प्रवणता

This article is about a generalized derivative of a multivariate function. For another use in mathematics, see Slope. For a similarly spelled unit of angle, see Gradian. For other uses, see प्रवणता (disambiguation).

File:Gradient2.svg

नीले तीरों द्वारा दर्शाया गया ग्रेडिएंट, स्केलर फ़ंक्शन के सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा को दर्शाता है। फ़ंक्शन के मान ग्रेस्केल में दर्शाए जाते हैं और मान में सफेद (निम्न) से अंधेरे (उच्च) में वृद्धि होती है।

सदिश कलन में, एक अदिश-मूल्यवान फलन का ढाल | अदिश-मूल्यवान अवकलनीय फलन f कई चरों के फलन का सदिश क्षेत्र (या वेक्टर-मूल्यवान फलन) है $\nabla f$ एक बिंदु पर जिसका मूल्य $p$ वेक्टर है (गणित और भौतिकी) जिनके घटक के आंशिक व्युत्पन्न हैं $f$ पर $p$. यानी, के लिए $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, इसकी ढाल $\nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ बिंदु पर परिभाषित किया गया है $p=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ n-आयामी अंतरिक्ष में वेक्टर के रूप में

$\nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.$

नाबला प्रतीक $\nabla$, एक उल्टा त्रिकोण के रूप में लिखा गया है और डेल का उच्चारण करता है, डेल को दर्शाता है।

ग्रेडिएंट वेक्टर की व्याख्या सबसे तेज वृद्धि की दिशा और दर के रूप में की जा सकती है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट गैर-शून्य है p, ग्रेडिएंट की दिशा वह दिशा है जिसमें फ़ंक्शन सबसे तेज़ी से बढ़ता है p, और ढाल का परिमाण (गणित) उस दिशा में वृद्धि की दर है, जो सबसे बड़ा निरपेक्ष मूल्य दिशात्मक व्युत्पन्न है। इसके अलावा, ढाल एक बिंदु पर शून्य वेक्टर है यदि और केवल अगर यह एक स्थिर बिंदु है (जहां व्युत्पन्न गायब हो जाता है)। ढाल इस प्रकार अनुकूलन सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है, जहां इसका उपयोग ढाल चढ़ाई द्वारा किसी फ़ंक्शन को अधिकतम करने के लिए किया जाता है।

ढाल कुल व्युत्पन्न के लिए दोहरी है $df$: एक बिंदु पर ढाल का मान एक स्पर्शरेखा सदिश है - प्रत्येक बिंदु पर एक सदिश; जबकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक कोटैंजेंट वेक्टर है - वैक्टर पर एक रैखिक कार्य। वे संबंधित हैं कि के ढाल के डॉट उत्पाद f एक बिंदु पर p एक और स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ v के दिशात्मक व्युत्पन्न के बराबर है f पर p समारोह के साथ v; वह है, ${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$. ग्रेडिएंट कई सामान्यीकरणों को कई गुना अधिक सामान्य कार्यों के लिए स्वीकार करता है; देखना § Generalizations.

प्रेरणा

फ़ाइल: एक फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट.tif|thumb|350px|2D फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट f(x, y) = xe^{−(x2 + y2)} फ़ंक्शन के स्यूडोकलर प्लॉट पर नीले तीर के रूप में प्लॉट किया गया है।

एक ऐसे कमरे पर विचार करें जहां तापमान एक अदिश क्षेत्र द्वारा दिया जाता है, T, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर (x, y, z) तापमान है T(x, y, z), समय से स्वतंत्र। कमरे के प्रत्येक बिंदु पर, का ढाल T उस बिंदु पर वह दिशा दिखाएगा जिसमें तापमान सबसे तेजी से बढ़ता है, से दूर जा रहा है (x, y, z). ढाल का परिमाण निर्धारित करेगा कि उस दिशा में तापमान कितनी तेजी से बढ़ता है।

एक सतह पर विचार करें जिसकी ऊंचाई समुद्र तल से बिंदु . पर है (x, y) है H(x, y). का ढाल H एक बिंदु पर एक समतल वेक्टर होता है जो उस बिंदु पर सबसे तेज ढलान या ग्रेड (ढलान) की दिशा में इंगित करता है। उस बिंदु पर ढलान की स्थिरता ढाल वेक्टर के परिमाण द्वारा दी जाती है।

ग्रेडिएंट का उपयोग यह मापने के लिए भी किया जा सकता है कि एक स्केलर फ़ील्ड अन्य दिशाओं में कैसे बदलता है, न कि केवल सबसे बड़े परिवर्तन की दिशा में, एक डॉट उत्पाद लेकर। मान लीजिए कि एक पहाड़ी पर सबसे तेज ढलान 40% है। सीधे ऊपर की ओर जाने वाली सड़क का ढलान 40% है, लेकिन पहाड़ी के चारों ओर एक कोण पर जाने वाली सड़क का ढलान उथला होगा। उदाहरण के लिए, यदि सड़क ऊपर की दिशा से 60° के कोण पर है (जब दोनों दिशाओं को क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है), तो सड़क के साथ ढलान सड़क के साथ ग्रेडिएंट वेक्टर और यूनिट वेक्टर के बीच डॉट उत्पाद होगा। , अर्थात् 60° की कोज्या का 40% गुना, या 20%।

अधिक सामान्यतः, यदि पहाड़ी की ऊंचाई कार्य करती है H अवकलनीय फलन है, तो का ढाल H एक इकाई वेक्टर के साथ डॉट उत्पाद वेक्टर की दिशा में पहाड़ी की ढलान देता है, दिशात्मक व्युत्पन्न H यूनिट वेक्टर के साथ।

संकेतन

फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट $f$ बिंदु पर $a$ आमतौर पर के रूप में लिखा जाता है $\nabla f(a)$. इसे निम्नलिखित में से किसी के द्वारा भी दर्शाया जा सकता है:

• ${\vec {\nabla }}f(a)$ : परिणाम की सदिश प्रकृति पर जोर देना।
• grad f * $\partial _{i}f$ तथा $f_{i}$ : आइंस्टीन संकेतन।

परिभाषा

File:3d-gradient-cos.svg

फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² निचले तल पर एक प्रक्षेपित सदिश क्षेत्र के रूप में दर्शाया गया है।

स्केलर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट (या ग्रेडिएंट वेक्टर फ़ील्ड) f(x₁, x₂, x₃, …, x_n) निरूपित है ∇f या ∇→f कहाँ पे ∇ (नाबला प्रतीक) वेक्टर डिफरेंशियल ऑपरेटर, डेल को दर्शाता है। संकेतन grad f आमतौर पर ढाल का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है। का ढाल f अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका डॉट उत्पाद किसी भी यूक्लिडियन वेक्टर के साथ है v प्रत्येक बिंदु पर x का दिशात्मक व्युत्पन्न है f साथ-साथ v. वह है,

${\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)$

जहां दाहिनी ओर का हाथ दिशात्मक व्युत्पन्न है और इसका प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं। औपचारिक रूप से, ग्रेडिएंट व्युत्पन्न के लिए दोहरी है; #डेरिवेटिव देखें।

जब कोई फ़ंक्शन समय जैसे पैरामीटर पर भी निर्भर करता है, तो ग्रेडिएंट अक्सर केवल इसके स्थानिक डेरिवेटिव के वेक्टर को संदर्भित करता है (स्थानिक ग्रेडिएंट देखें)।

ग्रेडिएंट वेक्टर का परिमाण और दिशा विशेष निर्देशांक प्रणाली के अपरिवर्तनीय (गणित) हैं।

कार्तीय निर्देशांक

यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, ढाल, यदि यह मौजूद है, द्वारा दिया गया है:

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$

कहाँ पे i, j, k की दिशा में मानक आधार इकाई वैक्टर हैं x, y तथा z निर्देशांक, क्रमशः। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट

$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$

है

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f=2\mathbf{i}+6$