घटाना

5 − 2 = 3 (मौखिक रूप से, पांच घटा दो समान तीन )

बोर्डो में एक दुकान के बाहर प्लेकार्ड खरीदे गए दूसरे परफ्यूम की कीमत से 20% की घटाए का विज्ञापन है

घटाना (जिसे ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है −) जोड़, गुणा और भाग के साथ चार अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है। घटाना एक ऑपरेशन है जो संग्रह से वस्तुओं को हटाने का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, निकटवर्ती चित्र में, हैं 5 − 2 आड़ू—अर्थात् 5 आड़ू जिनमें से 2 निकाले गए, परिणामस्‍वरूप कुल 3 आड़ू। इसलिए, 5 और 2 का अंतर 3 है; अर्थात् वह है, 5 − 2 = 3. जबकि मुख्य रूप से अंकगणित में प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ा हुआ है, घटाना भी नकारात्मक संख्याओं, अंश (गणित), अपरिमेय संख्या ओं, यूक्लिडियन सदिश, दशमलव, फलन और आव्यूह सहित विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का उपयोग करके भौतिक और अमूर्त मात्रा को हटाने या घटाने का प्रतिनिधित्व आव्यूह कर सकता है।

इस प्रकार से एक अर्थ में, घटाना जोड़ का उलटा है। अर्थात्, c = a - b यदि और केवल यदि c + b = a। शब्दों में: दो संख्याओं का अंतर वह संख्या है जो पहली संख्या को दूसरी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त होती है।

घटाना कई महत्वपूर्ण पैटर्न का अनुसरण करता है। यह प्रतिकम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि क्रम परवर्तन से उत्तर का चिन्ह परिवर्तित हो जाता है। यह साहचर्यता भी नहीं है, जिसका अर्थ है कि जब कोई दो से अधिक संख्याओं को घटाता है, तो जिस क्रम में घटाना किया जाता है वह मायने रखता है। इसलिये 0 योगात्मक पहचान है, इसे घटाने से कोई संख्या परिवर्तित नहीं होती है। और घटाना भी संबंधित फलन ों से संबंधित अनुमानित नियमों का पालन करता है, जैसे जोड़ और गुणा । ये सभी नियम गणितीय प्रमाण हो सकते हैं, जो पूर्णांकों के घटाना से प्रारंभ होते हैं और वास्तविक संख्याओं के माध्यम से और आगे सामान्यीकरण किया जा सकता है। इन पैटर्नों का पालन करने वाले सामान्य बाइनरी ऑपरेशनों का सार बीजगणित में अध्ययन किया जाता है।

इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं पर घटाना करना सबसे सरल संख्यात्मक फलन ों में से है। छोटे बच्चों के लिए बहुत छोटी संख्या का घटाना सुलभ होते है। उदाहरण के लिए प्राथमिक शिक्षा में, छात्रों को दशमलव प्रणाली में संख्याओं को घटाना सिखाया जाता है, जो अंक से प्रारंभ होता है और धीरे-धीरे अधिक कठिन समस्याओं से निपटता है।

किन्तु उन्नत बीजगणित और कंप्यूटर बीजगणित में, अभिव्यक्ति जिसमें घटाना शामिल है A − B सामान्यतः जोड़ के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में माना जाता है A + (−B). इस प्रकार, A − B इसमें दो शब्द हैं, अर्थात् A और -B। यह साहचर्य और क्रमविनिमेयता के आसान उपयोग की अनुमति देता है।

संकेतन और शब्दावली

File:Subtraction chart.png

संख्याओं का घटाना 0-10. लाइन लेबल = न्यूनतम। X अक्ष = घटाना. Y अक्ष = अंतर.

इस प्रकार से घटाना सामान्यतः पदों के मध्य ऋण चिह्न "−" का उपयोग करके अंकित जाता है अर्थात्, इंफिक्स नोटेशन में है । उदाहरण के लिए परिणाम समान चिह्न के साथ व्यक्त किया जाता है।,

$2-1=1$ (उच्चारण के रूप में दो ऋण समान एक)

$4-2=2$ (चार घटा दो समान दो के रूप में उच्चारित)

$6-3=3$ (उच्चारण छह घटा तीन समान तीन )

$4-6=-2$ (चार घटा सिक्स समान नेगेटिव दो के रूप में उच्चारित)

अतः कुछ ऐसी भी स्थितियाँ होती हैं जहाँ घटाना समझा जाता है, भले ही कोई प्रतीक प्रकट न हो:

• लाल रंग में निचली संख्या के साथ दो संख्याओं का स्तंभ, सामान्यतः इंगित करता है कि स्तंभ में निचली संख्या को पंक्ति के नीचे लिखे अंतर के साथ घटाया जाना है। यह लेखांकन में सबसे समान होती है।

औपचारिक रूप से, जिस संख्या को घटाया जा रहा है उसे घटाना के रूप में जाना जाता है, जबकि वह लघु-अंत है जिस संख्या से इसे घटाया जाता है । अतः परिणाम में अंतर होता है।

${\rm {minuend}}-{\rm {subtrahend}}={\rm {difference}}$.

यह सभी शब्दावली लैटिन से ली गई है। "घटाना" अंग्रेजी भाषा का शब्द है जो लैटिन क्रिया सबट्राहेरे से लिया गया है, जो बदले में "अंडर से" और "टू पुल" का यौगिक (भाषाविज्ञान) है। इस प्रकार, घटाना नीचे से निकालना है, या दूर करना है। गेरुंडिव प्रत्यय -एनडी का उपयोग करने से "सबट्रैहेंड", "घटाई जाने वाली चीज़" प्राप्त होती है। इसी तरह मिन्यूएरे से "कम करना या कम करना" प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है "कम की जाने वाली चीज़" आदि ।

पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का

पूर्णांक

File:Line Segment jaredwf.svg

लंबाई b के रेखा खंड की कल्पना करें जिसके बाएँ सिरे पर a और दाएँ सिरे पर c अंकित हो।

a से प्रारंभ करके, c तक पहुँचने के लिए दाईं ओर b कदम उठाता है। दाईं ओर यह आंदोलन गणितीय रूप से अतिरिक्त रूप से तैयार किया गया है:

a + b = c.

c से, a पर वापस जाने के लिए बायीं ओर b कदम उठाने पड़ते हैं। बाईं ओर का यह आंदोलन घटाना द्वारा प्रतिरूपित है:

c − b = a.

File:Subtraction line segment.svg

अब, संख्याओं के साथ लेबल किया गया रेखा खंड 1, 2, तथा 3. स्थिति 3 से, 3 पर बने रहने के लिए बाईं ओर कोई कदम नहीं उठाता है, इसलिए 3 − 0 = 3. स्थिति 1 पर पहुंचने के लिए बाईं ओर 2 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 2 = 1. यह चित्र वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है कि स्थिति 3 के बाईं ओर 3 कदम जाने के पश्चात क्या होगा। इस प्रकार के ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए, रेखा को बढ़ाया जाना चाहिए।

मनमाना प्राकृतिक संख्या ओं को घटाने के लिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) वाली रेखा से प्रारंभ होता है। 3 से, 0 तक पहुँचने के लिए बाईं ओर 3 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 3 = 0. परंतु 3 − 4 अभी भी अमान्य है, क्योंकि यह फिर से लाइन छोड़ देता है। प्राकृतिक संख्याएँ घटाना के लिए उपयोगी संदर्भ नहीं हैं।

समाधान पूर्णांक संख्या रेखा (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) पर विचार करना है। इस तरह, -1 तक पहुँचने के लिए 3 से बाईं ओर 4 कदम लगते हैं:

3 − 4 = −1.

प्राकृतिक संख्याएं

इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं का घटाना क्लोजर (गणित) नहीं है: अंतर प्राकृतिक संख्या नहीं है जब तक कि मिन्यूएंड सबट्रेंड स�