बोस गैस

एक आदर्श बोस गैस पदार्थ का एक क्वांटम-यांत्रिक चरण है, जो शास्त्रीय आदर्श गैस के समान है। यह बोसोन से बना है, जिसमें स्पिन का पूर्णांक मान होता है, और बोस-आइंस्टीन आँकड़ों का पालन करता है। फोटॉन गैस के लिए सत्येन्द्र नाथ बोस द्वारा बोसोन के सांख्यिकीय यांत्रिकी को विकसित किया गया था, और अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा बड़े पैमाने पर कणों तक विस्तारित किया गया था, जिन्होंने महसूस किया था कि बोसोन की एक आदर्श गैस शास्त्रीय आदर्श गैस के विपरीत कम पर्याप्त तापमान पर घनीभूत हो जाएगी। इस कंडेनसेट को बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट के रूप में जाना जाता है।

परिचय और उदाहरण

बोसोन क्वांटम यांत्रिकी कण हैं जो बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं, या समकक्ष, जिसमें पूर्णांक स्पिन (भौतिकी) होता है। इन कणों को प्राथमिक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है: ये हैं हिग्स बोसॉन, फोटॉन, ग्लूऑन, डब्ल्यू और जेड बोसॉन|डब्ल्यू/जेड और काल्पनिक गुरुत्वाकर्षण; या हाइड्रोजन के परमाणु की तरह मिश्रित, का परमाणु ¹⁶ऑक्सीजन, ड्यूटेरियम का केंद्रक, मेसन आदि। इसके अतिरिक्त, अधिक जटिल प्रणालियों में कुछ quisiparticle ्स को भी बोसोन माना जा सकता है जैसे plasmon (प्लाज्मा दोलन का क्वांटा)।

सत्येंद्र नाथ बोस द्वारा विकसित पहला मॉडल जिसने कई बोसोन के साथ एक गैस का उपचार किया, वह फोटॉन गैस थी, फोटॉन की एक गैस थी। यह मॉडल प्लैंक के नियम और श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण की बेहतर समझ की ओर ले जाता है। फोटॉन गैस को किसी भी तरह के बड़े पैमाने पर गैर-अंतःक्रियात्मक बोसोन के समूह में आसानी से विस्तारित किया जा सकता है। फोनन गैस, जिसे डेबी मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, एक उदाहरण है जहां धातु के क्रिस्टल जाली के कंपन के सामान्य तरीकों को प्रभावी द्रव्यमान रहित बोसोन के रूप में माना जा सकता है। पीटर डेबी ने कम तापमान पर धातुओं की ताप क्षमता के व्यवहार को समझाने के लिए फोनन गैस मॉडल का इस्तेमाल किया।

बोस गैस का एक दिलचस्प उदाहरण हीलियम -4 परमाणुओं का समूह है। जब की एक प्रणाली ⁴परमाणुओं को पूर्ण शून्य के करीब तापमान तक ठंडा किया जाता है, कई क्वांटम यांत्रिक प्रभाव मौजूद होते हैं। 2.17 केल्विन से नीचे, पहनावा सुपरफ्लुइड हीलियम -4 के रूप में व्यवहार करना शुरू कर देता है, लगभग शून्य चिपचिपाहट वाला तरल पदार्थ। बोस गैस सबसे सरल मात्रात्मक मॉडल है जो इस चरण संक्रमण की व्याख्या करता है। मुख्य रूप से जब बोसोन की एक गैस को ठंडा किया जाता है, तो यह बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट बनाता है, एक ऐसी स्थिति जहां बड़ी संख्या में बोसोन सबसे कम ऊर्जा, जमीनी अवस्था पर कब्जा कर लेते हैं, और क्वांटम प्रभाव मैक्रोस्कोपिक रूप से तरंग हस्तक्षेप की तरह दिखाई देते हैं।

बोस-आइंस्टीन संघनित और बोस गैसों का सिद्धांत भी अतिचालकता की कुछ विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है जहां आवेश वाहक जोड़े (कूपर जोड़े) में युगल होते हैं और बोसॉन की तरह व्यवहार करते हैं। नतीजतन, सुपरकंडक्टर्स कम तापमान पर विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता नहीं होने जैसा व्यवहार करते हैं।

अर्ध-पूर्णांक कणों (जैसे इलेक्ट्रॉनों या हीलियम -3 परमाणुओं) के समतुल्य मॉडल, जो फर्मी-डिराक आंकड़ों का पालन करते हैं, को फर्मी गैस (गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मों का एक समूह) कहा जाता है। कम पर्याप्त कण संख्या घनत्व और उच्च तापमान पर, फर्मी गैस और बोस गैस दोनों शास्त्रीय आदर्श गैस की तरह व्यवहार करते हैं।

स्थूल सीमा

एक आदर्श बोस गैस के ऊष्मप्रवैगिकी की सबसे अच्छी गणना भव्य विहित पहनावा का उपयोग करके की जाती है। बोस गैस के लिए भव्य क्षमता निम्न द्वारा दी गई है:

$\Omega =-\ln({\mathcal {Z}})=\sum _{i}g_{i}\ln \left(1-ze^{-\beta \epsilon _{i}}\right).$

जहां योग का प्रत्येक पद एक विशेष एकल-कण ऊर्जा स्तर ε से मेल खाता है_i ; जी_i  ऊर्जा ε वाले राज्यों की संख्या है_i ; z पूर्ण गतिविधि (या उग्रता) है, जिसे परिभाषित करके रासायनिक क्षमता μ के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है:

$z(\beta ,\mu )=e^{\beta \mu }$

और β के रूप में परिभाषित:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$

जहां के_Bबोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और T  तापमान है। सभी थर्मोडायनामिक मात्राएँ भव्य क्षमता से प्राप्त की जा सकती हैं और हम सभी थर्मोडायनामिक मात्राओं को केवल तीन चर z, β (या T), और V के कार्यों के रूप में मानेंगे। सभी आंशिक डेरिवेटिव इन तीन चरों में से एक के संबंध में लिए जाते हैं जबकि अन्य दो को स्थिर रखा जाता है।

Z की अनुमेय सीमा ऋणात्मक अनन्तता से +1 तक है, क्योंकि इससे परे कोई भी मान 0 के ऊर्जा स्तर वाले राज्यों को अनंत संख्या में कण देगा (यह माना जाता है कि ऊर्जा स्तरों को ऑफसेट कर दिया गया है ताकि निम्नतम ऊर्जा स्तर 0 है)।

=== मैक्रोस्कोपिक सीमा, असंघनित अंश === के लिए परिणाम

File:Quantum ideal gas pressure 3d.svg

तीन आयामों में शास्त्रीय और क्वांटम आदर्श गैसों (फर्मी गैस, बोस गैस) के दबाव बनाम तापमान वक्र। बोस गैस का दबाव समकक्ष शास्त्रीय गैस से कम है, विशेष रूप से महत्वपूर्ण तापमान (★ के साथ चिह्नित) से नीचे, जहां कण बड़े पैमाने पर शून्य-दबाव संघनित चरण में जाने लगते हैं।

एक बॉक्स लेख में गैस में वर्णित प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम एक बॉक्स में गैस में लागू कर सकते हैं। थॉमस-फर्मी सन्निकटन जो मानता है कि स्तरों के बीच ऊर्जा अंतर की तुलना में औसत ऊर्जा बड़ी है ताकि उपरोक्त योग को एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सके। अभिन्न। यह प्रतिस्थापन मैक्रोस्कोपिक भव्य संभावित कार्य देता है $\Omega _{m}$, जो करीब है $\Omega$:

$\Omega _{\rm {m}}=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg\approx \Omega .$

अध: पतन डीजी  को सामान्य सूत्र द्वारा कई अलग-अलग स्थितियों के लिए व्यक्त किया जा सकता है:

$dg={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\,{\frac {E^{\,\alpha -1}}{E_{\rm {c}}^{\alpha }}}~dE$

जहां α स्थिर है, ई_c एक क्रांतिक ऊर्जा है और Γ गामा फलन है। उदाहरण के लिए, एक बॉक्स में बड़े पैमाने पर बोस गैस के लिए, α=3/2 और महत्वपूर्ण ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:

${\frac {1}{(\beta E_{\rm {c}})^{\alpha }}}={\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}$

जहां Λ तापीय तरंग दैर्ध्य है, और f एक अध: पतन कारक है (सरल स्पिनलेस बोसोन के लिए f = 1)। हार्मोनिक जाल में बड़े पैमाने पर बोस गैस के लिए हमारे पास α=3 होगा और महत्वपूर्ण ऊर्जा इसके द्वारा दी गई है:

${\frac {1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}}={\frac {f}{(\hbar \omega \beta )^{3}}}$

जहां वी (आर) = एमω²आर²/2  हार्मोनिक क्षमता है। यह देखा गया है कि ई_c  केवल मात्रा का कार्य है।

भव्य क्षमता के लिए यह अभिन्न अभिव्यक्ति इसका मूल्यांकन करती है:

$$