अंतिम टोपोलॉजी

सामान्य टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, अंतिम टोपोलॉजी (या सह-प्रेरित, एक सेट (गणित) पर मजबूत, कोलिमिट, या इंडक्टिव टोपोलॉजी) $X,$ टोपोलॉजिकल स्पेस से कार्यों के एक परिवार के संबंध में $X,$ पर बेहतरीन टोपोलॉजी है $X$ जो उन सभी कार्यों को सतत कार्य (टोपोलॉजी) बनाता है।

कोशेंट स्पेस (टोपोलॉजी) एक अंतिम टोपोलॉजी है, जो कि एकल विशेषण फ़ंक्शन के संबंध में है, अर्थात् भागफल मानचित्र। समावेशन मानचित्रों के संबंध में विसंधित संघ (टोपोलॉजी) अंतिम टोपोलॉजी है। अंतिम टोपोलॉजी भी टोपोलॉजी है जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी में प्रत्येक सीधी सीमा से संपन्न है, और यह प्रत्यक्ष सीमा के संदर्भ में है कि अंतिम टोपोलॉजी अक्सर प्रकट होती है। एक टोपोलॉजी सबस्पेस टोपोलॉजी के कुछ संग्रह के साथ सुसंगत टोपोलॉजी है अगर और केवल अगर यह प्राकृतिक समावेशन से प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी है।

दोहरी धारणा प्रारंभिक टोपोलॉजी है, जो एक सेट से कार्यों के दिए गए परिवार के लिए है $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस में सबसे मोटे टोपोलॉजी है $X$ जो उन कार्यों को निरंतर करता है।

परिभाषा

एक सेट दिया $X$ और एक $I$टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अनुक्रमित परिवार $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ संबद्ध कार्यों के साथ

$$f_{i}:Y_{i}\to X,$$

final topology on $X$ induced by the family of functions ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ बेहतरीन टोपोलॉजी है $\tau _{\mathcal {F}}$ पर $X$ ऐसा है कि

$$f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$$

प्रत्येक के लिए निरंतर (टोपोलॉजी) है $i\in I$.

स्पष्ट रूप से, अंतिम टोपोलॉजी को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

उपसमुच्चय $U$ का $X$ अंतिम टोपोलॉजी में खुला है $\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ (वह है, $U\in \tau _{\mathcal {F}}$) अगर और केवल अगर $f_{i}^{-1}(U)$ में खुला है $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ प्रत्येक के लिए $i\in I$.

बंद उपसमुच्चय में एक समान विशेषता है:

उपसमुच्चय $C$ का $X$ अंतिम टोपोलॉजी में बंद है $\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ अगर और केवल अगर $f_{i}^{-1}(C)$ में बंद है $\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)$ प्रत्येक के लिए $i\in I$.

परिवार ${\mathcal {F}}$ उन कार्यों का जो अंतिम टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $X$ आमतौर पर कार्यों का एक सेट होता है। लेकिन वही निर्माण किया जा सकता है अगर ${\mathcal {F}}$ कार्यों का एक उचित वर्ग है, और परिणाम अभी भी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में अच्छी तरह से परिभाषित है। उस मामले में हमेशा एक उपपरिवार होता है ${\mathcal {G}}$ का ${\mathcal {F}}$ साथ ${\mathcal {G}}$ एक सेट, जैसे कि अंतिम टोपोलॉजी $X$ प्रेरक ${\mathcal {F}}$ और तक ${\mathcal {G}}$ संयोग। इस पर अधिक जानकारी के लिए, उदाहरण के लिए यहां चर्चा देखें। एक उदाहरण के रूप में, सघन रूप से उत्पन्न स्थान की धारणा के एक सामान्य रूप से प्रयुक्त संस्करण को कार्यों के एक उचित वर्ग के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है।

उदाहरण

महत्वपूर्ण विशेष मामला जहां नक्शों का परिवार ${\mathcal {F}}$ एक विशेषण मानचित्र से मिलकर भागफल मानचित्र की धारणा का उपयोग करके पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है। एक विशेषण समारोह $f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक भागफल मानचित्र है यदि और केवल यदि टोपोलॉजी $\tau$ पर $X$ अंतिम टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है $\tau _{\mathcal {F}}$ परिवार द्वारा प्रेरित ${\mathcal {F}}=\{f\}$. विशेष रूप से: भागफल स्थान (टोपोलॉजी)#भागफल मानचित्र द्वारा प्रेरित भागफल स्थान पर भागफल टोपोलॉजी अंतिम टोपोलॉजी है।

एक सेट पर अंतिम टोपोलॉजी $X$ के परिवार से प्रेरित है $X$-वैल्यूड मैप्स को भागफल टोपोलॉजी के दूरगामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जहां केवल एक के बजाय कई मैप्स का उपयोग किया जा सकता है और जहां इन मैप्स को अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है।

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान दिया गया $X_{i}$, विसंधित संघ पर विसंधित संघ (टोपोलॉजी)। $\coprod _{i}X_{i}$ प्राकृतिक अंतःक्षेपण द्वारा प्रेरित विसंधित संघ पर अंतिम टोपोलॉजी है।

टोपोलॉजी के सेट के एक परिवार को देखते हुए $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}$ एक निश्चित सेट पर $X,$ पर अंतिम टोपोलॉजी $X$ पहचान मानचित्र के संबंध में $\operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X$ जैसा $i$ से अधिक है $I,$ इसे कहते हैं $\tau ,$ इन टोपोलॉजी में से कम (या मिलना) है $\left(\tau _{i}\right)_{i\in I}$ टोपोलॉजी के जाल में $X.$ यानी अंतिम टोपोलॉजी $\tau$ चौराहे के बराबर है (सेट सिद्धांत) $\tau =\bigcap _{i\in I}\tau _{i}.$ रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों के किसी भी प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) की प्रत्यक्ष सीमा सेट-सैद्धांतिक प्रत्यक्ष सीमा है, जो कैनोनिकल मोर्फिज्म द्वारा निर्धारित अंतिम टोपोलॉजी के साथ है। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि अगर $\operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i},f_{ji},I\right)$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी में एक प्रत्यक्ष प्रणाली है और यदि $\left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)$ की सीधी सीमा है $\operatorname {Sys} _{Y}$ सेट की श्रेणी में, फिर एंडोइंग द्वारा $X$ अंतिम टोपोलॉजी के साथ $\tau _{\mathcal {F}}$ प्रेरक ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},$ $\left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)$ की सीधी सीमा बन जाती है $\operatorname {Sys} _{Y}$ शीर्ष श्रेणी में।

एक शीफ के étalé स्थान को अंतिम टोपोलॉजी द्वारा टोपोलॉजीकृत किया जाता है।

एक प्रथम-गणनीय हौसडॉर्फ स्थान $(X,\tau )$ स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर $\tau$ पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है $X$ सेट से प्रेरित $C\left([0,1];X\right)$ सभी निरंतर मानचित्रों की $[0,1]\to (X,\tau ),$ जहां ऐसे किसी मानचित्र को पथ (गणित) कहा जाता है $(X,\tau ).$ यदि हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है $(X,\tau )$ तब एक फ्रेचेट-उरीसोहन स्थान है $\tau$ पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है $X$ सेट से प्रेरित $\operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)$ सभी आर्क (टोपोलॉजी) में $(X,\tau ),$ जो परिभाषा के अनुसार निरंतर पथ (गणित) हैं $[0,1]\to (X,\tau )$ जो टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग भी हैं।

गुण

निरंतर मानचित्रों के माध्यम से लक्षण वर्णन

दिए गए कार्य $f_{i}:Y_{i}\to X,$ टोपोलॉजिकल स्पेस से $Y_{i}$ सेट पर $X$, अंतिम टोपोलॉजी चालू $X$ इन कार्यों के संबंध में $f_{i}$ निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करता है:

एक समारोह $g$ से $X$ किसी जगह को $Z$ निरंतर है अगर और केवल अगर $g\circ f_{i}$ प्रत्येक के लिए निरंतर है $i\in I.$

यह गुण इस अर्थ में अंतिम टोपोलॉजी की विशेषता बताता है कि यदि कोई टोपोलॉजी चालू है $X$ उपरोक्त संपत्ति को सभी रिक्त स्थान के लिए संतुष्ट करता है $Z$ और सभी कार्य $g:X\to Z$, फिर टोपोलॉजी चालू $X$ के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी है $f_{i}.$

संरचना के तहत व्यवहार

कल्पना करना ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:Y_{i}\to X\mid i\in I\right\}$ नक्शे का एक परिवार है, और हर किसी के लिए $i\in I,$ टोपोलॉजी $\upsilon _{i}$ पर $Y_{i}$ कुछ परिवार द्वारा प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी है ${\mathcal {G}}_{i}$ में मूल्यवान मानचित्रों का $Y_{i}$. फिर अंतिम टोपोलॉजी चालू $X$ प्रेरक ${\mathcal {F}}$ पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है $X$ मानचित्रों से प्रेरित $\left\{f_{i}\circ g~:~i\in I{\text{ and }}g\in {\cal {G_{i}}}\right\}.$ परिणामस्वरूप: यदि $\tau _{\mathcal {F}}$ पर अंतिम टोपोलॉजी है $X$ परिवार द्वारा प्रेरित ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ और अगर $\pi :X\to (S,\sigma )$ क्या कोई आच्छादन मानचित्र है जिसका किसी टोपोलॉजिकल स्पेस में महत्व है $(S,\sigma ),$ तब $\pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma )$ यदि और केवल यदि एक भागफल मानचित्र है $(S,\sigma )$ नक्शों से प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी है $\left\{\pi \circ f_{i}~:~i\in I\right\}.$ असंयुक्त संघ टोपोलॉजी की सार्वभौमिक संपत्ति से हम जानते हैं कि निरंतर मानचित्रों के किसी भी परिवार को दिया गया है $f_{i}:Y_{i}\to X,$ एक अनूठा निरंतर नक्शा है

$$f:\coprod _{i}Y_{i}\to X$$

यह प्राकृतिक इंजेक्शन के साथ संगत है। यदि नक्शे का परिवार $f_{i}$ covers $X$ (यानी प्रत्येक $x\in X$ कुछ की छवि में निहित है $f_{i}$) फिर नक्शा $f$ यदि और केवल यदि एक भागफल मानचित्र होगा $X$ नक्शों से प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी है $f_{i}.$

नक्शों के परिवार बदलने के प्रभाव

भर में, चलो ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ का परिवार हो $X$-वैल्यूड मैप्स जिसमें प्रत्येक मैप फॉर्म का हो $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X$ और जाने $\tau _{\mathcal {F}}$ अंतिम टोपोलॉजी को निरूपित करें $X$ प्रेरक ${\mathcal {F}}.$ अंतिम टोपोलॉजी की परिभाषा गारंटी देती है कि प्रत्येक सूचकांक के लिए $i,$ वो नक्शा $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ सतत कार्य (टोपोलॉजी) है।

किसी उपसमुच्चय के लिए ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},$ अंतिम टोपोलॉजी $\tau _{\mathcal {S}}$ पर $X$ टोपोलॉजी की तुलना होगी |finer टोपोलॉजी की तुलना में (और संभवतः इसके बराबर)। $\tau _{\mathcal {F}}$; वह है, ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}$ तात्पर्य $\tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},$ जहां सेट समानता हो सकती है भले ही ${\mathcal {S}}$ का उचित उपसमुच्चय है ${\mathcal {F}}.$ अगर $\tau$ क्या कोई टोपोलॉजी चालू है $X$ ऐसा है कि $\tau \neq \tau _{\mathcal {F}}$ और $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to (X,\tau )$ प्रत्येक सूचकांक के लिए निरंतर है $i\in I,$ तब $\tau$ होना चाहिए टोपोलॉजी की तुलना |strictly coarser बजाय $\tau _{\mathcal {F}}$ (मतलब है कि $\tau \subseteq \tau _{\mathcal {F}}$ और $\tau \neq \tau _{\mathcal {F}};$ यह लिखा जाएगा $\tau \subsetneq \tau _{\mathcal {F}}$) और इसके अलावा, किसी भी सबसेट के लिए ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}$ टोपोलॉजी $\tau$ यह भी होगा strictly coarser अंतिम टोपोलॉजी की तुलना में $\tau _{\mathcal {S}}$ वह ${\mathcal {S}}$ प्रवृत्त करता है $X$ (क्योंकि $\tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}}$); वह है, $\tau \subsetneq \tau _{\mathcal {S}}.$ मान लीजिए कि इसके अलावा, ${\mathcal {G}}:=\left\{g_{a}:a\in A\right\}$ एक $A$-अनुक्रमित परिवार $X$-मूल्यवान नक्शे $g_{a}:Z_{a}\to X$ जिनके डोमेन टोपोलॉजिकल स्पेस हैं $\left(Z_{a},\zeta _{a}\right).$ अगर हर $g_{a}:\left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ निरंतर है तो इन नक्शों को परिवार में जोड़ रहा है ${\mathcal {F}}$ इच्छा not अंतिम टोपोलॉजी को चालू करें $X;$ वह है, $\tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}=\tau _{\mathcal {F}}.$ स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि अंतिम टोपोलॉजी चालू है $X$ विस्तारित परिवार से प्रेरित ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है $\tau _{\mathcal {F}}$ मूल परिवार से प्रेरित ${\mathcal {F}}=\left\{f_{i}:i\in I\right\}.$ हालाँकि, क्या इसके बजाय सिर्फ एक नक्शा भी मौजूद था $g_{a_{0}}$ ऐसा है कि $g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)$ था not निरंतर, फिर अंतिम टोपोलॉजी $\tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$ पर $X$ विस्तारित परिवार से प्रेरित ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ अनिवार्य रूप से टोपोलॉजी की तुलना होगीstrictly coarser अंतिम टोपोलॉजी की तुलना में $\tau _{\mathcal {F}}$ प्रेरक ${\mathcal {F}};$ वह है, $\tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}\subsetneq \tau _{\mathcal {F}}$ (यह फुटनोट देखें स्पष्टीकरण के लिए)।

उप-स्थानों के साथ सामंजस्य

होने देना $(X,\tau )$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें और दें $\mathbb {S}$ के उप-स्थानों के सेट का परिवार बनें $(X,\tau )$ जहां महत्वपूर्ण रूप से, उप शब्दspace का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक सबसेट $S\in \mathbb {S}$ सबस्पेस टोपोलॉजी से संपन्न है $\tau \vert _{S}$ विरासत में मिला $(X,\tau ).$ अंतरिक्ष $(X,\tau )$ बताया गयाcoherent सपरिवार $\mathbb {S}$ उप-स्थानों की अगर $\tau =\tau _{\mathcal {S}},$ कहाँ $\tau _{\mathcal {S}}$ समावेशन मानचित्रों द्वारा प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी को दर्शाता है ${\mathcal {S}}:=\left\{\operatorname {In} _{S}^{X}~:~S\in \mathbb {S} \right\}$ जहां हर के लिए $S\in \mathbb {S} ,$ समावेशन मानचित्र रूप लेता है

$\operatorname {In} _{S}^{X}:\left(S,\tau \vert _{S}\right)\to X.$ परिभाषा को सुलझाना, $(X,\tau )$ से सुसंगत है $\mathbb {S}$ यदि और केवल यदि निम्न कथन सत्य है:

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $U\subseteq X,$ $U$ में खुला है $(X,\tau )$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $S\in \mathbb {S} ,$ $U\cap S$ सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है $\left(S,\tau \vert _{S}\right).$

इसके बजाय बंद सेटों की जाँच की जा सकती है: $(X,\tau )$ से सुसंगत है $\mathbb {S}$ अगर और केवल अगर हर सबसेट के लिए $C\subseteq X,$ $C$ में बंद है $(X,\tau )$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $S\in \mathbb {S} ,$ $C\cap S$ में बंद है $\left(S,\tau \vert _{S}\right).$ उदाहरण के लिए, अगर $\mathbb {O}$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का कवर है $(X,\tau )$ खुले उप-स्थानों द्वारा (यानी के खुले उपसमुच्चय $(X,\tau )$ सबस्पेस टोपोलॉजी के साथ संपन्न) तब $\tau$ से सुसंगत है $\mathbb {O} .$ इसके विपरीत यदि $\mathbb {S}$ के सभी सिंगलटन सेट का सेट है $(X,\tau )$ (प्रत्येक सेट को अपनी अनूठी टोपोलॉजी के साथ संपन्न किया जा रहा है) तब $(X,\tau )$ से सुसंगत है $\mathbb {S}$ अगर और केवल अगर $\tau$ असतत टोपोलॉजी चालू है $X.$ विहित इंजेक्शन के परिवार के संबंध में डिसजॉइंट यूनियन (टोपोलॉजी) अंतिम टोपोलॉजी है। एक स्थान $(X,\tau )$ कहा जाता हैcompactly generated और एk-space अगर $\tau$ सेट के अनुरूप है $\mathbb {K}$ के सभी कॉम्पैक्ट उप-स्थानों में से $(X,\tau ).$ सभी प्रथम-गिनने योग्य स्थान और सभी हौसडॉर्फ स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान हैं k-स्पेस, ताकि विशेष रूप से, हर कई गुना और हर मेट्रिजेबल स्पेस अपने सभी कॉम्पैक्ट सबस्पेस के परिवार के साथ सुसंगत हो।

जैसा कि बाद के उदाहरणों से प्रदर्शित होता है, कुछ परिस्थितियों में, उप-स्थानों के साथ सुसंगतता के संदर्भ में अधिक सामान्य अंतिम टोपोलॉजी को चिह्नित करना संभव हो सकता है। होने देना ${\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}$ का परिवार हो $X$-वैल्यूड मैप्स जिसमें प्रत्येक मैप फॉर्म का हो $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X$ और जाने $\tau _{\mathcal {F}}$ अंतिम टोपोलॉजी को निरूपित करें $X$ प्रेरक ${\mathcal {F}}.$ लगता है कि $\tau$ पर एक टोपोलॉजी है $X$ और हर सूचकांक के लिए $i\in I,$ छवि (गणित) $\operatorname {Im} f_{i}:=f_{i}(Y_{i})$ सबस्पेस टोपोलॉजी से संपन्न है $\tau \vert _{\operatorname {Im} f_{i}}$ विरासत में मिला $(X,\tau ).$ यदि प्रत्येक के लिए $i\in I,$ वो नक्शा $f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(\operatorname {Im} f_{i},\tau \vert _{\operatorname {Im} f_{i}}\right)$ तब एक भागफल मानचित्र है $\tau =\tau _{\mathcal {F}}$ अगर और केवल अगर $(X,\tau )$ सभी छवियों के सेट के साथ सुसंगत है $\left\{\left(\operatorname {Im} f_{i},\tau \vert _{\operatorname {Im} f_{i}}\right)~:~i\in I\right\}.$

परिमित-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान की सीधी सीमा पर अंतिम टोपोलॉजी

होने देना

$$\mathbb {R} ^{\infty }~:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\},$$

निरूपित करेंspace of finite sequences, कहाँ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ सभी वास्तविक अनुक्रमों के स्थान को दर्शाता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $n\in \mathbb {N} ,$ होने देना $\mathbb {R} ^{n}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ संपन्न सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष को निरूपित करें और जाने दें $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }$ द्वारा परिभाषित समावेशन मानचित्र को निरूपित करें $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)$ ताकि इसकी छवि (गणित) हो

$$\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}$$

और इसके परिणामस्वरूप,

$$\mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$$

सेट बंद करो $\mathbb {R} ^{\infty }$ अंतिम टोपोलॉजी के साथ $\tau ^{\infty }$ परिवार द्वारा प्रेरित ${\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}$ सभी समावेशन मानचित्रों की। इस टोपोलॉजी के साथ, $\mathbb {R} ^{\infty }$ एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बन जाता है जो अनुक्रमिक स्पेस टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है not एक फ्रेचेट-उरीसोहन अंतरिक्ष। टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$ प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है $\mathbb {R} ^{\infty }$ द्वारा $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ कहाँ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ अपने सामान्य उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है। छवि प्रदान करें $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ आपत्ति द्वारा उस पर प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी के साथ $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);$ अर्थात्, यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न है जिससे इसे स्थानांतरित किया गया है $\mathbb {R} ^{n}$ के जरिए $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.$ यह टोपोलॉजी चालू है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ इसके द्वारा प्रेरित सबस्पेस टोपोलॉजी के बराबर है $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).$ उपसमुच्चय $S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }$ में खुला (क्रमशः, बंद) है $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $n\in \mathbb {N} ,$ सेट $S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ का एक खुला (क्रमशः, बंद) सबसेट है $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$ टोपोलॉजी $\tau ^{\infty }$ सबस्पेस के परिवार के साथ सुसंगत है $\mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.$ यह बनाता है $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ एलबी-स्पेस में। नतीजतन, अगर $v\in \mathbb {R} ^{\infty }$ और $v_{\bullet }$ में क्रम है $\mathbb {R} ^{\infty }$ तब $v_{\bullet }\to v$ में $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ अगर और केवल अगर कुछ मौजूद है $n\in \mathbb {N}$ ऐसा कि दोनों $v$ और $v_{\bullet }$ में निहित हैं $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ और $v_{\bullet }\to v$ में $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$ प्राय: प्रत्येक के लिए $n\in \mathbb {N} ,$ समावेशन नक्शा $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}$ पहचानने के लिए प्रयोग किया जाता है $\mathbb {R} ^{n}$ इसकी छवि के साथ $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ में $\mathbb {R} ^{\infty };$ स्पष्ट रूप से, तत्व $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ और $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ एक साथ पहचाने जाते हैं। इस पहचान के तहत $\left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा बन जाती है $\left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),$ जहां हर के लिए $m\leq n,$ वो नक्शा $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ द्वारा परिभाषित समावेशन मानचित्र है $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),$ वहां हैं जहां $n-m$ अनुगामी शून्य।

श्रेणीबद्ध विवरण

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, अंतिम टोपोलॉजी निर्माण को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। होने देना $Y$ एक असतत श्रेणी से एक ऑपरेटर बनें $J$ स्थलाकृतिक रिक्त स्थान की श्रेणी के लिए शीर्ष जो रिक्त स्थान का चयन करता है $Y_{i}$ के लिए $i\in J.$ होने देना $\Delta$ शीर्ष से शीर्ष फलक श्रेणी के लिए विकर्ण फ़ैक्टर बनें^J (यह फ़ैक्टर प्रत्येक स्थान भेजता है $X$ निरंतर कारक के लिए $X$). अल्पविराम श्रेणी $(Y\,\downarrow \,\Delta )$ तब से सह-शंकु की श्रेणी है $Y,$ यानी वस्तुओं में $(Y\,\downarrow \,\Delta )$ जोड़े हैं $(X,f)$ कहाँ $f_{i}:Y_{i}\to X$ निरंतर नक्शों का परिवार है $X.$ अगर $Y$ शीर्ष से सेट तक भुलक्कड़ फ़नकार है और Δ' सेट से सेट तक का विकर्ण फ़ैक्टर है^J फिर अल्पविराम श्रेणी $\left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)$ से सभी सह-शंकु की श्रेणी है $UY.$ अंतिम टोपोलॉजी निर्माण को तब से एक फ़ैक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है $\left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)$ को $(Y\,\downarrow \,\Delta ).$ यह फ़ंक्टर संबंधित भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए सहायक फ़ंक्टर है।

यह भी देखें

• Direct limit
• Induced topology
• Initial topology
• LB-space
• LF-space

संदर्भ

• Brown, Ronald (June 2006). Topology and Groupoids. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8.
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley Series in Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079. Zbl 0205.26601.. (Provides a short, general introduction in section 9 and Exercise 9H)
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.