ऑटोमेडियन त्रिकोण

13:17:7 के अनुपात में भुजाओं की लंबाई के साथ एक ऑटोमेडियन त्रिभुज (काला), इसकी तीन माध्यिका (ज्यामिति) (भूरा), और एक त्रिभुज समानता (ज्यामिति) मूल के लिए जिसकी भुजाएँ माध्यिका की अनुवादित प्रतियाँ हैं

समतल ज्यामिति में, एक ऑटोमेडियन त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें तीन माध्यिका (ज्यामिति) की लंबाई (प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाली रेखा खंड) तीन भुजाओं की लंबाई के समानुपाती होती है। एक अलग आदेश। एक ऑटोमेडियन त्रिकोण के तीन माध्य एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं को बनाने के लिए अनुवाद (ज्यामिति) हो सकते हैं जो पहले वाले के लिए समानता (ज्यामिति) है।

लक्षण वर्णन

ऑटोमेडियन त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई सूत्र को संतुष्ट करती है $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ या उसका एक क्रमचय, पाइथागोरस प्रमेय के अनुरूप, जो सूत्र को संतुष्ट करने वाले त्रिभुजों के रूप में समकोण त्रिभुजों की विशेषता बताता है $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. समतुल्य, तीन संख्याओं के क्रम में $a$, $b$, और $c$ एक ऑटोमेडियन त्रिभुज की भुजाएँ होने के लिए, तीन वर्ग भुजाओं की लंबाई का क्रम $b^{2}$, $a^{2}$, और $c^{2}$ एक अंकगणितीय प्रगति बनानी चाहिए।

समकोण त्रिभुजों से निर्माण

अगर $x$, $y$, और $z$ एक समकोण त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं, जो आकार के अनुसार बढ़ते क्रम में क्रमबद्ध होती हैं, और यदि $2x<z$, तब $z$, $x+y$, और $y-x$ एक स्वचालित त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई 5, 12, और 13 के साथ समकोण त्रिभुज का उपयोग इस तरह से भुजाओं की लंबाई 13, 17, और 7 के साथ एक ऑटोमेडियन त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सकता है। शर्त है कि $2x<z$ आवश्यक है: यदि यह पूरा नहीं हुआ, तो तीन संख्याएँ $a=z$, $b=x+y$, और $c=y-x$ अभी भी समीकरण को संतुष्ट करेगा $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ऑटोमेडियन त्रिभुजों की विशेषता, लेकिन वे त्रिभुज असमानता को संतुष्ट नहीं करेंगे और त्रिभुज की भुजाएँ बनाने के लिए उपयोग नहीं किए जा सकते।

नतीजतन, Pythagorean_triple#Proof_of_Euclid.27s_formula|Euler's फार्मूला का उपयोग करके आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण उत्पन्न करता है, आदिम पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिकोण उत्पन्न करना संभव है (यानी, पक्षों के साथ कोई आम कारक साझा नहीं करना)

$${\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}\\b&=m^{2}+2mn-n^{2}\\c&=|m^{2}-2mn-n^{2}|\\\end{aligned}}$$

साथ $m$ और $n$ सह अभाज्य, $m+n$ विषम, और त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करने के लिए $n<m<n{\sqrt {3}}$ (यदि निरपेक्ष मान चिह्नों के भीतर की मात्रा ऋणात्मक है) या $m>(2+{\sqrt {3}})n$ (यदि वह मात्रा सकारात्मक है)। फिर इस त्रिभुज की माध्यिकाएँ $t_{a},t_{b},t_{c}$ सामान्य माध्यिका (ज्यामिति) में इसके पक्षों के लिए उपरोक्त भावों का उपयोग करके पाया जाता है # माध्यिका की लंबाई से जुड़े सूत्र:

$$t_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}={\frac {c{\sqrt {3}}}{2}},\qquad t_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}={\frac {b{\sqrt {3}}}{2}},$$

जहां प्रत्येक मामले में दूसरा समीकरण ऑटोमेडियन फीचर को दर्शाता है $2a^{2}=b^{2}+c^{2}.$ इससे समानता संबंधों को देखा जा सकता है

$${\frac {t_{a}}{t_{b}}}={\frac {a}{c}},\qquad {\frac {t_{b}}{t_{c}}}={\frac {c}{b}},\qquad {\frac {t_{c}}{t_{a}}}={\frac {b}{a}}\qquad {\text{and hence}}\qquad t_{a}:t_{b}:t_{c}\quad =\quad a:c:b.$$

एक आदिम पूर्णांक-पक्षीय ऑटोमेडियन त्रिभुज है जो एक समकोण त्रिभुज से उत्पन्न नहीं होता है: अर्थात्, इकाई लंबाई के पक्षों के साथ समबाहु त्रिभुज।

उदाहरण

18 आदिम पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिभुज हैं, जिन्हें यहाँ भुजाओं के त्रिगुण के रूप में दिखाया गया है $(a,b,c)$, साथ $b\leq 200$:

(1, 1, 1)	(13, 17, 7)	(17, 23, 7)	(25, 31, 17)	(37, 47, 23)	(41, 49, 31)
(61, 71, 49)	(65, 79, 47)	(85, 97, 71)	(85, 113, 41)	(89, 119, 41)	(101, 119, 79)
(113, 127, 97)	(125, 161, 73)	(145, 161, 127)	(145, 167, 119)	(149, 191, 89)	(181, 199, 161)

उदाहरण के लिए, (26, 34, 14) आदिम ऑटोमेडियन ट्रिपल नहीं है, क्योंकि यह (13, 17, 7) का गुणक है और ऊपर दिखाई नहीं देता है।

अतिरिक्त गुण

अगर $\Delta (a,b,c)$ हीरोन के सूत्र द्वारा स्वचालित त्रिभुज का क्षेत्रफल है $\Delta (t_{a},t_{b},t_{c})=(3/4)\Delta (a,b,c).$ ऑटोमेडियन त्रिभुज की यूलर रेखा माध्यिका से भुजा तक लंबवत होती है $a$.

यदि किसी स्वचालित त्रिभुज की माध्यिकाओं को त्रिभुज के परिवृत्त तक बढ़ाया जाता है, तो तीन बिंदु $LMN$ जहाँ विस्तारित माध्यिकाएँ परिवृत्त से मिलती हैं, एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं। वे त्रिभुज जिनके लिए यह दूसरा त्रिभुज है $LMN$ क्या समद्विबाहु बिल्कुल त्रिभुज हैं जो स्वयं या तो समद्विबाहु या स्वचालित हैं। ऑटोमेडियन त्रिभुजों की यह संपत्ति स्टेनर-लेह्मस प्रमेय के विपरीत है, जिसके अनुसार केवल दो त्रिभुज जिनके दो कोण समद्विभाजक समान लंबाई के हैं, समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

इसके अतिरिक्त, मान लीजिए $ABC$ एक स्वचालित त्रिभुज है, जिसमें शीर्ष $A$ पक्ष के विपरीत खड़ा है $a$. होने देना $G$ वह बिंदु हो जहां की तीन माध्यिकाएं हों $ABC$ काटना, और चलो $AL$ के विस्तारित माध्यमों में से एक हो $ABC$, साथ $L$ के घेरे पर पड़ा है $ABC$. तब $BGCL$ एक समांतर चतुर्भुज है, दो त्रिभुज $BGL$ और $CLG$ जिसमें इसे उप-विभाजित किया जा सकता है दोनों समान हैं $ABC$, $G$ का मध्यबिंदु है $AL$, और त्रिभुज की यूलर रेखा का लंबवत द्विभाजक है $AL$.

यूक्लिडियन मापदंडों का उपयोग करते हुए एक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल से एक आदिम ऑटोमेडियन त्रिकोण उत्पन्न करते समय $m,n$, तब $m>n$ और यह उसका अनुसरण करता है $b\geq a\geq c$. जैसा कि गैर-आदिम ऑटोमेडियन त्रिकोण उनके आदिम के गुणक हैं, पक्षों की असमानताएं सभी पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिकोणों पर लागू होती हैं। समानता केवल तुच्छ समबाहु त्रिभुजों के लिए होती है। इसके अलावा, क्योंकि $m+n$ हमेशा विषम होता है, सभी पक्ष $a,b,c$ विषम होना है। यह तथ्य स्वचालित त्रिगुणों को केवल अभाज्य संख्याओं की भुजाएँ और परिमाप रखने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, (13, 17, 7) का परिमाप 37 है।

क्योंकि एक आदिम ऑटोमेडियन त्रिभुज पक्ष में $a$ दो वर्गों का योग है और आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल उत्पन्न करने के कर्ण के बराबर है, यह केवल 1 (मॉड 4) के अनुरूप अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है। फलस्वरूप, $a$ 1 (मॉड 4) के अनुरूप होना चाहिए।

इसी प्रकार, क्योंकि भुजाएँ इससे संबंधित हैं $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$, प्रत्येक पक्ष $b$ और $c$ आदिम ऑटोमेडियन में वर्ग और वर्ग के दो बार के बीच का अंतर है। वे आदिम पाइथोगोरियन ट्रिपल के पैरों का योग और अंतर भी हैं। यह विवश करता है $b$ और $c$ केवल ±1 (mod 8) के सर्वांगसम अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होना। फलस्वरूप, $b$ और $c$ ±1 (mod 8) के अनुरूप होना चाहिए।

इतिहास

अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक वर्गों के अध्ययन का एक लंबा इतिहास है जो डायोफैंटस और फाइबोनैचि तक फैला हुआ है; यह कॉन्ग्रुम के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है, जो कि संख्याएं हैं जो इस तरह की प्रगति में वर्गों के अंतर हो सकते हैं।हालाँकि, इस समस्या और ऑटोमेडियन त्रिकोण के बीच का संबंध अभी हाल ही का है। जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग द्वारा एजुकेशनल टाइम्स (फ्रेंच में) में 19वीं शताब्दी के अंत में ऑटोमेडियन त्रिकोणों को चिह्नित करने की समस्या सामने आई थी, और वहां सूत्र के साथ हल किया गया था। $2a^{2}=b^{2}+c^{2}$ विलियम जॉन ग्रीनस्ट्रीट द्वारा।

विशेष मामले

समबाहु त्रिभुजों के तुच्छ मामलों के अलावा, भुजाओं की लंबाई 17, 13, और 7 वाला त्रिभुज पूर्णांक भुजाओं की लंबाई वाला सबसे छोटा (क्षेत्रफल या परिधि के अनुसार) स्वचालित त्रिभुज है।

केवल एक स्वचालित समकोण त्रिभुज है, भुजाओं की लंबाई 1 के समानुपाती वाला त्रिभुज, 2 का वर्गमूल और 3 का वर्गमूल।यह त्रिभुज थियोडोरस के सर्पिल में दूसरा त्रिभुज है। यह एकमात्र समकोण त्रिभुज है जिसमें दो माध्यिकाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।

यह भी देखें

• मध्य त्रिकोण
• पूर्णांक त्रिभुज
• केप्लर त्रिभुज, एक समकोण त्रिभुज जिसमें वर्गाकार किनारे की लंबाई एक अंकगणितीय प्रगति के बजाय एक ज्यामितीय प्रगति बनाती है

बाहरी संबंध

• Automedian Triangles and Magic Squares K. S. Brown's mathpages