सार सरल जटिल

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एक 3-आयामी सार सरल परिसर का ज्यामितीय अहसास

साहचर्य में, सार सरल जटिल (एएससी), जिसे अक्सर सार कॉम्प्लेक्स या सिर्फ कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, समुच्चय का परिवार है जो सबसमुच्चय लेने के तहत बंद होता है, यानी परिवार में समुच्चय का हर सबसमुच्चय भी परिवार में होता है। यह साधारण जटिल की ज्यामितीय धारणा का विशुद्ध रूप से मिश्रित विवरण है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी साधारण परिसर में, परिवार में समुच्चय त्रिकोण (आकार 3 के समुच्चय), उनके किनारे (आकार 2 के समुच्चय), और उनके शिखर (आकार 1 के समुच्चय) हैं।

मेट्रोइड और लालचोइड्स के संदर्भ में, अमूर्त साधारण परिसरों को स्वतंत्रता प्रणाली भी कहा जाता है।

स्टैनली-रीस्नर रिंग बनाकर अमूर्त सिम्प्लेक्स का बीजगणितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है; यह कॉम्बिनेटरिक्स और कम्यूटेटिव बीजगणित के बीच शक्तिशाली संबंध स्थापित करता है।

परिभाषाएँ

संग्रह Δ एक समुच्चय (गणित) एस के गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के } को समुच्चय-फ़ैमिली कहा जाता है।

एक समुच्चय-फ़ैमिली Δ को एब्स्ट्रैक्ट सिम्पलीशियल कॉम्प्लेक्स कहा जाता है, अगर Δ में हर समुच्चय X के लिए, और हर गैर-रिक्त सबसमुच्चय Y ⊆ X, समुच्चय Y भी Δ से संबंधित है।

परिमित समुच्चय जो Δ से संबंधित हैं, परिसर के चेहरे कहलाते हैं, और एक चेहरे Y को दूसरे चेहरे X से संबंधित कहा जाता है यदि Y ⊆ X है, तो एक अमूर्त साधारण परिसर की परिभाषा को यह कहते हुए बहाल किया जा सकता है कि चेहरे का हर चेहरा एक जटिल Δ का स्वयं Δ का एक चेहरा है। Δ के शीर्ष समुच्चय को V(Δ) = ∪Δ के रूप में परिभाषित किया गया है, Δ के सभी फलकों का मिलन वर्टेक्स समुच्चय के तत्वों को कॉम्प्लेक्स के वर्टिकल कहा जाता है। Δ के प्रत्येक शीर्ष v के लिए, समुच्चय {v} सम्मिश्र का एक फलक है, और संकुल का प्रत्येक फलक शीर्ष समुच्चय का परिमित उपसमुच्चय है।

Δ के अधिकतम फलक (अर्थात् वे फलक जो किसी अन्य फलक के उपसमुच्चय नहीं हैं) सम्मिश्र के फलक कहलाते हैं। Δ में फलक X के आयाम को मंद (X) = |X| के रूप में परिभाषित किया गया है - 1: एकल तत्व वाले चेहरे शून्य-आयामी होते हैं, दो तत्वों वाले चेहरे एक-आयामी होते हैं, आदि सम्मिश्र मंद (Δ) के आयाम को इसके किसी भी फलक के सबसे बड़े आयाम या अनन्तता के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि फलकों के आयाम पर कोई परिमित सीमा नहीं है।

सम्मिश्र Δ को परिमित कहा जाता है यदि इसके बहुत से फलक होते हैं, या समतुल्य रूप से यदि इसका शीर्ष समुच्चय परिमित है। इसके अलावा, Δ को शुद्ध कहा जाता है यदि यह परिमित-आयामी है (लेकिन जरूरी नहीं कि परिमित हो) और हर पहलू का एक ही आयाम हो दूसरे शब्दों में, Δ शुद्ध है यदि मंद (Δ) परिमित है और प्रत्येक चेहरा आयाम मंद (Δ) के पहलू में समाहित है।

एक-आयामी सार सरल परिसर गणितीय रूप से सरल ग्राफ़ अप्रत्यक्ष ग्राफ रेखांकन के समतुल्य हैं: परिसर के शीर्ष समुच्चय को ग्राफ के शीर्ष समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है, और जटिल के दो-तत्व पहलू एक ग्राफ के अप्रत्यक्ष किनारों के अनुरूप होते हैं। इस दृष्टि से, एक जटिल के एक-तत्व पहलू अलग-अलग शीर्षों के अनुरूप होते हैं जिनमें कोई घटना किनारे नहीं होते हैं।

का उपसमुच्चय Δ सार सरल जटिल एल है जैसे कि एल का हर चेहरा संबंधित है Δ; वह है, L ⊆ Δ और L सार सरल जटिल है। उपसमुच्चय जिसमें ही फलक के सभी उपसमुच्चय होते हैं Δ को अक्सर का सिंप्लेक्स कहा जाता है Δ. (हालांकि, कुछ लेखक चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का प्रयोग करते हैं, बल्कि अस्पष्ट रूप से, चेहरे और चेहरे से जुड़े उपसमुच्चय दोनों के लिए, गैर-अमूर्त (ज्यामितीय) सरलीकृत जटिल शब्दावली के अनुरूप होते हैं। अस्पष्टता से बचने के लिए, हम नहीं करते हैं। इस आलेख में अमूर्त परिसरों के संदर्भ में चेहरे के लिए सिम्पलेक्स शब्द का उपयोग करें)।

Δ का एक उपसमुच्चय एक सार सरल जटिल एल है जैसे कि एल का हर चेहरा Δ से संबंधित है; वह है, एल ⊆ Δ और एल एक अमूर्त साधारण परिसर है। एक उपसमुच्चय जिसमें Δ के एक ही फलक के सभी उपसमुच्चय होते हैं, उसे अक्सर Δ का एक सिम्प्लेक्स कहा जाता है। (हालांकि, कुछ लेखक एक चेहरे के लिए "सरल" शब्द का प्रयोग करते हैं, बल्कि अस्पष्ट रूप से, दोनों चेहरे और एक चेहरे से जुड़े उपसमुच्चय के लिए, गैर-अमूर्त (ज्यामितीय) सरलीकृत जटिल शब्दावली के साथ सादृश्य द्वारा अस्पष्टता से बचने के लिए, हम इस लेख में अमूर्त परिसरों के संदर्भ में चेहरे के लिए "सिम्प्लेक्स" शब्द का उपयोग नहीं करते हैं)।

Δ का डी-कंकाल Δ का उपसमूह है जिसमें Δ के सभी चेहरे शामिल हैं जिनके आयाम अधिक से अधिक d हैं। विशेष रूप से, 1-कंकाल (टोपोलॉजी) को Δ का अंतर्निहित ग्राफ कहा जाता है। Δ के 0-कंकाल को इसके शीर्ष समुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है, हालांकि औपचारिक रूप से यह काफी समान नहीं है (शीर्ष समुच्चय सभी शीर्षों का एक समुच्चय है, जबकि 0-कंकाल एकल-तत्व समुच्चय का एक परिवार है)।

Δ में एक फलक Y का लिंक, जिसे अक्सर Δ/Y या lkΔ(Y) के रूप में निरूपित किया जाता है, Δ का उपसमुच्चय है जिसे परिभाषित किया गया है

$\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}$

ध्यान दें कि खाली समुच्चय का लिंक Δ ही है।

सरलीकृत मानचित्र

Main article: सरलीकृत मानचित्र

दो अमूर्त सरलीकृत परिसरों, Δ और Γ को देखते हुए, एक सरलीकृत मानचित्र एक ऐसा फलन f है, जो Δ अक्ष के शीर्ष को Γ अक्ष के शीर्ष के रूप में चित्रित करता है और इसमें यह गुण होता है कि किसी भी Δ के लिए एक्स छवि (गणित)  f (X) वर्ग का मुख है। वस्तुओं के रूप में सार सरलीकृत परिसरों के साथ एक श्रेणी एससीपीएक्स है और आकारिकी के रूप में सरल मानचित्र हैं। यह गैर-अमूर्त साधारण परिसरों का उपयोग करके परिभाषित उपयुक्त श्रेणी के बराबर है।

इसके अलावा, देखने का स्पष्ट बिंदु हमें एक सार सरल परिसर Δ के अंतर्निहित सेट एस और Δ के वर्टेक्स सेट वी (Δ) ⊆ एस के बीच संबंध को कसने की अनुमति देता है: सार सरल जटिल परिसरों की एक श्रेणी को परिभाषित करने के प्रयोजनों के लिए, V(Δ) में नहीं पड़े S के तत्व अप्रासंगिक हैं। अधिक सटीक रूप से, एससीपीएक्स उस श्रेणी के बराबर है जहां:

• एक वस्तु एक सेट S है जो गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय Δ के संग्रह से सुसज्जित है जिसमें सभी सिंगलटन शामिल हैं और ऐसा है कि यदि एक्स Δ में है और वाई ⊆ एक्स खाली नहीं है, तो वाई भी Δ से संबंधित है।
• (S, Δ) से (T, Γ) तक एक आकारिकी एक फलन f : S → T है जैसे कि Δ के किसी भी तत्व की छवि Γ का एक तत्व है।

ज्यामितीय बोध

हम किसी भी एब्स्ट्रैक्ट सिम्प्लीशियल कॉम्प्लेक्स (एएससी) K को एक टोपोलॉजिकल स्पेस $|K|$ से जोड़ सकते हैं, जिसे इसका ज्यामितीय अहसास कहा जाता है। $|K|$ को परिभाषित करने के कई तरीके हैं।

ज्यामितीय परिभाषा

प्रत्येक ज्यामितीय साधारण परिसर (जीएससी) एक एएससी निर्धारित करता है: एएससी के शिखर जीएससी के शिखर हैं, और एएससी के चेहरे जीएससी के चेहरों के शीर्ष-सेट हैं। उदाहरण के लिए, 4 कोने {1,2,3,4} के साथ एक जीएससी पर विचार करें, जहां अधिकतम चेहरे {1,2,3} के बीच त्रिकोण और {2,4} और {3,4} के बीच की रेखाएं हैं। फिर, संबंधित एएससी में सेट {1,2,3}, {2,4}, {3,4}, और उनके सभी सबसेट शामिल हैं। हम कहते हैं कि जीएससी एएससी की ज्यामितीय प्राप्ति है।

प्रत्येक ASC का एक ज्यामितीय अहसास होता है। परिमित ASC के लिए यह देखना आसान है। मान लीजिये $N:=|V(K)|$, $\mathbb {R} ^{N}$ में एक (N-1)-आयामी सिंप्लेक्स के शीर्षों के साथ $V(K)$ में शीर्षों की पहचान करें तथा जीएससी {conv(F): F, K में एक चेहरा है} की रचना करें स्पष्ट रूप से, इस GSC से जुड़ा ASC K के समान है, इसलिए हमने वास्तव में K के ज्यामितीय अहसास का निर्माण किया है। वास्तव में, बहुत कम आयामों का उपयोग करके एक ASC प्राप्त किया जा सकता है। अगर एक एएससी डी-आयामी है (अर्थात, इसमें एक सिम्प्लेक्स की अधिकतम कार्डिनैलिटी d+1 है), तो इसमें $\mathbb {R} ^{2d+1}$ में ज्यामितीय प्राप्ति होती है। लेकिन $\mathbb {R} ^{2d}$ में ज्यामितीय अहसास नहीं हो सकता है। विशेष मामला d=1 प्रसिद्ध तथ्य से मेल खाता है, कि किसी भी ग्राफ (असतत गणित) को $\mathbb {R} ^{3}$ में प्लॉट किया जा सकता है, जहां किनारे सीधी रेखाएं होती हैं, जो आम शीर्षों को छोड़कर एक-दूसरे को नहीं काटती हैं, लेकिन इस तरह $\mathbb {R} ^{2}$ में कोई भी ग्राफ नहीं बनाया जा सकता है।

यदि K मानक कॉम्बीनेटरियल n-सिम्प्लेक्स है, तो $|K|$ को स्वाभाविक रूप से Δⁿ से पहचाना जा सकता है।

एक ही एएससी के हर दो ज्यामितीय अहसास, यहां तक कि विभिन्न आयामों के यूक्लिडियन स्थानों में भी, होमोमोर्फिज्म हैं। इसलिए, एक एएससी के दिए जाने पर, कोई के के ज्यामितीय प्राप्ति के बारे में बात कर सकता है।

सामयिक परिभाषा

निर्माण निम्नानुसार होता है। सबसे पहले, $|K|$ को $[0,1]^{S}$ के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित करें जिसमें दो शर्तें पूरी करने वाले फ़ंक्शन $t\colon S\to [0,1]$ शामिल हैं:

$\{s\in S:t_{s}>0\}\in K$

$\sum _{s\in S}t_{s}=1$

अब $[0,1]^{S}$ के तत्वों के सेट को परिमित समर्थन के साथ $[0,1]^{A}$ की सीधी सीमा के रूप में सोचें, जहां A, S के परिमित सबसेट से अधिक है , और उस सीधी सीमा को प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी प्रदान की जा सकती है। अब $|K|$ सबस्पेस टोपोलॉजी प्रदान करें।

श्रेणीबद्ध परिभाषा

वैकल्पिक रूप से, मान लें कि ${\mathcal {K}}$ उस श्रेणी को दर्शाता है जिसकी वस्तुएँ ${\mathcal {K}}$ फलक हैं और जिनकी आकारिकी समावेशन है। इसके बाद K के वर्टेक्स सेट पर कुल ऑर्डर चुनें और K से टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी के लिए एक फंक्टर F को निम्नानुसार परिभाषित करें आयाम n के ${\mathcal {K}}$ में किसी भी चेहरे X के लिए, F(X) = Δⁿ मानक n-सिम्प्लेक्स हैं। वर्टेक्स सेट पर क्रम तब X के तत्वों और Δn के शीर्षों के बीच एक अद्वितीय आक्षेप को निर्दिष्ट करता है, सामान्य तरीके से e₀ < e₁ < ... < e_n का आदेश दिया जाता है। यदि Y ⊆ X आयाम m < n का एक फलक है, तो यह आक्षेप Δⁿ का एक अद्वितीय m-आयामी फलक निर्दिष्ट करता है। F(Y) → F(X) को Δ^m के अद्वितीय एफ़िन परिवर्तन रैखिक एम्बेडिंग के रूप में परिभाषित करें, जो Δⁿ के विशिष्ट चेहरे के रूप में है, जैसे कि कोने पर मानचित्र क्रम-संरक्षित है।

इसके बाद हम ज्यामितीय अहसास $|K|$ को फ़ंक्टर F के कोलिमिट के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। अधिक विशेष रूप से $|K|$ असंयुक्त संघ का भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है

$\coprod _{X\in K}{F(X)}$

तुल्यता संबंध द्वारा जो एक बिंदु y ∈ F(Y) को मानचित्र F(Y) → F(X) के तहत प्रत्येक समावेशन Y ⊆ X के लिए उसकी छवि के साथ पहचानता है।

उदाहरण

1. मान लीजिये V प्रमुखता n + 1 का एक परिमित समुच्चय है। वर्टेक्स-सेट V के साथ कॉम्बिनेटरियल n-सिम्प्लेक्स एक एएससी है, जिसके चेहरे V के सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं (यानी, यह V का सत्ता स्थापित है)। अगर V = S = {0, 1, ..., n}, तो इस एएससी को मानक कॉम्बीनेटरियल n-सिम्प्लेक्स कहा जाता है।

2. मान लीजिये G एक अप्रत्यक्ष ग्राफ है। G का क्लिक कॉम्प्लेक्स एक ASC है जिसके चेहरे G के सभी क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) हैं। G का इंडिपेंडेंस कॉम्प्लेक्स एक ASC है, जिसके चेहरे G के सभी स्वतंत्र समुच्चय (ग्राफ सिद्धांत) हैं (यह G के पूरक ग्राफ का क्लिक कॉम्प्लेक्स है)। क्लिक कॉम्प्लेक्स ध्वज परिसरों का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण हैं। एक ध्वज परिसर संपत्ति के साथ एक जटिल K है, जो कि तत्वों का प्रत्येक सेट जो K के चेहरों से संबंधित है, स्वयं K का एक चेहरा है।

3. मान लीजिये H एक हाइपरग्राफ है। H एक हाइपरग्राफ में मिलान H के किनारों का एक सेट है, जिसमें प्रत्येक दो किनारों को अलग किया जाता है। H का मिलान परिसर एक ASC है जिसके सभी चेहरे H में मेल खाते हैं। यह एच के रेखा ग्राफ का स्वतंत्रता परिसर है।

4. मान लीजिए कि P आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय (पॉसेट) है। P का ऑर्डर कॉम्प्लेक्स एक ASC है जिसके चेहरे P में सभी परिमित श्रृंखलाएँ हैं। इसके होमोलॉजी समूह और अन्य टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट में पोसेट पी के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी होती है।

5. मान लीजिये एम एक मीट्रिक स्पेस और δ एक वास्तविक संख्या है। विएटोरिस-रिप्स कॉम्प्लेक्स एक एएससी है जिसका चेहरा अधिकतम δ व्यास वाले एम के परिमित उपसमुच्चय हैं। इसमें समरूपता सिद्धांत, अतिशयोक्तिपूर्ण समूह, मूर्ति प्रोद्योगिकी और मोबाइल तदर्थ नेटवर्क में एप्लिकेशन हैं। यह ध्वज परिसर का एक और उदाहरण है।

6. मान लीजिए $I$ एक बहुपद वलय $S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ में एक वर्ग-मुक्त एकपदी (अर्थात, चरों के सबसेट के गुणनफल द्वारा उत्पन्न आदर्श) गुणज है। फिर $S$ के उन वर्ग-मुक्त मोनोमियल्स के प्रतिपादक वैक्टर जो $I$ में नहीं हैं, मानचित्र $\mathbf {a} \in \{0,1\}^{n}\mapsto \{i\in [n]:a_{i}=1\}$, वास्तव में, एस में एन वर्टिकल और स्क्वायर-फ्री मोनोमियल आदर्शों पर (गैर-खाली) अमूर्त सरलीकृत परिसरों के बीच एक आक्षेप है। अगर $I_{\Delta }$ साधारण जटिल $\Delta$ के अनुरूप वर्ग-मुक्त आदर्श है, तो भागफल $S/I_{\Delta }$ को Δ के स्टेनली-रीस्नर रिंग के रूप में जाना जाता है।

7. एक टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी खुला आवरण सी के लिए, सी का तंत्रिका परिसर एक अमूर्त सरल जटिल है जिसमें सी के उप-परिवार एक गैर-खाली चौराहे के साथ होते हैं।

गणना

n लेबल वाले तत्वों तक (जो कि आकार n के एक सेट S पर है) अमूर्त सरलीकृत परिसरों की संख्या nth Dedekind संख्या से एक कम है। ये संख्याएँ बहुत तेज़ी से बढ़ती हैं, और केवल n ≤ 8 के लिए जानी जाती हैं; Dedekind संख्याएँ हैं (n = 0 से शुरू):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787 (ओईआईएस में अनुक्रम A014466) यह एक n सेट के उपसमुच्चय के गैर-खाली एंटीचाइन्स की संख्या से मेल खाती है।

अमूर्त साधारण परिसरों की संख्या जिनके कोने बिल्कुल एन लेबल वाले तत्व हैं, अनुक्रम "1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966" (अनुक्रम A006126 ओईआईएस में) द्वारा दिया गया है, जो n = 1 से शुरू होता है। यह लेबल वाले एन-सेट के एंटीचैन कवर की संख्या से मेल खाता है; उनके अधिकतम चेहरों के संदर्भ में वर्णित एन तत्वों पर एक एन-सेट और साधारण परिसरों के एंटीचैन कवर के बीच एक स्पष्ट आपत्ति है।

n = 1 से शुरू होने वाले अनुक्रम "1, 2, 5, 20, 180, 16143" (ओईआईएस में अनुक्रम A006602) द्वारा अनुक्रमित सरलीकृत परिसरों की संख्या वास्तव में n लेबल रहित तत्वों पर दी गई है।

कम्प्यूटेशनल समस्याएं

Main article: सरल जटिल पहचान समस्या

साधारण जटिल मान्यता समस्या है: एक परिमित ASC दिया गया है, यह तय करें कि क्या ज्यामितीय प्राप्ति किसी दिए गए ज्यामितीय वस्तु के लिए होमोमोर्फिक है। यह समस्या डी ≥ 5 के लिए किसी भी डी-आयामी मैनिफोल्ड के लिए अनिर्णीत समस्या है।

अन्य अवधारणाओं से संबंध

एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक सार सरल परिसर जिसे वृद्धि संपत्ति या विनिमय संपत्ति कहा जाता है, एक मैट्रॉइड पैदा करता है। निम्नलिखित अभिव्यक्ति शर्तों के बीच संबंधों को दर्शाती है:

(हाइपरग्राफ = सेट-परिवार ⊃ स्वतंत्रता-प्रणाली = सार-सरल-परिसर ⊃ मैट्रोइड्स)

यह भी देखें

• क्रुस्कल-काटोना प्रमेय
• सरल समुच्चय