एर्गोडिसिटी

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गणित में, एर्गोडिसिटी इस विचार को व्यक्त करती है कि गतिमान प्रणाली का एक बिंदु, या तोगतिशील प्रणाली या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, अंततः उस स्थान के सभी हिस्सों का दौरा करेगी जहां प्रणाली एक समान और यादृच्छिक अर्थ में चलता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रणाली के औसत आचरण को "विशिष्ट" बिंदु की प्रक्षेपवक्र(गतिकी) से घटाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एर्गोडिसिटी प्रणाली की विशेषता है; यह एक कथन है कि प्रणाली को छोटे घटकों में घटाया या विभाजित नहीं किया जा सकता है। एर्गोडिक सिद्धांत एर्गोडिसिटी रखने वाली प्रणालियों का अध्ययन है।

एर्गोडिक प्रणाली भौतिकी और ज्यामिति में प्रणाली की विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, यानी अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स अलग-अलग होते हैं; जब वह मैनिफोल्ड्स कॉम्पैक्ट होता है, जो कि परिमित आकार का होता है, तो वे पॉइनकेयर पुनरावृत्ति की परिक्रमा करते हैं, अंततः पूरे स्थान को भर देती है।

एर्गोडिक प्रणाली सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो उत्क्षेप करता है सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में मजबूत अवधारणा मिश्रण (गणित) की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना है।

एर्गोडिसिटी का उचित गणितीय सूत्रीकरण माप सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों की औपचारिक परिभाषाओं पर और विशेष रूप से माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की धारणा पर स्थापित किया गया है। एर्गोडिसिटी की उत्पत्ति सांख्यिकीय भौतिकी में है, जहां लुडविग बोल्ट्जमैन ने एर्गोडिक परिकल्पना तैयार की थी।

अनौपचारिक व्याख्या

एर्गोडिसिटी भौतिकी और गणित में व्यापक सेटिंग्स में होती है। इन सभी सेटिंग्स को एक सामान्य गणितीय विवरण द्वारा एकीकृत किया जाता है, जो कि माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली का है। समतुल्य रूप से, प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के संदर्भ में एर्गोडिसिटी को समझा जा सकता है। प्रभावशाली रूप से भिन्न संकेतन और भाषा का उपयोग करने के बावजूद वे एक ही हैं।

माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली

एर्गोडिसिटी की गणितीय परिभाषा का उद्देश्य यादृच्छिकता के बारे में हर दिन सामान्य विचारों को पकड़ना है। इसमें उन प्रणालियों के बारे में विचार शामिल हैं जो इस तरह से आगे बढ़ते हैं (अंततः) सभी स्थान भरते हैं, जैसे विसरण और ब्राउनियन गति, साथ ही मिश्रण की सामान्य ज्ञान धारणाएं, जैसे मिश्रण पेंट, पेय, खाना पकाने की सामग्री, औद्योगिक प्रक्रिया मिश्रण, धुएँ से भरे कमरे में धुँआ, शनि वलय में धूल इत्यादि। ठोस गणितीय आधार प्रदान करने के लिए, एर्गोडिक प्रणाली का विवरण माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की परिभाषा से प्रारंभ होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T).$

सेट $X$ को भरे जाने वाले कुल स्थान के रूप में समझा जाता है: मिक्सिंग बाउल, धुएँ से भरा कमरा, आदि। माप (गणित) $\mu$ स्थान की प्राकृतिक वॉल्यूम $X$ और इसके उप-स्थान को परिभाषित करने के लिए समझा जाता है। उपस्थानों के संग्रह को निरूपित किया जाता है ${\mathcal {A}}$, और किसी दिए गए उपसमुच्चय $A\subset X$ का आकार $\mu (A)$ है; आकार इसकी वॉल्यूम है। सरलता से, कोई कल्पना कर सकता है ${\mathcal {A}}$ का घात समुच्चय होना $X$; यह काफी काम नहीं करता है, क्योंकि स्थान के सभी उपसमुच्चय में वॉल्यूम नहीं होती है (प्रसिद्ध रूप से, बनच-तर्स्की विरोधाभास)। इस प्रकार, परंपरागत रूप से, ${\mathcal {A}}$ मापने योग्य उपसमुच्चय होते हैं—वह उपसमुच्चय जिनमें वॉल्यूम होता है। इसे हमेशा बोरेल सेट के रूप में लिया जाता है - उपसमुच्चय का संग्रह जिसे प्रतिच्छेदन, समुच्च और खुले सेटों के सेट पूरक द्वारा बनाया जाता है; इन्हें हमेशा मापने योग्य माना जा सकता है।

प्रणाली का समय विकास मैप (गणित) द्वारा वर्णित है $T:X\to X$. कुछ उपसमुच्चय दिया $A\subset X$, इसका मैप $T(A)$ सामान्य रूप से एक विकृत संस्करण होगा $A$ - इसे स्क्वैश या स्ट्रेच जाता है, मोड़ा या टुकड़ों में काटा जाता है। गणितीय उदाहरणों में बेकर का मैप और हर्सशू मैप शामिल है, दोनों रोटी बनाने से प्रेरित हैं। सेट $T(A)$ के समान वॉल्यूम होनी चाहिए $A$; स्क्वैशिंग/स्ट्रेचिंग से स्थान का वॉल्यूम नहीं बदलता है, केवल इसका वितरण होता है। ऐसी प्रणाली "माप-संरक्षण" (क्षेत्र-संरक्षण, वॉल्यूम-संरक्षण) है।

औपचारिक कठिनाई तब उत्पन्न होती है जब कोई मैप के अंतर्गत उनके आकार को संरक्षित करने की आवश्यकता के साथ सेट की वॉल्यूम को समेटने का प्रयास करता है। समस्या उत्पन्न होती है, क्योंकि सामान्य तौर पर, किसी फलन के प्रांत में कई अलग-अलग बिंदु इसकी सीमा में एक ही बिंदु पर मैप कर सकते हैं; अर्थात् $x\neq y$ साथ $T(x)=T(y)$ हो सकता है इससे भी बदतर, एक बिंदु $x\in X$ कोई आकार नहीं है। व्युत्क्रम मैप के साथ काम करके इन कठिनाइयों से बचा जा सकता है $T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$; यह किसी दिए गए उपसमुच्चय को मैप करेगा $A\subset X$ उन भाग के लिए जो इसे बनाने के लिए इकट्ठे किए गए थे: ये भाग हैं $T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}$, इसमें यह महत्वपूर्ण विशेषता है कि चीजें कहां से आई हैं इसका ट्रैक न खोएं। अधिक दृढ़ता से, इसमें महत्वपूर्ण विशेषता है कि कोई भी (माप-संरक्षण) मैप ${\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$ किसी मैप का विपरीत है $X\to X$, वॉल्यूम-संरक्षण मैप की उचित परिभाषा वह है जिसके लिए $\mu (A)=\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}$ क्योंकि $T^{-1}(A)$ सभी टुकड़ों-भागों का वर्णन $A$ से आया है।

अब प्रणाली के समय के विकास का अध्ययन करने में रुचि रखता है। अगर सेट $A\in {\mathcal {A}}$ अंत में सभी को भरने के लिए आता है $X$ लंबे समय तक (यानी, अगर $T^{n}(A)$ सभी के पास पहुंचता है $X$ बड़े के लिए $n$), प्रणाली को एर्गोडिक प्रणाली कहा जाता है। अगर हर सेट $A$ इस तरह से आचरण करता है, प्रणाली संरक्षी निकाय है, जो क्षयी तंत्र के विपरीत रखी जाती है, जहां कुछ उपसमुच्चय $A$ अस्थिर सेट, कभी वापस नहीं किया जाता है। एक उदाहरण नीचे की ओर बहता हुआ पानी होगा: एक बार जब यह नीचे चला जाता है, तो यह फिर कभी ऊपर नहीं आता है। हालाँकि, इस नदी के तल पर बनने वाली झील अच्छी तरह से मिश्रित हो सकती है। एर्गोडिक अपघटन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक एर्गोडिक प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: रूढ़िवादी भाग और विघटनकारी भाग।

एर्गोडिसिटी की तुलना में मिक्सिंग एक मजबूत कथन है। मिश्रण इस एर्गोडिक विशेषता को किन्हीं दो सेटों के बीच रखने के लिए कहता है $A,B$, और न केवल कुछ सेट के बीच $A$ और $X$. अर्थात् कोई दो समुच्चय दिए गए हैं $A,B\in {\mathcal {A}}$, यदि कोई पूर्णांक है तो प्रणाली को (सांस्थितिक रूप से) मिश्रण कहा जाता है $N$ ऐसा कि, सभी के लिए $A,B$ और ${\di$