n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.$$

इस उलटे पुनरावृत्ति का उपयोग करते हुए, (−1)!! = 1, (−3)!! = −1, और (−5)!! =1/3; अधिक परिमाण वाली ऋणात्मक विषम संख्याओं में भिन्नात्मक दोहरे भाज्य होते हैं। विशेषकर, जब n एक विषम संख्या है, इससे पता चलता है

$$(-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.$$

जटिल तर्क

की उपरोक्त परिभाषा की अवहेलना करते हुए n!! के सम मानों के लिएn, विषम पूर्णांकों के लिए दोहरे भाज्य को अधिकांश वास्तविक और जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है z यह नोट करके कि कब z तो एक धनात्मक विषम पूर्णांक है

$${\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\\[5mu]&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}$$

कहाँ $\Gamma (z)$ गामा फ़ंक्शन है.

अंतिम अभिव्यक्ति ऋणात्मक सम पूर्णांकों को छोड़कर सभी जटिल संख्याओं के लिए परिभाषित की गई है और संतुष्ट करती है (z + 2)!! = (z + 2) · z!!हर जगह इसे परिभाषित किया गया है। गामा फ़ंक्शन के साथ जो सामान्य फैक्टोरियल फ़ंक्शन का विस्तार करता है, यह डबल फैक्टोरियल फ़ंक्शन बोह्र-मोलेरुप प्रमेय के अर्थ में लघुगणकीय रूप से उत्तल है। स्पर्शोन्मुख रूप से, ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$ सामान्यीकृत सूत्र ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ के लिए पिछले उत्पाद फ़ॉर्मूले से सहमत नहीं है z!! के गैर-नकारात्मक सम पूर्णांक मानों के लिएz. इसके बजाय, यह सामान्यीकृत सूत्र निम्नलिखित विकल्प का तात्पर्य करता है:

$$(2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,$$

0 के मान के साथ!! इस मामले में किया जा रहा है

• $0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.797\,884\,5608\dots$ (sequence A076668 in the OEIS).

परिभाषा के रूप में इस सामान्यीकृत सूत्र का उपयोग करते हुए, एक एन-बॉल का आयतन n-त्रिज्या का आयामी अति क्षेत्र R के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,.$$

अतिरिक्त पहचान

के पूर्णांक मानों के लिए n,

$$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$$

इसके बजाय विषम संख्याओं के दोहरे भाज्य के जटिल संख्याओं के विस्तार का उपयोग करते हुए, सूत्र है

$$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,.$$

अधिक जटिल त्रिकोणमितीय बहुपदों के अभिन्नों का मूल्यांकन करने के लिए डबल फैक्टोरियल का भी उपयोग किया जा सकता है। विषम संख्याओं के दोहरे भाज्य पहचान द्वारा गामा फ़ंक्शन से संबंधित हैं:

$$(2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)}}\,.$$

विषम संख्याओं के दोहरे भाज्य से जुड़ी कुछ अतिरिक्त पहचानें हैं:

$${\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\,.\end{aligned}}$$

दो क्रमागत पूर्णांकों के दोहरे भाज्य के अनुपात का एक अनुमान है

$${\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\approx {\sqrt {\pi n}}.$$

यह अनुमान और अधिक सटीक हो जाता है n बढ़ता है, जिसे वालिस%27_इंटेग्रल्स#डबल फैक्टोरियल अनुपात को कम करने के परिणामस्वरूप देखा जा सकता है।

सामान्यीकरण

परिभाषाएँ

उसी प्रकार जिस प्रकार डबल फैक्टोरियल फैक्टोरियल की धारणा को सामान्यीकृत करता है, पूर्णांक-मूल्य वाले एकाधिक फैक्टोरियल फ़ंक्शन (मल्टीफैक्टोरियल) की निम्नलिखित परिभाषा, या α-फैक्टोरियल फ़ंक्शन, सकारात्मक पूर्णांकों के लिए डबल फैक्टरियल फ़ंक्शन की धारणा का विस्तार करता है $\alpha$:

$$n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{ if }}n>\alpha \,;\\n&{\text{ if }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{and}}\\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{ if }}n\leq 0{\text{ and is not a negative multiple of }}\alpha \,;\end{cases}}$$

बहुक्रियात्मक का वैकल्पिक विस्तार

वैकल्पिक रूप से, बहुघटकीय z!_(α) को अधिकांश वास्तविक और जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है z यह नोट करके कि कब z धनात्मक पूर्णांक के धनात्मक गुणज से एक अधिक है α तब

$${\begin{aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}$$

यह अंतिम अभिव्यक्ति मूल की तुलना में कहीं अधिक व्यापक रूप से परिभाषित है। उसी प्रकार वह z! ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए परिभाषित नहीं है, और z‼ ऋणात्मक सम पूर्णांकों के लिए परिभाषित नहीं है, z!_(α) के ऋणात्मक गुणजों के लिए परिभाषित नहीं है α. हालाँकि, यह परिभाषित है और संतुष्ट करता है (z+α)!_(α) = (z+α)·z!_(α) अन्य सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिएz. यह परिभाषा केवल उन पूर्णांकों के लिए पिछली परिभाषा के अनुरूप है z संतुष्टि देने वालाz ≡ 1 mod α.

विस्तार के अलावा z!_(α) सबसे जटिल संख्याओं के लिएz, इस परिभाषा में सभी सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए काम करने की सुविधा हैα. इसके अलावा, जब α = 1, यह परिभाषा गणितीय रूप से समतुल्य है Π(z) फ़ंक्शन, ऊपर वर्णित है। इसके अलावा, कब α = 2, यह परिभाषा गणितीय रूप से #Complex तर्कों के समतुल्य है।

सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याएँ बहुक्रियात्मक कार्यों का विस्तार करती हैं

प्रथम प्रकार की सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याओं का एक वर्ग परिभाषित किया गया है α > 0 निम्नलिखित त्रिकोणीय पुनरावृत्ति संबंध द्वारा:

$$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.$$

ये सामान्यीकृत हैंα-फैक्टोरियल गुणांक तब एकाधिक फैक्टोरियल को परिभाषित करने वाले विशिष्ट प्रतीकात्मक बहुपद उत्पादों को उत्पन्न करते हैं, या α-फैक्टोरियल फ़ंक्शन, (x − 1)!_(α), जैसा

$${\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)\\&=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}$$

पिछले समीकरणों में विशिष्ट बहुपद विस्तार वास्तव में परिभाषित करते हैं α-कम से कम अवशेषों के कई अलग-अलग मामलों के लिए फैक्टरियल उत्पाद x ≡ n₀ mod α के लिए n₀ ∈ {0, 1, 2, ..., α − 1}.

सामान्यीकृत α-कारकीय बहुपद, σ^(α)
_n(x) कहाँ σ⁽¹⁾
_n(x) ≡ σ_n(x), जो स्टर्लिंग बहुपद#स्टर्लिंग कनवल्शन बहुपदों को एकल तथ्यात्मक मामले से बहुकारकीय मामलों तक सामान्यीकृत करता है, द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}$$

के लिए 0 ≤ n ≤ x. इन बहुपदों में एक विशेष रूप से अच्छा बंद-रूप वाला साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन दिया गया है

$$\sum _{n\geq 0}x\cdot \sigma _{n}^{(\alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-\alpha )z}\left({\frac {\alpha ze^{\alpha z}}{e^{\alpha z}-1}}\right)^{x}\,.$$

इनके अन्य संयोजक गुण और विस्तार सामान्यीकृत हैं α-फैक्टोरियल त्रिकोण और बहुपद अनुक्रमों पर विचार किया जाता है Schmidt (2010).

एकाधिक भाज्य फलनों से युक्त सटीक परिमित योग

लगता है कि n ≥ 1 और α ≥ 2 पूर्णांक-मूल्यवान हैं। फिर हम बहुघटकीय, या को शामिल करते हुए अगले एकल परिमित योगों का विस्तार कर सकते हैं α-फैक्टोरियल फ़ंक्शन, (αn − 1)!_(α), पोचहैमर प्रतीक और सामान्यीकृत, तर्कसंगत-मूल्यवान द्विपद गुणांक के संदर्भ में

$${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}$$

और इसके अलावा, हमारे पास इसी तरह से दिए गए इन कार्यों का दोगुना योग विस्तार है

$${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}$$

ऊपर दिए गए पहले दो योग डबल फैक्टोरियल फ़ंक्शन के लिए ज्ञात गैर-राउंड कॉम्बिनेटरियल पहचान के समान हैं α := 2 द्वारा दिए गए Callan (2009).

$$(2n-1)!!=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.$$

संदर्भ-मुक्त व्याकरण के माध्यम से समान पहचान प्राप्त की जा सकती है। के लिए सर्वांगसमताओं का अतिरिक्त परिमित योग विस्तार α-फैक्टोरियल फ़ंक्शन, (αn − d)!_(α), मॉड्यूलो कोई भी निर्धारित पूर्णांक h ≥ 2 किसी के लिए 0 ≤ d < α द्वारा दिए गए हैं Schmidt (2018).