बाइनरी ऑपरेशन

Not to be confused with Bitwise operation.

एक बाइनरी ऑपरेशन $\circ$ तर्कों के संयोजन के लिए एक नियम है $x$ तथा $y$ उत्पादन करना $x\circ y$

गणित में, एक बाइनरी ऑपरेशन या डाइएडिक ऑपरेशन एक अन्य तत्व उत्पन्न करने के लिए दो तत्वों (गणित) (ऑपरेंड कहा जाता है) के संयोजन के लिए एक नियम है। अधिक औपचारिक रूप से, एक बाइनरी ऑपरेशन arity दो का एक ऑपरेशन (गणित) है।

अधिक विशेष रूप से, एक सेट (गणित) पर एक आंतरिक बाइनरी ऑपरेशन एक बाइनरी ऑपरेशन है जिसका फ़ंक्शन के दो डोमेन और कोडोमेन एक ही सेट हैं। उदाहरणों में जोड़, घटाव और गुणा की परिचित अंकगणितीय संक्रियाएं शामिल हैं। अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में आसानी से पाए जाते हैं, जैसे सदिश जोड़, मैट्रिक्स गुणन और संयुग्मन (समूह सिद्धांत)।

एरीटी दो का एक ऑपरेशन जिसमें कई सेट शामिल होते हैं, कभी-कभी 'बाइनरी ऑपरेशन' भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सदिश स्थानों का अदिश गुणन एक सदिश उत्पन्न करने के लिए एक अदिश और एक सदिश लेता है, और अदिश गुणनफल एक अदिश उत्पन्न करने के लिए दो सदिश लेता है। ऐसे बाइनरी ऑपरेशंस को केवल बाइनरी फ़ंक्शन कहा जा सकता है।

बाइनरी ऑपरेशंस अधिकांश बीजगणितीय संरचनाओं की कुंजीशिला हैं जिनका अध्ययन बीजगणित में किया जाता है, विशेष रूप से semigroup्स, मोनोइड्स, समूह (गणित), रिंग (बीजगणित), फ़ील्ड (गणित), और वेक्टर रिक्त स्थान में।

शब्दावली

अधिक सटीक रूप से, एक सेट (गणित) पर एक बाइनरी ऑपरेशन $S$ कार्तीय गुणनफल के तत्वों का मानचित्र (गणित) है $S\times S$ प्रति $S$:

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

क्योंकि तत्वों की एक जोड़ी पर ऑपरेशन करने का परिणाम $S$ पुन: का एक अंग है $S$, ऑपरेशन को बंद (या आंतरिक) बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है $S$ (या कभी-कभी बंद करने की संपत्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है (गणित))। यदि $f$ एक फ़ंक्शन (गणित) नहीं है, लेकिन एक आंशिक फ़ंक्शन है $f$ आंशिक बाइनरी ऑपरेशन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का विभाजन आंशिक बाइनरी ऑपरेशन है, क्योंकि शून्य से विभाजन नहीं किया जा सकता है: ${\frac {a}{0}}$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए अपरिभाषित है $a$. सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत दोनों में, द्विआधारी संक्रियाओं को सभी तत्वों पर परिभाषित करने की आवश्यकता होती है $S\times S$.

कभी-कभी, विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान में, बाइनरी ऑपरेशन शब्द का उपयोग किसी बाइनरी फ़ंक्शन के लिए किया जाता है।

गुण और उदाहरण

बाइनरी संक्रियाओं के विशिष्ट उदाहरण हैं योग ($+$) और गुणा ($\times$) संख्या और मैट्रिक्स (गणित) के साथ-साथ एक सेट पर कार्यों की संरचना। उदाहरण के लिए,

• वास्तविक संख्या के सेट पर $\mathbb {R}$, $f(a,b)=a+b$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो वास्तविक संख्याओं का योग एक वास्तविक संख्या है।
• प्राकृतिक संख्या के सेट पर $\mathbb {N}$, $f(a,b)=a+b$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है। यह पिछले वाले की तुलना में एक अलग बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि सेट अलग हैं।
• मंच पर $M(2,\mathbb {R} )$ का $2\times 2$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस, $f(A,B)=A+B$ एक द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि ऐसे दो आव्यूहों का योग a है $2\times 2$ आव्यूह।
• मंच पर $M(2,\mathbb {R} )$ का $2\times 2$ वास्तविक प्रविष्टियों के साथ मैट्रिसेस, $f(A,B)=AB$ एक द्विआधारी संक्रिया है क्योंकि ऐसे दो आव्यूहों का गुणनफल a होता है $2\times 2$ आव्यूह।
• दिए गए सेट के लिए $C$, होने देना $S$ सभी कार्यों का सेट बनें $h\colon C\rightarrow C$. परिभाषित करना $f\colon S\times S\rightarrow S$ द्वारा $f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))$ सभी के लिए $c\in C$, दो कार्यों की संरचना $h_{1}$ तथा $h_{2}$ में $S$. फिर $f$ एक बाइनरी ऑपरेशन है क्योंकि दो कार्यों की संरचना फिर से सेट पर एक फ़ंक्शन है $C$ (अर्थात् सदस्य है $S$).

बीजगणित और औपचारिक तर्क दोनों में रुचि के कई द्विआधारी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय, संतोषजनक हैं $f(a,b)=f(b,a)$ सभी तत्वों के लिए $a$ तथा $b$ में $S$, या साहचर्य, संतोषजनक $f(f($