हॉसडॉर्फ माप

गणित में, हॉसडॉर्फ़ माप क्षेत्र और आयतन की पारंपरिक धारणाओं का गैर-पूर्णांक आयामों, विशेष रूप से भग्न और उनके हॉसडॉर्फ़ आयामों का सामान्यीकरण है। यह एक प्रकार का बाहरी माप है, जिसका नाम फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ के नाम पर रखा गया है, जो कि $\mathbb {R} ^{n}$ में या, अधिक सामान्यतः, किसी भी मीट्रिक स्थान में प्रत्येक समुच्चय के लिए [0,∞] में एक संख्या निर्दिष्ट करता है।

शून्य-आयामी हॉसडॉर्फ माप समुच्चय में अंकों की संख्या है (यदि समुच्चय परिमित है) या ∞ यदि समुच्चय अनंत है। इसी तरह, एक साधारण वक्र का एक-आयामी हॉसडॉर्फ माप $\mathbb {R} ^{n}$ वक्र की लंबाई के बराबर है, और $\mathbb {R} ^{2}$ के लेबेस्ग-मापने योग्य उपसमुच्चय का द्वि-आयामी हॉसडॉर्फ़ माप समुच्चय के क्षेत्रफल के समानुपाती है। इस प्रकार, हॉसडॉर्फ माप की अवधारणा लेब्सेग माप और इसकी गिनती, लंबाई और क्षेत्र की धारणाओं को सामान्यीकृत करती है। यह आयतन को भी सामान्यीकृत करता है। वास्तव में, किसी भी d ≥ 0 के लिए d-आयामी हॉसडॉर्फ माप हैं, जो आवश्यक रूप से एक पूर्णांक नहीं है। ये माप ज्यामितीय माप सिद्धांत में मौलिक हैं। वे हार्मोनिक विश्लेषण या संभावित सिद्धांत में स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।

परिभाषा

मान लीजिए $(X,\rho )$ एक मीट्रिक स्थान है। किसी भी उपसमुच्चय $U\subset X$ के लिए , मान लीजिए कि $\operatorname {diam} U$ इसके व्यास को निरूपित करता है, जो कि

$\operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0$ है।

मान लीजिए कि $S$, $X$ का कोई उपसमुच्चय है और $\delta >0$ एक वास्तविक संख्या है।

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},$

को परिभाषित करें जहां न्यूनतम $S$ के सभी गणनीय आवरण पर समुच्चय $U_{i}\subset X$ संतोषजनक $\operatorname {diam} U_{i}<\delta$ से अधिक है।.

ध्यान दें कि $H_{\delta }^{d}(S)$, $\delta$ में मोनोटोन नॉनक्रीजिंग है क्योंकि $\delta$ जितना बड़ा होगा, समुच्चयों के उतने ही अधिक संग्रह की अनुमति होगी, जिससे न्यूनतम बड़ा नहीं होगा। इस प्रकार, $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ का अस्तित्व है लेकिन अनंत हो सकता है। मान लीजिए

$H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).$

यह देखा जा सकता है कि $H^{d}(S)$ एक बाहरी माप है (अधिक सटीक रूप से, यह एक मीट्रिक बाहरी माप है)। कैराथोडोरी के विस्तार प्रमेय के अनुसार, कैराथोडोरी-मापने योग्य समुच्चय के σ-क्षेत्र पर इसका प्रतिबंध एक माप है। इसे $S$ का $d$-आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है। मीट्रिक बाहरी माप गुण के कारण, $X$ के सभी बोरेल उपसमुच्चय $H^{d}$ मापने योग्य हैं।

उपरोक्त परिभाषा में आवरण में समुच्चय स्वेच्छाचारी हैं। फिर भी, हमें आवरण समुच्चय को खुला या बंद करने की आवश्यकता हो सकती है, या मानक स्थानों में भी उत्तल होना चाहिए, जिससे समान $H_{\delta }^{d}(S)$ संख्याएँ प्राप्त होंगी, इसलिए समान माप होगा। $\mathbb {R} ^{n}$ में आवरण समुच्चय को गोलक तक सीमित रखने से माप बदल सकते हैं लेकिन मापे गए समुच्चय का आयाम नहीं बदलता है।

हॉसडॉर्फ माप के गुण

ध्यान दें कि यदि d एक धनात्मक पूर्णांक है, तो d-आयामी हॉसडॉर्फ माप $\mathbb {R} ^{d}$ सामान्य डी-आयामी लेबेस्ग्यू माप का पुनर्स्केलिंग है $\lambda _{d}$, जिसे सामान्यीकृत किया गया है ताकि इकाई घन का लेबेस्ग माप [0,1]^d1 है। वास्तव में, किसी भी बोरेल समुच्चय E के लिए,

$\lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),$

जहां α_d इकाई N-sphere|d-ball का आयतन है; इसे गामा फ़ंक्शन|यूलर के गामा फ़ंक्शन का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_d=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}{\left(\frac{1}{2}\right)}^d}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(\frac{d}{2}+1\right)}=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{d/2}}{}$