मिलनोर संख्या

गणित और विशेष रूप से विलक्षणता सिद्धांत में जॉन मिल्नोर के नाम पर मिल्नोर संख्या रोगाणु फलन का अचर है।

यदि f सम्मिश्र- मान पूर्णसममितिक रोगाणु फलन (गणित) है, तो f की मिल्नोर संख्या को μ(f) से निरूपित किया गया है, या तो ऋणेतर पूर्णांक या अपरिमित है। इसे ज्यामितीय अचर और बीजगणितीय अचर दोनों माना जा सकता है। इसी कारण यह बीजगणितीय ज्यामिति और विलक्षणता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

बीजगणितीय परिभाषा

एक पूर्णसममितिक सम्मिश्र रोगाणु फलन पर विचार करें (गणित)

$f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\$ और सभी रोगाणु फलन $(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)$ के वलय को ${\mathcal {O}}_{n}$ द्वारा निरूपित करें। फलन के प्रत्येक स्तर $\mathbb {C} ^{n}$में संकुल ऊनविम पृष्ठ है, इसलिए हम $f$ को ऊनविम पृष्ठ विलक्षणता कहेंगे।

मान लें कि यह एक विलगित विलक्षणता है: पूर्णसममितिक प्रतिचित्रण के स्थिति में कहा जा सकता हैं कि अधिपृष्ठ विलक्षणता $f$, $0\in \mathbb {C} ^{n}$ पर एकल है यदि इसकी प्रवणता $\nabla f$, $0$ एक विलक्षण बिंदु पृथक है यदि यह पर्याप्ततः निम्न सामीप्य में एकमात्र विलक्षण बिंदु है। विशेष रूप से, प्रवणता की बहुलता

$\mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f$

रूकर के नलस्टेलेंसत्ज के अनुप्रयोग द्वारा परिमित है। यह संख्या $\mu (f)$, $0$ विलक्षणता $f$ की मिलनोर संख्या है।

ध्यान दें कि प्रवणता की बहुलता परिमित है केवल यदि मूल f का एक पृथक क्रांतिक बिंदु है।

ज्यामितीय व्याख्या

मिल्नोर मूल रूप से ज्यामितीय शब्दों में $\mu (f)$ को ज्यामितीय नियमों में निम्नलिखित प्रकार से प्रस्तुत किया। $0$ के समीप मान $c$ के सभी तंतु $f^{-1}(c)$ वास्तविक विमाप $2(n-1)$ के व्युत्क्रमणीय बहुरूपी हैं। $0$ पर केंद्रित एक छोटी विवृत डिस्क $D_{\epsilon }$ के साथ उनका प्रतिच्छेदन समतल बहुरूपी $F$ है जिसे मिल्नोर तंतु कहा जाता है। डिफियोमोर्फिज्म तक $F$ $c$ या $\epsilon$ पर निर्भर नहीं करता है यदि वे अधिक छोटे है। यह मिलनोर फिब्रेशन मैप के तंतु के लिए भी भिन्न (डिफोमोर्फिक) है।

मिल्नोर तंतु $F$ विमाप $2(n-1)$ के समान बहुरूपी है और $\mu (f)$ वृत्त $S^{n-1}$ के  गुच्छ के रूप में समान समस्थेयता प्रकार है। इसका अर्थ यह है कि इसकी मध्य बेट्टी संख्या $b_{n-1}(F)$ मिलनोर संख्या के समान है और $n-1$ से कम विमाप में एक बिंदु पर इसकी समजातता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक विलक्षण बिंदु $z_{0}$ के समीप एक सम्मिश्र समतल वक्र में इसकी मिल्नोर तंतु होती है जो $\mu _{z_{0}}(f)$ वृत्तों के वेज के लिए समस्थानी हैं (मिल्नोर संख्या एक स्थानीय गुणधर्म है, इसलिए विभिन्न विलक्षण बिंदुओं पर इसके पृथक मान हो सकते हैं)।

इस प्रकार हमारे पास समानताएं हैं

मिलनोर संख्या = पच्चर में गोलों की संख्या = $F$ की मध्य बेट्टी संख्या = मानचित्रण की डिग्री $z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}$ पर $S_{\epsilon }$ = प्रवणता की बहुलता $\nabla f$

मिल्नोर संख्या को देखने का एक अन्य तरीका क्षोभ सिद्धांत है। हम कहते हैं कि बिंदु एक पतित एकल बिंदु या f में एक अपभ्रष्ट विलक्षणता है तथा $z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ पर यदि $z_{0}$ एक विलक्षण बिंदु है और दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव के हेसियन मैट्रिक्स का $z_{0}$ में शून्य निर्धारक है:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.$

हम मानते हैं कि f में 0 पर एक पतित विलक्षणता है। हम इस पतित विलक्षणता की बहुलता के विषय में विचार करके यह कह सकते हैं कि कितने बिंदु अतिसूक्ष्‍म रूप से जुड़े हुए हैं। यदि हम अब क्षोभ सिद्धांत को एक निश्चित स्थिर तरह से व्यग्र करते हैं तो 0 पर पृथक पतित विलक्षणता अन्य पृथक विलक्षणताओं में विभाजित हो जाएगी जो अपतित हैं! ऐसी पृथक अपतित विलक्षणताओं की संख्या उन बिंदुओं की संख्या होगी जो अतिसूक्ष्‍म रूप से परस्पर जुड़ी हुई हैं।

संक्षेप में हम एक अन्य रोगाणु फलन g लेते हैं जो मूल बिंदु पर व्‍युत्‍क्रमणीय है और नए रोगाणु फलन h:= f + εg पर विचार करते हैं जहां ε बहुत छोटा है। जब ε = 0 तब h = f होता है। फलन h को मोर्स सिद्धांत का औपचारिक विकास कहा जाता है। एच की विलक्षणताओं की गणना करना बहुत कठिन है और वास्तव में यह अभिकलनीयतः असंभव हो सकता है। f की इस स्थानीय बहुलता को अतिसूक्ष्‍म रूप से चिपकाने वाले बिंदुओं की यह संख्या वास्तव में f की मिलनोर संख्या है।

आगे का योगदान बहुमुखी विकृतियों के स्थान के आयाम के संदर्भ में मिल्नोर संख्या को अर्थ देते हैं अर्थात मिल्नोर संख्या विकृतियों के पैरामीटर स्थान का न्यूनतम आयाम है जो प्रारंभिक विलक्षणता के विषय में सभी जानकारी लेती है।

उदाहरण

यहां हम दो चर राशियों में किए गए कुछ कार्यों का उदाहरण देते हैं। एक चर के साथ कार्य करना अधिक सरल है और तकनीकों के विषय में ज्ञात नहीं होता है किन्तु इसके विपरीत तीन चर राशियों के साथ कार्य करना अधिक जटिल हो सकता है। दो अच्छी संख्या है। साथ ही हम बहुपदों से चिपके रहते हैं। यदि f केवल पूर्णसममितिक(होलोमार्फिक) फलन तथा बहुपद नहीं है, तो हम f के घात श्रेणी विस्तरण के साथ कार्य कर सकते थे।

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0 पर एक अनपभ्रष्ट विलक्षणता के साथ एक कार्य रोगाणु पर विचार करें, जिसे $f(x,y)=x^{}$