एलपी स्पेस

For the sequence space ℓ^p, see Sequence space § ℓp spaces.

गणित में, एलपी रिक्त स्थान फ़ंक्शन रिक्त स्थान हैं जो परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के लिए पी-मानदंड के प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित किए जाते हैं। उन्हें कभी-कभी हेनरी लेबेस्ग्यू (डनफोर्ड एंड श्वार्ट्ज 1958, III.3) के नाम पर लेबेस्ग्यू स्पेस कहा जाता है, हालांकि बॉर्बकी समूह (बोरबाकी 1987) के अनुसार उन्हें पहली बार फ्रिगेस रिज़्ज़ (रीज़्ज़ 1910) द्वारा पेश किया गया था।
 

एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान में बनच रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं। माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण, भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।

एम्बेडिंग

सामान्य बोलचाल में अगर $1\leq p<q\leq \infty ,$ है तो इसमें ऐसे $L^{p}(S,\mu )$ कई कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व $L^{q}(S,\mu )$ अधिक फैलाया जा सकता है तथा अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें इसमें एक सतत कार्य $L^{1}$ होता है लेकिन अनंत की ओर तेजी से क्षय नहीं होना चाहिए तथा यह दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है $L^{\infty }$ को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति भी नहीं है इस तकनीकी के परिणाम निम्नलिखित है जैसे कि $0<p<q\leq \infty .$ तब

1. $L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )$ अगर $S$ परिमित के समूह नहीं होते हैं उदाहरण के लिए कोई परिमित माप।
2. $L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )$ और $S$ गैर-शून्य के समूह में सम्मिलित नहीं हैं लेकिन छोटे होते हैं।

माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित समूह पर गिनती माप के लिए अग्रसर नहीं हैं ये दोनों ही जगहों में व्याख्या करते हैं जिसकी पहचान एक चालक पर सीमित है $L^{q}$ को $L^{p}$ की जगहों में और $L^{p}$ को $L^{q}$ क्षण में यह बंद ग्राफ प्रमेय और गुणों का परिणाम है तथा $L^{p}$ रिक्त स्थान और डोमेन $S$ परिमित माप है जो इस प्रकार है-

$$\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}$$

तब

$$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.$$

उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाले निरंतर अर्थ में कि पहचान का मानदंड यह $I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )$ है जहाँ

$$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}$$

इसमें समानता ठीक उसी समय प्राप्त किया जा रहा है $f=1$ $\mu$

सघन उपस्थान

इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं $1\leq p<\infty .$एक माप स्थान बनें एक पूर्णांक सरल कार्य $f$ पर $S$ एक रूप है जो इस प्रकार है

$$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$

जब $a_{j}$ अदिश राशि है तो यह $A_{j}\in \Sigma$ परिमित उपाय है और ${\mathbf {1} }_{A_{j}}$ समूह का सूचक कार्य है $A_{j},$के लिए $j=1,\dots ,n.$ एकीकरण के निर्माण से समाकलनीय सरल फलनों का सदिश स्थान सघन होता है $L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).$

अगर $S$ बढ़ते अनुक्रम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है $(V_{n})$ खुले समूहों का परिमित माप है फिर स्थान $p$-अभिन्न निरंतर कार्य में सघन है तो यह $L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).$ सीमित निरंतर कार्यों का उपयोग कर सकता है जो खुले समूहों में गायब हो जाते हैं यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब $S=\mathbb {R} ^{d}$ और $\mu$ लेबेस्ग उपाय है तथा निरंतर और समर्थित कार्यों का स्थान सघन है जैसे $L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).$ इसी तरह यह स्थान परिबद्ध अंतरालों के संकेतक कार्यों की रैखिक अवधि है जब $d=1,$घिरे हुए आयतों का तथा $d=2$ परिबद्ध अंतरालों के उत्पादों के रूप में होता है।

इसमें सामान्य कार्यों के कई गुण $L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ पहले निरंतर रूप से समर्थित कार्यों के लिए सिद्ध होते हैं फिर घनत्व द्वारा सभी कार्यों के लिए विस्तारित होते हैं उदाहरण के लिए यह इस तरह सिद्ध होता है कि अनुवाद निरंतर जारी है जो निम्नलिखित अर्थ में है

$$\forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,$$

तब

$$(\tau _{t}f)(x)=f(x-t).$$

हिल्बर्ट रिक्त स्थान
संपादन करना
इन्हें भी देखें: स्क्वायर-इंटीग्रेबल फंक्शन
क्वांटम यांत्रिकी से लेकर स्टोचैस्टिक कैलकुलस तक हिल्बर्ट स्पेस कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं। रिक्त स्थान
   
2
एल^{2} और
ℓ
2
\ell ^{2} दोनों हिल्बर्ट स्पेस हैं। वास्तव में, हिल्बर्ट आधार चुनकर
   
,
{\displaystyle E,} यानी, का एक मैक्सिमम ऑर्थोनॉर्मल सबसेट
   
2 

L^{2} या कोई भी हिल्बर्ट स्पेस, कोई देखता है कि हर हिल्बर्ट स्पेस आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है

बंद उप-स्थान

अगर $\mu$ मापने योग्य स्थान पर एक संभाव्यता माप है तो यह $(S,\Sigma ),$ $0<p<\infty$ कोई सकारात्मक वास्तविक संख्या है और $V\subseteq L^{\infty }(\mu )$ एक सदिश उप समष्टि है तब $V$ बंद उप समष्टि है $L^{p}(\mu )$ अगर $V$ परिमित-आयामी है तो इस प्रमेय में जो अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के कारण हैं यह महत्वपूर्ण है जैसे सदिश स्थान $V$ का उपसमुच्चय $L^{\infty }$ हो तो अनंत-विमीय बंद सदिश उप समष्टि का निर्माण संभव है $L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)$कहाँ $\lambda$ इकाई वृत्त की माप है $S^{1}$ और ${\tfrac {1}{2\pi }}\lambda$ संभाव्यता माप है जो इसे इसके द्रव्यमान से विभाजित करने का परिणाम है जैसे $\lambda (S^{1})=2\pi .$

L^p (0 < p < 1)

वेक्टर के पास उत्तल पड़ोस की मूलभूत प्रणाली नहीं हैविशेष रूप से, यह सच है यदि माप स्थान

S में परिमित धनात्मक माप के असंयुक्त मापने योग्य सेटों का एक अनंत परिवार होता है।

केवल गैर-खाली उत्तल खुला सेट  स्थान है (रुडिन 1991, §1.47)। एक विशेष परिणाम के रूप में, कोई गैर-शून्य निरंतर रैखिक कार्य नहीं हैंसतत दोहरा स्थान शून्य स्थान है। प्राकृतिक संख्याओं पर गिनती माप के मामले में (अनुक्रम स्थान का निर्माण

   
(
   
)
=
ℓ
   
{\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}), पर परिबद्ध रेखीय फलन
ℓ
   
\ell ^{p} बिल्कुल वे हैं जो बंधे हुए हैं
ℓ
1
,
{\displaystyle \ell ^{1},} अर्थात् वे जो क्रम में दिए गए हैं
ℓ
∞
.
{\displaystyle \ell ^{\infty}.} हालांकि
ℓ
   
\ell ^{p} में गैर-तुच्छ उत्तल खुले सेट होते हैं, यह टोपोलॉजी के लिए आधार देने के लिए उनमें से पर्याप्त होने में विफल रहता है।

$$N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .$$

सामान्यीकरण और विस्तार

समान्यीकरण

समान्यीकरण $(S,\Sigma ,\mu )$ एक माप स्थान है और $f$ वास्तविक या जटिल मूल्यों के साथ एक औसत दर्जे का कार्य $S.$ का संचयी वितरण समारोह $f$ के लिए परिभाषित किया गया है जैसे $t\geq 0$ द्वारा इसे दर्शाया गया है जहाँ

$$\lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.$$

$$\|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).$$

भारित L^p रिक्त स्थान

पहले की तरह माप स्थान $(S,\Sigma ,\mu ).$ है तथा $w:S\to [a,\infty ),a>0$ एक मापने योग्य कार्य हो $w$वें भारित $L^{p}$ अंतरिक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है $L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),$ जो $w\,\mathrm {d} \mu$ पैमाना $\nu$

$\nu$ द्वारा परिभाषित

$$\nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,$$

L^p कई गुना पर रिक्त स्थान

Lp कई रिक्त स्थान परिभाषित कर सकता है $L^{p}(M)$ पर कई गुना आंतरिक माना जाता है $L^{p}$ पर घनत्व का उपयोग करते हुए रिक्त स्थान निम्न हैं।

सदिश-मूल्यवान L^p रिक्त स्थान

एक माप स्थान दिया गया $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ और स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थान $E$ इसके रिक्त स्थान को परिभाषित करता है यहाँ $p$-पूर्ण करने योग्य $E$-मूल्यवान कार्यों पर $\Omega$ कई तरह से परिभाषित किया गया है जो इस प्रकार है $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,$ तथा यह टेन्सर उत्पाद द्वारा निरूपित $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.$ किया गया है।

संदर्भ

• Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), Sobolev Spaces (Second ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Bahouri, Hajer; Chemin, Jean-Yves; Danchin, Raphaël (2011). Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 343. Berlin, Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC 704397128.
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience.
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press
• Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., pp. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 89, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662447, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
• Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen, 69 (4): 449–497, doi:10.1007/BF01457637, S2CID 120242933
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
• Titchmarsh, EC (1976), The theory of functions, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

बाहरी संबंध

• "Lebesgue space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Proof that L^p spaces are complete