एलपी स्पेस

For the sequence space ℓ^p, see Sequence space § ℓp spaces.

गणित में एलपी स्पेस समारोह का विशेष स्थान हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम हेनरी लेबेस्ग्यू के नाम पर रखा गया है जबकि निकोलस बोरबाकी समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए। ([[#CITEREF|]]).

{{{1}}}एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और सदिश  स्थान में रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं जो माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, 

एम्बेडिंग

बोलचाल में, अगर $1\leq p<q\leq \infty ,$ तब $L^{p}(S,\mu )$ ऐसे कार्य शामिल हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं, जबकि के तत्व $L^{q}(S,\mu )$ अधिक फैलाया जा सकता है। अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें $(0,\infty ).$ में एक सतत कार्य $L^{1}$ के पास फट सकता है $0$ लेकिन अनंत की ओर पर्याप्त तेजी से क्षय होना चाहिए। दूसरी ओर, निरंतर कार्य करता है $L^{\infty }$ बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है, लेकिन विस्फोट की अनुमति नहीं है। सटीक तकनीकी परिणाम निम्नलिखित है। लगता है कि $0<p<q\leq \infty .$ तब:

1. $L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )$ अगर और केवल अगर $S$ परिमित के सेट नहीं होते हैं लेकिन मनमाने ढंग से बड़े माप (उदाहरण के लिए कोई परिमित माप)।
2. $L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )$ अगर और केवल अगर $S$ गैर-शून्य के सेट शामिल नहीं हैं लेकिन मनमाने ढंग से छोटे उपाय (गिनती के उपाय, उदाहरण के लिए)।

Lebesgue माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है, जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित सेट पर गिनती माप के लिए हैं। दोनों ही मामलों में एम्बेडिंग निरंतर है, जिसमें पहचान ऑपरेटर एक सीमित रैखिक मानचित्र है $L^{q}$ को $L^{p}$ पहले मामले में, और $L^{p}$ को $L^{q}$ क्षण में। (यह बंद ग्राफ प्रमेय और गुणों का परिणाम है $L^{p}$ रिक्त स्थान।) दरअसल, अगर डोमेन $S$ परिमित माप है, होल्डर की असमानता का उपयोग करके निम्नलिखित स्पष्ट गणना की जा सकती है

$$\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}$$

के लिए अग्रणी

$$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.$$

उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाला निरंतर इष्टतम है, इस अर्थ में कि पहचान का ऑपरेटर मानदंड $I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )$ ठीक है

$$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}$$

समानता का मामला ठीक उसी समय प्राप्त किया जा रहा है $f=1$ $\mu$-लगभग हर जगह।

सघन उपस्थान

इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं $1\leq p<\infty .$ होने देना $(S,\Sigma ,\mu )$ एक माप स्थान बनें। एक पूर्णांक सरल कार्य $f$ पर $S$ एक रूप है

$$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$

कहाँ $a_{j}$ अदिश हैं, $A_{j}\in \Sigma$ परिमित उपाय है और ${\mathbf {1} }_{A_{j}}$ सेट का सूचक कार्य है $A_{j},$ के लिए $j=1,\dots <!--\; \dots \; -->$