प्रायिकता

दो पासा का उपयोग करके कई संख्याओं को रोल करने की संभावनाएं।

संभाव्यता गणित की शाखा है, जो संख्यात्मक विवरणों से संबंधित है कि किसी घटना (संभावना सिद्धांत) की संभावना कैसे होती है, या यह कितनी संभावना है कि एक प्रस्ताव सच है।किसी घटना की संभावना 0 और 1 के बीच की संख्या है, जहां, मोटे तौर पर बोलते हुए, 0 घटना की असंभवता को इंगित करता है और 1 निश्चितता को इंगित करता है।^{[note 1]}^[1]^[2] एक घटना की संभावना जितनी अधिक होगी, उतनी ही अधिक संभावना है कि घटना होगी।एक साधारण उदाहरण एक निष्पक्ष (निष्पक्ष) सिक्के का टॉसिंग है।चूंकि सिक्का उचित है, इसलिए दो परिणाम (सिर और पूंछ) दोनों समान रूप से संभावित हैं;सिर की संभावना पूंछ की संभावना के बराबर होती है;और चूंकि कोई अन्य परिणाम संभव नहीं है, इसलिए सिर या पूंछ की संभावना 1/2 है (जिसे 0.5 या 50%के रूप में भी लिखा जा सकता है)।

इन अवधारणाओं को संभाव्यता सिद्धांत में एक संभावना स्वयंसिद्ध गणितीय औपचारिकता दी गई है, जिसका उपयोग अध्ययन के क्षेत्र ों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जैसे कि सांख्यिकी, गणित, विज्ञान , वित्त , जुआ , कृत्रिम बुद्धिमत्ता, मशीन सीखने, कंप्यूटर विज्ञान , खेल सिद्धांत और दर्शन ,उदाहरण के लिए, घटनाओं की अपेक्षित आवृत्ति के बारे में निष्कर्ष निकालें।संभावना सिद्धांत का उपयोग अंतर्निहित यांत्रिकी और जटिल प्रणालियों के नियमितताओं का वर्णन करने के लिए भी किया जाता है।^[3]

व्याख्या

जब विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक सेटिंग (जैसे सिक्के को उछालना) में यादृच्छिक और अच्छी तरह से परिभाषित किए गए प्रयोग ों से निपटते हैं, तो संभावनाओं को संख्यात्मक रूप से वांछित परिणामों की संख्या से वर्णित किया जा सकता है, जो सभी परिणामों की कुल संख्या से विभाजित है।उदाहरण के लिए, दो बार एक सिक्के को टॉस करने से सिर, सिर-पूंछ, टेल-हेड और टेल-टेल परिणाम मिलेंगे।हेड-हेड का परिणाम प्राप्त करने की संभावना 4 परिणामों में से 1 है, या, संख्यात्मक शब्दों में, 1/4, 0.25 या 25%।हालांकि, जब व्यावहारिक अनुप्रयोग की बात आती है, तो संभाव्यता व्याख्याओं की दो प्रमुख प्रतिस्पर्धी श्रेणियां होती हैं, जिनके अनुयायी संभावना की मौलिक प्रकृति के बारे में अलग -अलग विचार रखते हैं:

वस्तुनिष्ठता (दर्शन) कुछ उद्देश्य या भौतिक स्थिति का वर्णन करने के लिए संख्याएं प्रदान करते हैं।उद्देश्य संभावना का सबसे लोकप्रिय संस्करण लगातार संभावना है, जो दावा करता है कि एक यादृच्छिक घटना की संभावना एक प्रयोग के परिणाम की घटना की सापेक्ष आवृत्ति को दर्शाती है जब प्रयोग अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है।यह व्याख्या परिणामों के लंबे समय में सापेक्ष आवृत्ति होने की संभावना मानती है।^[4] इसका एक संशोधन प्रवृत्ति संभावना है, जो एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने के लिए कुछ प्रयोग की प्रवृत्ति के रूप में संभावना की व्याख्या करता है, भले ही यह केवल एक बार किया गया हो।
व्यक्तिपरक संभावना#उद्देश्य और व्यक्तिपरक बायेसियन संभावनाएं प्रति व्यक्तिपरक संभावना संख्या प्रदान करती हैं, अर्थात, विश्वास की डिग्री के रूप में।^[5] विश्वास की डिग्री की व्याख्या उस मूल्य के रूप में की गई है जिस पर आप एक शर्त खरीदेंगे या बेचेंगे जो 1 यूनिट उपयोगिता का भुगतान करता है यदि ई, 0 यदि ई नहीं है,^[6] यद्यपि उस व्याख्या को सार्वभौमिक रूप से सहमति नहीं दी गई है।^[7] व्यक्तिपरक संभावना का सबसे लोकप्रिय संस्करण बायेसियन संभावना है, जिसमें संभावनाओं का उत्पादन करने के लिए विशेषज्ञ ज्ञान के साथ -साथ प्रयोगात्मक डेटा भी शामिल है।विशेषज्ञ ज्ञान का प्रतिनिधित्व कुछ (व्यक्तिपरक) पूर्व संभाव्यता वितरण द्वारा किया जाता है।ये डेटा एक संभावना समारोह में शामिल हैं।पूर्व और संभावना का उत्पाद, जब सामान्य किया जाता है, तो एक पश्चाक संभावना वितरण होता है जो आज तक ज्ञात सभी जानकारी को शामिल करता है।^[8] औमन के समझौते के सिद्धांत द्वारा, बायेसियन एजेंट जिनके पूर्व विश्वास समान हैं, समान पोस्टीरियर मान्यताओं के साथ समाप्त होंगे।हालांकि, पर्याप्त रूप से अलग -अलग पुजारी अलग -अलग निष्कर्ष निकाल सकते हैं, भले ही एजेंट कितनी जानकारी साझा करते हैं।^[9]

व्युत्पत्ति

शब्द संभावना व्युत्पत्ति लैटिन से probabilitascode: lat promoted to code: la , जिसका अर्थ यह भी हो सकता है: विकेटरी: प्रोबिटी, यूरोप में एक कानूनी मामले में एक गवाह के अधिकार का एक उपाय, और अक्सर गवाह के बड़प्पन के साथ सहसंबद्ध होता है।एक अर्थ में, यह संभावना के आधुनिक अर्थ से बहुत भिन्न होता है, जो इसके विपरीत अनुभवजन्य साक्ष्य के वजन का एक उपाय है, और आगमनात्मक तर्क और सांख्यिकीय अनुमान से आया है।^[10]

इतिहास

संभावना का वैज्ञानिक अध्ययन गणित का एक आधुनिक विकास है।जुआ कि सहस्राब्दी के लिए संभावना के विचारों को निर्धारित करने में रुचि रही है, लेकिन सटीक गणितीय विवरण बहुत बाद में उत्पन्न हुए।संभावना के गणित के धीमे विकास के कारण हैं।जबकि मौका के खेल ने संभाव्यता, मौलिक मुद्दों के गणितीय अध्ययन के लिए प्रेरणा प्रदान की ^{[note 2]} अभी भी जुआरी के अंधविश्वासों से अस्पष्ट हैं।^[11] रिचर्ड जेफरी के अनुसार, सत्रहवीं शताब्दी के मध्य से पहले, 'संभावित' शब्द (लैटिन प्रोबिलिलिस) शब्द का अर्थ अनुमोदन योग्य था, और उस अर्थ में, अविभाज्य, राय और कार्रवाई के लिए लागू किया गया था।एक संभावित कार्रवाई या राय एक ऐसी थी जैसे कि समझदार लोग परिस्थितियों में, कार्य करेंगे या धारण करेंगे।^[12] हालांकि, कानूनी संदर्भों में, विशेष रूप से, 'संभावित' भी प्रस्तावों पर लागू हो सकता है जिसके लिए अच्छे सबूत थे।^[13]

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गेरोलमो कार्डानो (16 वीं शताब्दी)

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क्रिस्टियन ह्यूजेंस ने प्रायिकता पर पहली पुस्तकों में से एक प्रकाशित किया (17 वीं शताब्दी)

सोलहवीं शताब्दी के इटली पॉलीमथ गेरोलमो कार्डानो ने प्रतिकूल परिणामों के अनुकूल के अनुपात के रूप में बाधाओं को परिभाषित करने की प्रभावकारिता का प्रदर्शन किया (जिसका अर्थ है कि किसी घटना की संभावना संभावित परिणामों की कुल संख्या के लिए अनुकूल परिणामों के अनुपात द्वारा दी गई है।Cite error: Closing </ref> missing for <ref> tag जकोब बर्नौली के तकनीकी अनुमान (मरणोपरांत, 1713) और अब्राहम डे मोइवर के अवसरों का सिद्धांत (1718) ने इस विषय को गणित की एक शाखा के रूप में माना।^[14] इयान हैकिंग की संभावना का उद्भव देखें^[10]और जेम्स फ्रैंकलिन (दार्शनिक) | जेम्स फ्रैंकलिन की द साइंस ऑफ कॉनजेक्ट्योर^[15] गणितीय संभावना की बहुत अवधारणा के प्रारंभिक विकास के इतिहास के लिए।

त्रुटियों के सिद्धांत को रोजर कोट्स के ओपेरा मेसिटेलैना (मरणोपरांत, 1722) पर वापस खोजा जा सकता है, लेकिन 1755 में थॉमस सिम्पसन द्वारा तैयार किए गए एक संस्मरण (1756 में मुद्रित) ने पहले सिद्धांत को अवलोकन की त्रुटियों की चर्चा के लिए लागू किया।^[16] इस संस्मरण का पुनर्मुद्रण (1757) स्वयंसिद्धों को बताता है कि सकारात्मक और नकारात्मक त्रुटियां समान रूप से संभावित हैं, और यह कि कुछ असाइन करने योग्य सीमाएं सभी त्रुटियों की सीमा को परिभाषित करती हैं।सिम्पसन निरंतर त्रुटियों पर भी चर्चा करता है और एक संभाव्यता वक्र का वर्णन करता है।

त्रुटि के पहले दो कानून जो प्रस्तावित किए गए थे, दोनों की उत्पत्ति पियरे-साइमन लाप्लास के साथ हुई थी।पहला कानून 1774 में प्रकाशित किया गया था, और कहा गया था कि एक त्रुटि की आवृत्ति को त्रुटि के संख्यात्मक परिमाण के एक घातीय कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है - डाइज्रेरिंग साइन।त्रुटि का दूसरा कानून 1778 में लाप्लास द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और कहा गया था कि त्रुटि की आवृत्ति त्रुटि के वर्ग का एक घातीय कार्य है।^[17] त्रुटि के दूसरे नियम को सामान्य वितरण या गॉस कानून कहा जाता है।ऐतिहासिक रूप से यह बताना मुश्किल है कि गॉस को उस कानून, जो अपने प्रसिद्ध पूर्वसर्ग के बावजूद शायद दो साल की उम्र से पहले यह खोज नहीं कर चुके थे।^[17]

डैनियल बर्नौली (1778) ने समवर्ती त्रुटियों की एक प्रणाली की संभावनाओं के अधिकतम उत्पाद का सिद्धांत पेश किया।

File:Bendixen - Carl Friedrich Gauß, 1828.jpg

कार्ल फ्रेडरिक गॉस

एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (1805) ने कम से कम वर्गों की विधि विकसित की, और धूमकेतु की कक्षाओं के निर्धारण के लिए अपने नए तरीकों में इसे पेश किया (धूमकेतु की कक्षाओं का निर्धारण करने के लिए नए तरीके)।^[18] लीजेंड्रे के योगदान की अनदेखी में, एक आयरिश-अमेरिकी लेखक, रॉबर्ट एड्रेन , विश्लेषक के संपादक (1808), ने पहले त्रुटि की सुविधा के कानून को कम कर दिया,

\phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}},

कहां $h$ अवलोकन की सटीकता पर निर्भर करता है, और $c$ एक पैमाना कारक है जो यह सुनिश्चित करता है कि वक्र के बराबर क्षेत्र 1 के बराबर है। उसने दो सबूत दिए, दूसरा अनिवार्य रूप से जॉन हर्शेल (1850) के समान है।^{[citation needed]} कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने पहला सबूत दिया, जो 1809 में यूरोप में (एड्रेन के बाद तीसरा) जाना जाता है। लाप्लास (1810, 1812), गॉस (1823), जेम्स आइवरी (गणितज्ञ) (1825, 1826, 1826, 1825, 1826, 1825, 1826 (1823), गॉस (1823),), हेगन (1837), फ्रेडरिक बेसेल (1838), विलियम फिशबर्न डोनकिन | डब्ल्यू.एफ।डोनकिन (1844, 1856), और मॉर्गन क्रॉफ्टन (1870)।अन्य योगदानकर्ता रॉबर्ट लेस्ली एलिस (1844), ऑगस्टस डे मॉर्गन (1864), जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लेशर (1872), और गियोवानी शिआपरेली (1875) थे।क्रिश्चियन अगस्त फ्रेडरिक पीटर्स (1856) फॉर्मूला^{[clarification needed]} आर के लिए, एक एकल अवलोकन की संभावित त्रुटि , अच्छी तरह से ज्ञात है।

उन्नीसवीं शताब्दी में, सामान्य सिद्धांत के लेखकों में लाप्लास , सिलेवेसर लैक्रोइक्स (1816), लिटट्रो (1833), एडोल्फे क्वेटलेट (1853), रिचर्ड डेडेकिंड (1860), हेल्मर्ट (1872), हरमन लॉरेंट (1873), लिआग्रे, लिआग्रे, दीवानी शामिल थेऔर कार्ल पियर्सन ।ऑगस्टस डी मॉर्गन और जॉर्ज बोले ने सिद्धांत के विस्तार में सुधार किया।

1906 में, एंड्री मार्कोव ने पेश किया^[19] मार्कोव चेन की धारणा, जिसने स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।माप (गणित) के आधार पर संभावना का आधुनिक सिद्धांत 1931 में एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा विकसित किया गया था।^[20] ज्यामितीय पक्ष में, शैक्षिक समय के योगदानकर्ताओं में मिलर, क्रॉफ्टन, मैककोल, वोल्स्टेनहोल, वाटसन और आर्टेमास मार्टिन शामिल थे।^[21] अधिक जानकारी के लिए अभिन्न ज्यामिति देखें।

सिद्धांत

अन्य सिद्धांत की तरह, संभाव्यता सिद्धांत औपचारिक रूप से इसकी अवधारणाओं का प्रतिनिधित्व है - अर्थात्, उन शब्दों में जिन्हें उनके अर्थ से अलग से माना जा सकता है।इन औपचारिक शब्दों को गणित और तर्क के नियमों द्वारा हेरफेर किया जाता है, और किसी भी परिणाम की व्याख्या या समस्या डोमेन में वापस अनुवाद की जाती है।

संभावना को औपचारिक रूप देने के लिए कम से कम दो सफल प्रयास किए गए हैं, अर्थात् Kolmogorov सूत्रीकरण और रिचर्ड थ्रेल्केल्ड कॉक्स फॉर्मूलेशन।कोलमोगोरोव के सूत्रीकरण में (प्रायिकता स्थान भी देखें), सेट (गणित) को सेट के एक वर्ग पर एक माप (गणित) के रूप में घटना (संभाव्यता सिद्धांत) और संभावना के रूप में व्याख्या की जाती है।कॉक्स के प्रमेय में, संभावना को एक आदिम (यानी, आगे विश्लेषण नहीं किया गया) के रूप में लिया जाता है, और प्रस्तावों के लिए संभाव्यता मूल्यों के एक सुसंगत असाइनमेंट के निर्माण पर जोर दिया जाता है।दोनों मामलों में, तकनीकी विवरण को छोड़कर, संभावना स्वयंसिद्ध समान हैं।

अनिश्चितता को निर्धारित करने के लिए अन्य तरीके हैं, जैसे कि डेम्पस्टर-शफर सिद्धांत या संभावना सिद्धांत , लेकिन वे अनिवार्य रूप से अलग-अलग हैं और संभावना के आमतौर पर समझने वाले कानूनों के साथ संगत नहीं हैं।

अनुप्रयोग

संभावना सिद्धांत जोखिम मूल्यांकन और सांख्यिकीय मॉडल में रोजमर्रा की जिंदगी में लागू होता है।बीमा उद्योग और बाजार (अर्थशास्त्र) मूल्य निर्धारण का निर्धारण करने और व्यापारिक निर्णय लेने के लिए एक्चुएरियल विज्ञान का उपयोग करते हैं।सरकारें पर्यावरण विनियमन, पात्रता विश्लेषण और वित्तीय विनियमन में संभाव्य तरीके लागू करती हैं।

इक्विटी ट्रेडिंग में संभाव्यता सिद्धांत के उपयोग का एक उदाहरण तेल की कीमतों पर किसी भी व्यापक मध्य पूर्व संघर्ष की कथित संभावना का प्रभाव है, जो समग्र रूप से अर्थव्यवस्था में लहर प्रभाव डालते हैं।एक कमोडिटी ट्रेडर द्वारा एक आकलन कि एक युद्ध अधिक संभावना है उस वस्तु की कीमतों को ऊपर या नीचे भेज सकता है, और उस राय के अन्य व्यापारियों को संकेत देता है।तदनुसार, संभावनाओं का न तो स्वतंत्र रूप से मूल्यांकन किया जाता है और न ही आवश्यक रूप से तर्कसंगत रूप से।व्यवहार वित्त का सिद्धांत मूल्य निर्धारण पर, नीति पर और शांति और संघर्ष पर इस तरह के समूह के प्रभाव का वर्णन करने के लिए उभरा।^[22] वित्तीय मूल्यांकन के अलावा, संभावना का उपयोग जीव विज्ञान (जैसे, रोग प्रसार) के साथ -साथ पारिस्थितिकी (जैसे, जैविक पननेट वर्गों) में रुझानों का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है।वित्त के साथ, जोखिम मूल्यांकन का उपयोग अवांछनीय घटनाओं की संभावना की गणना करने के लिए एक सांख्यिकीय उपकरण के रूप में किया जा सकता है, और ऐसी परिस्थितियों का सामना करने से बचने के लिए प्रोटोकॉल को लागू करने में सहायता कर सकते हैं।संभावना का उपयोग मौका के खेल को डिजाइन करने के लिए किया जाता है ताकि कैसिनो एक गारंटीकृत लाभ कमा सके, फिर भी उन खिलाड़ियों को भुगतान प्रदान करें जो निरंतर खेल को प्रोत्साहित करने के लिए अक्सर पर्याप्त होते हैं।^[23] रोजमर्रा की जिंदगी में संभाव्यता सिद्धांत का एक और महत्वपूर्ण अनुप्रयोग विश्वसनीयता (सांख्यिकी) है।कई उपभोक्ता उत्पाद, जैसे कि ऑटोमोबाइल और उपभोक्ता इलेक्ट्रॉनिक्स, विफलता की संभावना को कम करने के लिए उत्पाद डिजाइन में विश्वसनीयता सिद्धांत का उपयोग करते हैं।विफलता की संभावना किसी उत्पाद की गारंटी पर निर्माता के फैसलों को प्रभावित कर सकती है।^[24] कैश भाषा मॉडल और अन्य सांख्यिकीय भाषा मॉडल जो प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण में उपयोग किए जाते हैं, वे भी संभावना सिद्धांत के अनुप्रयोगों के उदाहरण हैं।

गणितीय उपचार

File:Probability vs odds.svg

Calculation of probability (risk) vs odds

एक प्रयोग पर विचार करें जो कई परिणामों का उत्पादन कर सकता है।सभी संभावित परिणामों के संग्रह को प्रयोग का नमूना स्थान कहा जाता है, जिसे कभी -कभी निरूपित किया जाता है $\Omega$ ।नमूना स्थान का सत्ता स्थापित संभावित परिणामों के सभी अलग -अलग संग्रहों पर विचार करके बनता है।उदाहरण के लिए, रोलिंग एक मरने से छह संभावित परिणाम हो सकते हैं।संभावित परिणामों का एक संग्रह मरने पर एक विषम संख्या देता है।इस प्रकार, सबसेट {1,3,5} पासा रोल के नमूना स्थान के बिजली सेट का एक तत्व है।इन संग्रहों को ईवेंट कहा जाता है।इस मामले में, {1,3,5} वह घटना है जो कुछ विषम संख्या पर गिरती है।यदि वास्तव में किसी दिए गए घटना में होने वाले परिणाम होते हैं, तो घटना के बारे में कहा जाता है।

एक संभावना एक फ़ंक्शन (गणित) है, प्रत्येक घटना शून्य और एक के बीच एक मूल्य है, इस आवश्यकता के साथ कि घटना सभी संभावित परिणामों से बनाई गई है (हमारे उदाहरण में, घटना {1,2,3,4,5,6}})एक का मान सौंपा गया है।एक संभावना के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, मूल्यों के असाइनमेंट को इस आवश्यकता को पूरा करना होगा कि पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के किसी भी संग्रह के लिए (कोई सामान्य परिणाम नहीं, जैसे कि घटनाओं {1,6}, {3}, और {2,4}), संभावना है कि कम से कम एक घटनाएं घटित होंगी, सभी व्यक्तिगत घटनाओं की संभावनाओं की राशि द्वारा दी जाती है।^[25] एक घटना (संभाव्यता सिद्धांत) की संभावना के रूप में लिखा गया है $P(A)$ ,^[26] $p(A)$ , या ${\text{Pr}}(A)$ .^[27] संभावना की यह गणितीय परिभाषा एक उपाय की अवधारणा का उपयोग करके अनंत नमूना स्थानों, और यहां तक कि बेशुमार नमूना स्थानों तक विस्तारित हो सकती है।

किसी घटना ए के विपरीत या पूरक घटना है [नहीं] (यानी, एक होने की घटना नहीं होने की घटना), जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है $A',A^{c}$ , ${\overline {A}},A^{\complement },\neg A$ , या ${\sim }A$ ;इसकी संभावना द्वारा दी गई है P(not A) = 1 − P(A).^[28] एक उदाहरण के रूप में, छह-तरफा मरने पर छह को रोल न करने का मौका है 1 – (chance of rolling a six) $=1-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}$ ।अधिक व्यापक उपचार के लिए, पूरक घटना देखें।

यदि दो घटनाओं ए और बी एक प्रयोग के एकल प्रदर्शन पर होते हैं, तो इसे ए और बी के चौराहे या संयुक्त वितरण कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $P(A\cap B)$ ।

स्वतंत्र घटनाएं

यदि दो घटनाएं, ए और बी स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) हैं तो संयुक्त संभावना है^[26]: $P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).$ उदाहरण के लिए, यदि दो सिक्के फ़्लिप किए जाते हैं, तो दोनों सिर होने का मौका है ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}$ .^[29]

पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं

यदि या तो ईवेंट ए या इवेंट बी हो सकता है, लेकिन दोनों एक साथ कभी नहीं हो सकते हैं, तो उन्हें पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं कहा जाता है।

यदि दो घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं हैं, तो दोनों होने की संभावना को निरूपित किया जाता है $P(A\cap B)$ और

P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0

यदि दो घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं हैं, तो या तो होने की संभावना को निरूपित किया गया है $P(A\cup B)$ और

P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)

उदाहरण के लिए, छह-पक्षीय पर 1 या 2 रोल करने का मौका die है $P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$

पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएं नहीं

यदि घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं हैं तो

P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).

उदाहरण के लिए, कार्ड के एक डेक से कार्ड खींचते समय, दिल या फेस कार्ड (j, q, k) (या दोनों) प्राप्त करने का मौका है ${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}$ , चूंकि एक डेक के 52 कार्डों में से, 13 दिल हैं, 12 फेस कार्ड हैं, और 3 दोनों हैं: यहां 3 में शामिल संभावनाएं जो दोनों 13 दिलों और 12 फेस कार्ड में से प्रत्येक में शामिल हैं, लेकिन चाहिएकेवल एक बार गिना जाए।

सशर्त संभावना

सशर्त संभावना कुछ घटना ए की संभावना है, किसी अन्य घटना बी की घटना को देखते हुए बी। सशर्त संभावना लिखी गई है $P(A\mid B)$ , और ए की संभावना को पढ़ा जाता है, बी।यह द्वारा परिभाषित किया गया है^[30]

P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,

यदि $P(B)=0$ तब $P(A\mid B)$ इस अभिव्यक्ति द्वारा औपचारिक रूप से अपरिभाषित (गणित) है।इस मामले में $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, तब से $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0$ ।हालांकि, कुछ शून्य-संभावना घटनाओं के लिए एक सशर्त संभावना को परिभाषित करना संभव है, इस तरह के घटनाओं के σ- बीजगणित का उपयोग करके (जैसे कि एक निरंतर यादृच्छिक चर से उत्पन्न होने वाले)।^[31] उदाहरण के लिए, 2 लाल गेंदों और 2 नीली गेंदों (कुल 4 गेंदों) के एक बैग में, एक लाल गेंद लेने की संभावना है $1/2$ ;हालांकि, दूसरी गेंद लेते समय, इसकी संभावना लाल गेंद या नीली गेंद होने की संभावना पहले की गई गेंद पर निर्भर करती है।उदाहरण के लिए, यदि एक लाल गेंद ली गई थी, तो फिर से एक लाल गेंद लेने की संभावना होगी $1/3$ , चूंकि केवल 1 लाल और 2 नीली गेंदें शेष होती थीं।और अगर एक नीली गेंद पहले ली गई थी, तो एक लाल गेंद लेने की संभावना होगी $2/3$ ।

उलटा संभावना

संभाव्यता सिद्धांत और अनुप्रयोगों में, बेयस का नियम घटना के बाधाओं से संबंधित है $A_{1}$ इवेंट करना $A_{2}$ , पहले (पहले) और बाद में (पीछे) एक अन्य घटना पर सशर्त संभावना $B$ ।पर बाधाओं $A_{1}$ इवेंट करना $A_{2}$ बस दो घटनाओं की संभावनाओं का अनुपात है।जब मनमाने ढंग से कई घटनाएं $A$ रुचि के हैं, न केवल दो, नियम को फिर से तैयार किया जा सकता है क्योंकि पीछे के समय की संभावना के लिए आनुपातिक है, $P(A|B)\propto P(A)P(B|A)$ जहां आनुपातिकता प्रतीक का अर्थ है कि बाएं हाथ की ओर का आनुपातिक है (यानी, एक स्थिर समय के बराबर) दाहिने हाथ की ओर $A$ अलग -अलग, तय या दिए गए के लिए $B$ (ली, 2012; बर्टश मैकग्रेने, 2012)।इस रूप में यह लाप्लास (1774) और कोर्टन (1843) में वापस चला जाता है;फीनबर्ग (2005) देखें।उलटा संभावना और बेयस नियम देखें।

संभावनाओं का सारांश

Summary of probabilities
Event	Probability
A	$P(A)\in [0,1]\,$
not A	$P(A^{\complement })=1-P(A)\,$
A or B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{if A and B are mutually exclusive}}\\\end{aligned}}$
A and B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A\|B)P(B)=P(B\|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{if A and B are independent}}\\\end{aligned}}$
A given B	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B\|A)P(A)}{P(B)}}\,$

क्वांटम यांत्रिकी में यादृच्छिकता और संभावना से संबंध

न्यूटोनियन मैकेनिक्स अवधारणाओं के आधार पर, एक नियतत्ववाद ब्रह्मांड में, कोई संभावना नहीं होगी यदि सभी स्थितियां ज्ञात थीं (लाप्लास के दानव), (लेकिन ऐसी परिस्थितियां हैं जिनमें अराजकता सिद्धांत उन्हें मापने की हमारी क्षमता से अधिक है, यानी उन्हें पता है)।रूले व्हील के मामले में, यदि हाथ का बल और उस बल की अवधि ज्ञात होती है, तो जिस संख्या पर गेंद बंद होगी, वह एक निश्चितता होगी (हालांकि एक व्यावहारिक मामला के रूप में, यह संभवतः केवल एक का सच होगारूलेट व्हील जिसे बिल्कुल समतल नहीं किया गया था - जैसा कि थॉमस ए। बास 'यूडैमोन्स से पता चला था)।यह पहिया की जड़ता और घर्षण का ज्ञान, वजन, चिकनाई, और गेंद के गोलाई, मोड़ के दौरान हाथ की गति में भिन्नता, और इसके आगे का ज्ञान भी मानता है।एक संभाव्य विवरण इस प्रकार एक रूले व्हील के बार -बार रोल के परिणामों के पैटर्न का विश्लेषण करने के लिए न्यूटोनियन यांत्रिकी की तुलना में अधिक उपयोगी हो सकता है।भौतिकविदों को गैसों के गतिज सिद्धांत में एक ही स्थिति का सामना करना पड़ता है, जहां प्रणाली, जबकि सिद्धांत रूप में नियतात्मक है, इतना जटिल है (अणुओं की संख्या के साथ आमतौर पर एवोगैड्रो स्थिरांक के परिमाण का क्रम 6.02×10²³) कि इसके गुणों का केवल एक सांख्यिकीय विवरण संभव है।

क्वांटम घटना का वर्णन करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत की आवश्यकता है।^[32] 20 वीं शताब्दी के शुरुआती भौतिकी की एक क्रांतिकारी खोज सभी भौतिक प्रक्रियाओं का यादृच्छिक चरित्र था जो उप-परमाणु पैमानों पर होती है और क्वांटम यांत्रिकी के नियमों द्वारा शासित होती है।ऑब्जेक्टिव तरंग क्रिया दृढ़ता से विकसित होता है, लेकिन, कोपेनहेगन व्याख्या के अनुसार, यह अवलोकन की संभावनाओं से संबंधित है, एक अवलोकन किए जाने पर एक तरंग फ़ंक्शन पतन द्वारा समझाया जा रहा परिणाम।हालांकि, वाद्ययंत्रवाद के लिए नियतत्ववाद का नुकसान सार्वभौमिक अनुमोदन के साथ नहीं मिला।अल्बर्ट आइंस्टीन प्रसिद्ध: डी: अल्बर्ट आइंस्टीन#क्वेलेनंगबेन अनमेकुंगेन को मैक्स के लिए एक पत्र में जन्म दिया: मैं आश्वस्त हूं कि भगवान पासा नहीं खेलते हैं।^[33] आइंस्टीन की तरह, एरविन श्रोडिंगर, जो श्रोडिंगर समीकरण#ऐतिहासिक पृष्ठभूमि और विकास कार्य का विकास करते हैं, का मानना था कि क्वांटम यांत्रिकी एक अंतर्निहित नियतात्मक वास्तविकता का एक सांख्यिकीय अनुमान है।^[34] माप के सांख्यिकीय यांत्रिकी की कुछ आधुनिक व्याख्याओं में, परिमाण को विषयगत रूप से संभाव्य प्रयोगात्मक परिणामों की उपस्थिति के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है।

यह भी देखें

मौका (अव्यवस्था)
वर्ग सदस्यता संभावनाएं
आकस्मिकता (दर्शन)
सुसंगतता
निर्णय और निर्णय लेने में उत्तराधिकारिणी
सिद्धांत संभावना
यादृच्छिकता
सांख्यिकी
अनुमानक
अनुमान सिद्धांत
संभावना घनत्व आकलन
संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
जोड़ीदार स्वतंत्रता

ससुराल वाले

प्रायिकताओं का संतुलन

↑ Strictly speaking, a probability of 0 indicates that an event almost never takes place, whereas a probability of 1 indicates than an event almost certainly takes place. This is an important distinction when the sample space is infinite. For example, for the continuous uniform distribution on the real interval [5, 10], there are an infinite number of possible outcomes, and the probability of any given outcome being observed — for instance, exactly 7 — is 0. This means that when we make an observation, it will almost surely not be exactly 7. However, it does not mean that exactly 7 is impossible. Ultimately some specific outcome (with probability 0) will be observed, and one possibility for that specific outcome is exactly 7.
↑ In the context of the book that this is quoted from, it is the theory of probability and the logic behind it that governs the phenomena of such things compared to rash predictions that rely on pure luck or mythological arguments such as gods of luck helping the winner of the game.

संदर्भ

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ग्रन्थसूची

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Olofsson, Peter (2005) Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. 504 pp ISBN 0-471-67969-0.

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

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अनियमितता
संभाव्यता घनत्व आकलन
मौका (असंतोष)
आकलनकर्ता

बाहरी कड़ियाँ

Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)
Probability on In Our Time at the BBC
Probability and Statistics EBook
Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)
Probability and Statistics on the Earliest Uses Pages (Univ. of Southampton)
Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for first-year Oxford University students
[1] pdf file of An Anthology of Chance Operations (1963) at UbuWeb
Introduction to Probability – eBook Archived 27 July 2011 at the Wayback Machine, by Charles Grinstead, Laurie Snell Source Archived 25 March 2012 at the Wayback Machine (GNU Free Documentation License)
(in English and Italian) Bruno de Finetti, Probabilità e induzione, Bologna, CLUEB, 1993. ISBN 88-8091-176-7 (digital version)
Richard Feynman's Lecture on probability.

संभाव्यता श्रेणी: आयाम रहित संख्या

[1] Strictly speaking, a probability of 0 indicates that an event almost never takes place, whereas a probability of 1 indicates than an event almost certainly takes place. This is an important distinction when the sample space is infinite. For example, for the continuous uniform distribution on the real interval [5, 10], there are an infinite number of possible outcomes, and the probability of any given outcome being observed — for instance, exactly 7 — is 0. This means that when we make an observation, it will almost surely not be exactly 7. However, it does not mean that exactly 7 is impossible. Ultimately some specific outcome (with probability 0) will be observed, and one possibility for that specific outcome is exactly 7.

[12] In the context of the book that this is quoted from, it is the theory of probability and the logic behind it that governs the phenomena of such things compared to rash predictions that rely on pure luck or mythological arguments such as gods of luck helping the winner of the game.

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