एक्सट ऑपरेटर

गणित में, एक्सट प्रकार्यक होम प्रकार्यक के व्युत्पन्न प्रकार्यक हैं। टॉर प्रकार्यक के साथ, एक्सट तुल्य बीजगणितीय की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें बीजगणितीय सांस्थितिकी के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के अचरों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। समूहों की सह-समरूपता, लाई बीजगणितीय और साहचर्य बीजगणितीय सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला एक्सट समूह एक्सट¹ एक मापांक के विस्तारण को दूसरे के द्वारा वर्गीकृत करता है।

एबेलियन समूहों की विशेष स्थिति में, रेनहोल्ड बेयर (1934) द्वारा एक्सट प्रस्तुत किया गया था। इसका नाम सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैकलेन (1942) द्वारा रखा गया था और सांस्थितिकी (सह-समरूपता के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय) पर अनुप्रयुक्त किया गया था। किसी भी वलय पर मापांक के लिए, एक्सट को हेनरी कार्टन और ईलेनबर्ग ने अपनी 1956 की पुस्तक तुल्य बीजगणितीय में परिभाषित किया गया था।

परिभाषा

मान लीजिए कि R एक वलय और R-मॉड R पर मापांक की श्रेणी है। कोई इसका अर्थ बाएं R-मापांक या दाएं R-मापांक के रूप में ले सकता है। एक नियत R-मापांक A के लिए, मान लीजिए कि R-मापांक में B के लिए T(B) = Hom_R(A, B) है। (यहाँ Hom_R(A, B) A से B तक R-रैखिक प्रतिचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक R-मापांक है यदि R क्रमविनिमेय है)। यह R-मॉड से एबेलियन समूह Ab के वर्ग के लिए एक बाएं सटीक प्रकार्यक है और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक RⁱT हैं। एक्सट समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं।

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B)$

एक पूर्णांक i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई अंतःक्षेपक वियोजन हैं।

$0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,$

B पद को पदच्युत कर दें और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots$

प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, Extⁱ
_R(A, B) की स्थिति i पर इस समष्टि की सह-समरूपता है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, Ext⁰
_R(A, B) प्रतिचित्र Hom_R(A, I⁰) → Hom_R(A, I¹) का केंद्र है, जो Hom_R(A, B) के लिए तुल्याकारी है।

एक वैकल्पिक परिभाषा एक नियत R-मापांक B के लिए प्रकार्यक G(A)=Hom(A, B) का उपयोग करती है। यह एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक है, जिसे विपरीत श्रेणी (R-मॉड)^op से Ab के लिए बाएं सटीक प्रकार्यक के रूप में देखा जा सकता है। एक्सट समूहों को दाहिने व्युत्पन्न प्रकार्यक RⁱG के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A)$

अर्थात, कोई भी प्रक्षेपी वियोजन चयन करें,

$\cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0$

पद A को पदच्युत कर दें, और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

$0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .$

तब, Extⁱ
_R(A, B) की स्थिति i पर इस परिसर की सह-समरूपता है।

कार्टन और ईलेनबर्ग ने दर्शाया कि ये निर्माण प्रक्षेपी या अंतःक्षेपी वियोजन के चयन से स्वतंत्र हैं और यह कि दोनों निर्माण एक ही एक्सट समूह उत्पन्न करते हैं। इसके अतिरिक्त, एक नियत वलय R के लिए, एक्सट प्रत्येक चर में एक प्रकार्यक (A में प्रतिपरिवर्ती, B में सहसंयोजक) है।

एक क्रमविनिमेय वलय R और R-मापांक A और B के लिए, Extⁱ
_R(A, B) एक R-मापांक है, (Hom_R(A, B) इस स्थिति में एक R-मापांक है)। एक गैर-क्रमविनिमेय वलय R के लिए, Extⁱ
_R(A, B) सामान्यतः केवल एक एबेलियन समूह है। यदि R एक वलय S पर बीजगणितीय है (जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि S क्रमविनिमेय है), तो Extⁱ
_R(A, B) कम-से-कम S-मापांक है।

एक्सट के गुणधर्म

यहाँ एक्सट समूहों के कुछ मूलभूत गुणधर्म और संगणनाएँ दी गई हैं।

• Ext⁰
  _R(A, B) ≅ Hom_R(A, B) किसी भी R-मापांक A और B के लिए है।

• Extⁱ
  _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए, यदि R-मापांक A प्रक्षेपी मापांक है (उदाहरण के लिए, मुफ्त मापांक ) या यदि B अंतःक्षेपक मापांक है।

• बातचीत भी रखती है:
  • यदि Ext¹
    _R(A, B) = 0 सभी B के लिए, तो A प्रक्षेपी (और इसलिए Extⁱ
    _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए) है।
  • यदि Ext¹
    _R(A, B) = 0 सभी A के लिए, फिर B अंतःक्षेपी (और इसलिए एक्सटⁱ
    _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए) है।

• $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0$ सभी i ≥ 2 और सभी एबेलियन समूहों A और B के लिए है।
• यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और u में R एक शून्य भाजक नहीं है, तब

$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

किसी भी R-मापांक B के लिए है। यहां B [u] B के u-विमोटन उपसमूह {x ∈ B: ux = 0} को दर्शाता है। $\mathbb {Z}$ के पूर्णांकों को R का वलय मान लेना, किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह A के लिए, इस परिकलन $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)$ का उपयोग गणना करने के लिए किया जा सकता है।

• पिछले उदाहरण को सामान्य करते हुए, जब कोई पहला मापांक कोज़ल समष्टि का उपयोग करके किसी नियमित अनुक्रम द्वारा एक क्रमविनिमेय वलय का भागफल होता है, तो कोई एक्सट समूहों की गणना कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि R क्षेत्रक k पर बहुपद वलय k[x₁,...,x_n] है, तो Ext^*
  _R(k,k) Ext¹ में n जनक पर k के ऊपर बाह्य बीजगणितीय S है। इसके अतिरिक्त, Ext^*
  _R(k,k) बहुपद वलय R है; यह कोज़ल द्वैतता का एक उदाहरण है।

• व्युत्पन्न प्रकार्यकों के सामान्य गुणों के अनुसार, एक्सट के लिए दो मूल सटीक अनुक्रम हैं। सर्वप्रथम, R-मापांक के एक छोटे सटीक अनुक्रम 0 → K → L → M → 0 प्ररूप के एक लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करता है।

$0\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(A,K)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(A,L)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(A,M)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_R^1(A,K)$