प्रेरित प्रतिनिधित्व

समूह सिद्धांत में, प्रेरित प्रतिनिधित्व एक समूह प्रतिनिधित्व है, G, जो एक उपसमूह के ज्ञात प्रतिनिधित्व का उपयोग करके बनाया गया है H. का प्रतिनिधित्व दिया H, प्रेरित प्रतिनिधित्व, एक अर्थ में, का सबसे सामान्य प्रतिनिधित्व है G जो दिए गए को बढ़ाता है। चूंकि अक्सर छोटे समूह के प्रतिनिधित्वों को खोजना आसान होता है H की तुलना में G, नए अभ्यावेदन के निर्माण के लिए प्रेरित अभ्यावेदन बनाने का संचालन एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

परिमित समूहों के रैखिक निरूपण के लिए प्रेरित अभ्यावेदन को शुरू में फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस द्वारा परिभाषित किया गया था। विचार परिमित समूहों के मामले तक ही सीमित नहीं है, लेकिन उस मामले में सिद्धांत विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है।

निर्माण

बीजीय

See also: Representation theory of finite groups § The induced representation

होने देना G एक परिमित समूह हो और H का कोई भी उपसमूह G. इसके अलावा चलो (π, V) का प्रतिनिधित्व हो H. होने देना n = [G : H] के एक उपसमूह का सूचकांक हो H में G और जाने g₁, ..., g_n में प्रतिनिधियों का पूरा सेट हो {{mvar|G}सह समुच्चय का } में G/H. प्रेरित प्रतिनिधित्व Ind^G
_H π को निम्न स्थान पर अभिनय करने के बारे में सोचा जा सकता है:

$W=\bigoplus _{i=1}^{n}g_{i}V.$

यहाँ प्रत्येक g_i V सदिश समष्टि V की एक तुल्याकार प्रति है जिसके अवयवों को इस प्रकार लिखा गया है g_i v साथ v∈V. प्रत्येक जी के लिए G और प्रत्येक जी_iएक एच है_iमें H और j(i) {1, ..., n} में ऐसा है कि g g_i = g_j(i) h_i . (यह कहने का एक और तरीका है g₁, ..., g_n प्रतिनिधियों का एक पूरा सेट है।) प्रेरित प्रतिनिधित्व के माध्यम से G कार्य करता है W निम्नलिखित नुसार:

$g\cdot \sum _{i=1}^{n}g_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}g_{j(i)}\pi (h_{i})v_{i}$

कहाँ $v_{i}\in V$ प्रत्येक मैं के लिए

वैकल्पिक रूप से, कोई रिंग के परिवर्तन द्वारा प्रेरित प्रतिनिधित्व का निर्माण कर सकता है: कोई भी के-रैखिक प्रतिनिधित्व $\pi$ समूह H को समूह रिंग K[H] के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित) V के रूप में देखा जा सकता है। हम तब परिभाषित कर सकते हैं

$\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =K[G]\otimes _{K[H]}V.$

इस बाद वाले सूत्र का उपयोग परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है Ind^G
_H π किसी भी समूह के लिए G और उपसमूह H, किसी परिमितता की आवश्यकता के बिना।

उदाहरण

किसी भी समूह के लिए, तुच्छ उपसमूह के तुच्छ प्रतिनिधित्व का प्रेरित प्रतिनिधित्व सही नियमित प्रतिनिधित्व है। आम तौर पर किसी भी उपसमूह के तुच्छ प्रतिनिधित्व का प्रेरित प्रतिनिधित्व उस उपसमूह के सहसमुच्चय पर क्रमचय प्रतिनिधित्व होता है।

एक आयामी प्रतिनिधित्व के प्रेरित प्रतिनिधित्व को मोनोमियल प्रतिनिधित्व कहा जाता है, क्योंकि इसे मोनोमियल मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है। कुछ समूहों के पास यह गुण होता है कि उनके सभी अलघुकरणीय निरूपण एकपदी होते हैं, तथाकथित एकपदी समूह।

गुण

अगर H समूह का एक उपसमूह है G, फिर हर K-रैखिक प्रतिनिधित्व ρ का G के रूप में देखा जा सकता है K-रेखीय प्रतिनिधित्व H; इसे प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है ρ को H और द्वारा दर्शाया गया Res(ρ). परिमित समूहों और परिमित-आयामी अभ्यावेदन के मामले में, फ्रोबेनियस पारस्परिकता बताती है कि दिए गए निरूपण σ का H और ρ का G, का स्थान H-समतुल्य रेखीय मानचित्र से σ को Res(ρ) का K पर वही आयाम है जो का है G-समतुल्य रेखीय मानचित्र से Ind(σ) को ρ. प्रेरित प्रतिनिधित्व की सार्वभौमिक संपत्ति, जो अनंत समूहों के लिए भी मान्य है, पारस्परिकता प्रमेय में दिए गए संयोजन के बराबर है। अगर $(\sigma ,V)$ एच और का प्रतिनिधित्व है $(\operatorname {Ind} (\sigma ),{\hat {V}})$ द्वारा प्रेरित जी का प्रतिनिधित्व है $\sigma$, तो वहाँ एक मौजूद है H-समतुल्य रेखीय मानचित्र $j:V\to {\hat {V}}$ निम्नलिखित संपत्ति के साथ: कोई प्रतिनिधित्व दिया गया (ρ,W) का G और H-समतुल्य रेखीय मानचित्र $f:V\to W$, एक अनूठा है G-समतुल्य रेखीय मानचित्र ${\hat {f}}:{\hat {V}}\to W$ साथ ${\hat {f}}j=f$. दूसरे शब्दों में, ${\hat {f}}$ निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख बनाने वाला अद्वितीय मानचित्र है:

फ्रोबेनियस सूत्र कहता है कि यदि χ प्रतिनिधित्व का चरित्र सिद्धांत है σ, द्वारा दिए गए χ(h) = Tr σ(h), फिर चरित्र {{mvar|ψ}प्रेरित प्रतिनिधित्व का } द्वारा दिया गया है

$\psi (g)=\sum _{x\in G/H}{\widehat {\chi }}\left(x^{-1}gx\right),$

जहां योग के बाएं कोसेट के प्रतिनिधियों की एक प्रणाली पर ले जाया जाता है H में G और

${\widehat {\chi }}(k)={\begin{cases}\chi (k)&{\text{if }}k\in H\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

विश्लेषणात्मक

अगर G स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह (संभवतः अनंत) है और H एक बंद सेट उपसमूह है तो प्रेरित प्रतिनिधित्व का एक सामान्य विश्लेषणात्मक निर्माण होता है। होने देना (π, V) का एक सतत कार्य एकात्मक प्रतिनिधित्व हो H एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष वी में। हम तब दे सकते हैं:

$\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ for all }}h\in H,\;g\in G{\text{ and }}\ \phi \in L^{2}(G/H)\right\}.$

यहाँ φ∈L²(G/H) का अर्थ है: अंतरिक्ष G/H में एक उपयुक्त अपरिवर्तनीय माप होता है, और इसके मानदंड के बाद से φ(g) एच के प्रत्येक बाएं सहसमुच्चय पर स्थिर है, हम इन मानदंडों के वर्ग को जी/एच पर एकीकृत कर सकते हैं और एक परिमित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। समूह G अनुवाद द्वारा प्रेरित प्रतिनिधित्व स्थान पर कार्य करता है, अर्थात (g.φ)(x)=φ(g⁻¹x) के लिए g,x∈G और φ∈Ind^G
_H π.

आवश्यक अनुप्रयोगों को फिट करने के लिए इस निर्माण को अक्सर विभिन्न तरीकों से संशोधित किया जाता है। एक सामान्य संस्करण को सामान्यीकृत प्रेरण कहा जाता है और आमतौर पर उसी अंकन का उपयोग करता है। प्रतिनिधित्व स्थान की परिभाषा इस प्रकार है:

$\operatorname {Ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\Delta _{G}^{-{\frac {1}{2}}}(h)\Delta _{H}^{\frac {1}{2}}(h)\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi \in L^{2}(G/H)\right\}.$

यहाँ Δ_G, Δ_H हार उपाय हैं # का मॉड्यूलर कार्य G और H क्रमश। सामान्यीकृत कारकों के अतिरिक्त यह प्रेरण ऑपरेटर एकात्मक प्रतिनिधित्वों के लिए एकात्मक प्रतिनिधित्व लेता है।

इंडक्शन पर एक अन्य भिन्नता को 'कॉम्पैक्ट इंडक्शन' कहा जाता है। यह कॉम्पैक्ट समर्थन वाले कार्यों के लिए प्रतिबंधित मानक प्रेरण है। औपचारिक रूप से इसे इंड द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$\operatorname {ind} _{H}^{G}\pi =\left\{\phi \colon G\to V\ :\ \phi (gh^{-1})=\pi (h)\phi (g){\text{ and }}\phi {\text{ has compact support mod }}H\right\}.$

ध्यान दें कि अगर G/H कॉम्पैक्ट है तो इंड और इंड एक ही फ़ैक्टर हैं।

ज्यामितीय

कल्पना करना G एक सामयिक समूह है और H का एक बंद सेट उपसमूह है G. साथ ही, मान लीजिए π का प्रतिनिधित्व है H सदिश स्थान पर V. तब G उत्पाद पर समूह क्रिया (गणित)। G × V निम्नलिखित नुसार:

$g.(g',x)=(gg',x)$

कहाँ g और g′ के तत्व हैं G और x का एक तत्व है V.

पर परिभाषित करें G × V तुल्यता संबंध

$(g,x)\sim (gh,\pi (h^{-1})(x)){\text{ for all }}h\in H.$

के तुल्यता वर्ग को निरूपित करें $(g,x)$ द्वारा $[g,x]$. ध्यान दें कि यह तुल्यता संबंध की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है G; फलस्वरूप, G कार्य करता है (G × V)/~ . उत्तरार्द्ध भागफल स्थान (टोपोलॉजी) पर एक वेक्टर बंडल है G/H साथ H संरचना समूह के रूप में और V फाइबर के रूप में। होने देना W अनुभागों का स्थान हो $\phi :G/H\to (G\times V)/\!\sim$ इस वेक्टर बंडल का। यह प्रेरित प्रतिनिधित्व के अंतर्गत सदिश स्थान है Ind^G
_H π. समूह G एक खंड पर कार्य करता है $\phi :G/H\to {\mathcal {L}}_{W}$ द्वारा दिए गए $gH\mapsto [g,\phi _{g}]$ निम्नलिखित नुसार:

$(g\cdot \phi )(g'H)=[g',\phi _{g^{-1}g'}]\ {\text{ for }}g,g'\in G.$

अभेद्यता की प्रणाली

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के एकात्मक अभ्यावेदन के मामले में, इंडक्शन कंस्ट्रक्शन को इंप्रिमिटिविटी की प्रणाली के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है।

झूठ सिद्धांत

लाइ थ्योरी में, एक अत्यंत महत्वपूर्ण उदाहरण परवलयिक प्रेरण है: अपने परवलयिक उपसमूहों के प्रतिनिधित्व से एक रिडक्टिव समूह के प्रतिनिधित्व को प्रेरित करना। यह कस्प रूपों के दर्शन के माध्यम से लैंगलैंड्स कार्यक्रम की ओर जाता है।

यह भी देखें

• प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व
• गैर रेखीय प्राप्ति
• फ्रोबेनियस वर्ण सूत्र

संदर्भ

• Alperin, J. L.; Rowen B. Bell (1995). Groups and Representations. Springer-Verlag. pp. 164–177. ISBN 0-387-94526-1.
• Folland, G. B. (1995). A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press. pp. 151–200. ISBN 0-8493-8490-7.
• Kaniuth, E.; Taylor, K. (2013). Induced Representations of Locally Compact Groups. Cambridge University Press. ISBN 9780521762267.
• Mackey, G. W. (1951), "On induced representations of groups", American Journal of Mathematics, 73 (3): 576–592, doi:10.2307/2372309, JSTOR 2372309
• Mackey, G. W. (1952), "Induced representations of locally compact groups I", Annals of Mathematics, 55 (1): 101–139, doi:10.2307/1969423, JSTOR 1969423
• Mackey, G. W. (1953), "Induced representations of locally compact groups II : the Frobenius reciprocity theorem", Annals of Mathematics, 58 (2): 193–220, doi:10.2307/1969786, JSTOR 1969786
• Sengupta, Ambar N. (2012). "Chapter 8: Induced Representations". Representing Finite Groups, A Semimsimple Introduction. Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC 875741967.