एर्गोडिसिटी

"एर्गोडिक" redirects here. For other uses, see एर्गोडिक (disambiguation).

गणित में, एर्गोडिसिटी इस विचार को व्यक्त करती है कि गतिमान प्रणाली का एक बिंदु, या तोगतिशील प्रणाली या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, अंततः उस स्थान के सभी हिस्सों का दौरा करेगी जहां प्रणाली एक समान और यादृच्छिक अर्थ में चलता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रणाली के औसत व्यवहार को "विशिष्ट" बिंदु की प्रक्षेपवक्र(गतिकी) से घटाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एर्गोडिसिटी प्रणाली की विशेषता है; यह एक कथन है कि प्रणाली को छोटे घटकों में घटाया या विभाजित नहीं किया जा सकता है। एर्गोडिक सिद्धांत एर्गोडिसिटी रखने वाली प्रणालियों का अध्ययन है।

एर्गोडिक प्रणाली भौतिकी और ज्यामिति में प्रणाली की विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, यानी अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स अलग-अलग होते हैं; जब वह कई गुना कॉम्पैक्ट होता है, जो कि परिमित आकार का होता है, तो वे पॉइनकेयर पुनरावृत्ति की परिक्रमा करते हैं, अंततः पूरे स्थान को भर देती है।

एर्गोडिक प्रणाली सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो उत्क्षेप करता है सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में मजबूत अवधारणा मिश्रण (गणित) की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना है।

एर्गोडिसिटी का उचित गणितीय सूत्रीकरण माप सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों की औपचारिक परिभाषाओं पर और विशेष रूप से माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की धारणा पर स्थापित किया गया है। एर्गोडिसिटी की उत्पत्ति सांख्यिकीय भौतिकी में है, जहां लुडविग बोल्ट्जमैन ने एर्गोडिक परिकल्पना तैयार की थी।

अनौपचारिक व्याख्या

एर्गोडिसिटी भौतिकी और गणित में व्यापक सेटिंग्स में होती है। इन सभी सेटिंग्स को एक सामान्य गणितीय विवरण द्वारा एकीकृत किया जाता है, जो कि माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली का है। समतुल्य रूप से, प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के संदर्भ में एर्गोडिसिटी को समझा जा सकता है। प्रभावशाली रूप से भिन्न संकेतन और भाषा का उपयोग करने के बावजूद वे एक ही हैं।

माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली

एर्गोडिसिटी की गणितीय परिभाषा का उद्देश्य यादृच्छिकता के बारे में हर दिन सामान्य विचारों को पकड़ना है। इसमें उन प्रणालियों के बारे में विचार शामिल हैं जो इस तरह से आगे बढ़ते हैं (अंततः) सभी जगह भरते हैं, जैसे विसरण और ब्राउनियन गति, साथ ही मिश्रण की सामान्य ज्ञान धारणाएं, जैसे मिश्रण पेंट, पेय, खाना पकाने की सामग्री, औद्योगिक प्रक्रिया मिश्रण, धुएँ से भरे कमरे में धुँआ, शनि के वलय में धूल इत्यादि। ठोस गणितीय आधार प्रदान करने के लिए, एर्गोडिक प्रणाली का विवरण माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की परिभाषा से शुरू होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है $(X,{\mathcal {A}},\mu ,T).$

सेट $X$ को भरे जाने वाले कुल स्थान के रूप में समझा जाता है: मिक्सिंग बाउल, धुएँ से भरा कमरा, आदि। माप (गणित) $\mu$ स्थान की प्राकृतिक आयतन को परिभाषित करने के लिए समझा जाता है $X$ और इसके उप-स्थान। उपस्थानों के संग्रह को निरूपित किया जाता है ${\mathcal {A}}$, और किसी दिए गए सबसेट का आकार $A\subset X$ है $\mu (A)$; आकार इसकी आयतन है। सरलता से, कोई कल्पना कर सकता है ${\mathcal {A}}$ का सत्ता स्थापित होना $X$; यह काफी काम नहीं करता है, क्योंकि स्थान के सभी उपसमुच्चय में आयतन नहीं होती है (प्रसिद्ध रूप से, बनच-तर्स्की विरोधाभास)। इस प्रकार, परंपरागत रूप से, ${\mathcal {A}}$ मापने योग्य उपसमुच्चय होते हैं—वह उपसमुच्चय जिनमें आयतन होता है। इसे हमेशा एक बोरेल सेट के रूप में लिया जाता है - उपसमुच्चय का संग्रह जिसे चौराहा सेट करें , संघ स्थापित करें और खुले सेटों के सेट पूरक द्वारा बनाया जा सकता है; इन्हें हमेशा मापने योग्य माना जा सकता है।

प्रणाली का समय विकास मानचित्र (गणित) द्वारा वर्णित है $T:X\to X$. कुछ उपसमुच्चय दिया $A\subset X$, इसका नक्शा $T(A)$ का एक विकृत संस्करण होगा $A$ - इसे कुचला या फैलाया जाता है, मोड़ा जाता है या टुकड़ों में काटा जाता है। गणितीय उदाहरणों में बेकर का नक्शा और घोड़े की नाल का नक्शा शामिल है, दोनों रोटी बनाने से प्रेरित हैं। सेट $T(A)$ के समान आयतन होनी चाहिए $A$; स्क्वैशिंग/स्ट्रेचिंग से स्थान का आयतन नहीं बदलता है, केवल इसका वितरण होता है। ऐसी प्रणाली माप-संरक्षण (क्षेत्र-संरक्षण, आयतन-संरक्षण) है।

एक औपचारिक कठिनाई तब उत्पन्न होती है जब कोई मानचित्र के अंतर्गत उनके आकार को संरक्षित करने की आवश्यकता के साथ सेट की आयतन को समेटने का प्रयास करता है। समस्या उत्पन्न होती है, क्योंकि सामान्य तौर पर, किसी फ़ंक्शन के डोमेन में कई अलग-अलग बिंदु इसकी सीमा में एक ही बिंदु पर मैप कर सकते हैं; अर्थात् हो सकता है $x\neq y$ साथ $T(x)=T(y)$. इससे भी बदतर, एक बिंदु $x\in X$ कोई आकार नहीं है। उलटे नक्शे के साथ काम करके इन कठिनाइयों से बचा जा सकता है $T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$; यह किसी दिए गए सबसेट को मैप करेगा $A\subset X$ उन पुर्जों के लिए जो इसे बनाने के लिए इकट्ठे किए गए थे: ये पुर्जे हैं $T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}$. इसमें यह महत्वपूर्ण संपत्ति है कि चीजें कहां से आई हैं इसका ट्रैक न खोएं। अधिक दृढ़ता से, इसमें महत्वपूर्ण संपत्ति है कि कोई भी (माप-संरक्षण) मानचित्र ${\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$ किसी मानचित्र का विलोम है $X\to X$. आयतन-संरक्षण मानचित्र की उचित परिभाषा वह है जिसके लिए $\mu (A)=\mu {\mathord {\left(T^{-1}(A)\right)}}$ क्योंकि $T^{-1}(A)$ सभी टुकड़ों-भागों का वर्णन करता है $A$ से आया।

एक अब प्रणाली के समय के विकास का अध्ययन करने में रुचि रखता है। अगर एक सेट $A\in {\mathcal {A}}$ अंत में सभी को भरने के लिए आता है $X$ लंबे समय तक (यानी, अगर $T^{n}(A)$ सभी के पास पहुंचता है $X$ बड़े के लिए $n$), प्रणाली को एर्गोडिक प्रणाली कहा जाता है। अगर हर सेट $A$ इस तरह से व्यवहार करता है, प्रणाली एक रूढ़िवादी प्रणाली है, जो एक अपव्यय प्रणाली के विपरीत रखी जाती है, जहां कुछ उपसमुच्चय $A$ भटकने वाला सेट, कभी वापस नहीं किया जाना। एक उदाहरण नीचे की ओर बहता हुआ पानी होगा: एक बार जब यह नीचे चला जाता है, तो यह फिर कभी ऊपर नहीं आता है। हालाँकि, इस नदी के तल पर बनने वाली झील अच्छी तरह से मिश्रित हो सकती है। हॉफ अपघटन बताता है कि प्रत्येक एर्गोडिक प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: रूढ़िवादी भाग और विघटनकारी भाग।

मिश्रण (गणित) एर्गोडिसिटी की तुलना में एक मजबूत कथन है। मिश्रण इस एर्गोडिक संपत्ति को किन्हीं दो सेटों के बीच रखने के लिए कहता है $A,B$, और न केवल कुछ सेट के बीच $A$ और $X$. अर्थात् कोई दो समुच्चय दिए गए हैं