अधिकतम उपसमूह

गणित में, अधिकतम उपसमूह शब्द का प्रयोग बीजगणित के विभिन्न क्षेत्रों में थोड़ी अलग चीजों के अर्थ के लिए किया जाता है।

समूह सिद्धांत में, एक समूह (गणित) G का एक अधिकतम उपसमूह H एक उचित उपसमूह है, जैसे कि कोई उचित उपसमूह K में H सख्ती से शामिल नहीं है। दूसरे शब्दों में, एच जी के उपसमूहों के आंशिक रूप से आदेशित सेट का अधिकतम तत्व है जो जी के बराबर नहीं है। 'जी' के आदिम क्रमचय निरूपण के साथ उनके सीधे संबंध के कारण अधिकतम उपसमूह रुचि के हैं। परिमित समूह सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए भी उनका बहुत अध्ययन किया जाता है: उदाहरण के लिए फ्रैटिनी उपसमूह, अधिकतम उपसमूहों का प्रतिच्छेदन देखें।

semigroup में, एक सेमीग्रुप S का एक अधिकतम उपसमूह S का एक उपसमूह (अर्थात, एक उपसेमीग्रुप जो सेमीग्रुप ऑपरेशन के तहत एक समूह बनाता है) है जो S के दूसरे उपसमूह में ठीक से समाहित नहीं है। । ध्यान दें कि, यहाँ, कोई आवश्यकता नहीं है कि एक अधिकतम उपसमूह उचित हो, इसलिए यदि S वास्तव में एक समूह है तो इसका अद्वितीय अधिकतम उपसमूह (एक अर्धसमूह के रूप में) S ही है। उपसमूहों को ध्यान में रखते हुए, और विशेष रूप से अधिकतम उपसमूहों में, सेमीग्रुप्स अक्सर सेमीग्रुप सिद्धांत में समूह-सैद्धांतिक तकनीकों को लागू करने की अनुमति देता है। सेमिग्रुप के इडेम्पोटेंट एलिमेंट (रिंग थ्योरी) और सेमिग्रुप के अधिकतम उपसमूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है: प्रत्येक इडेमपोटेंट तत्व एक अद्वितीय अधिकतम उपसमूह का पहचान तत्व है।

== अधिक से अधिक उपसमूह == का अस्तित्व परिमित समूह का कोई भी उचित उपसमूह कुछ अधिकतम उपसमूह में समाहित है, क्योंकि उचित उपसमूह शामिल किए जाने के तहत एक सीमित आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट बनाते हैं। हालाँकि, अनंत एबेलियन समूह हैं जिनमें कोई अधिकतम उपसमूह नहीं है, उदाहरण के लिए प्रुफ़र समूह।

अधिकतम सामान्य उपसमूह

इसी तरह, G के एक सामान्य उपसमूह N को G का एक अधिकतम सामान्य उपसमूह (या अधिकतम उचित सामान्य उपसमूह) कहा जाता है यदि N <G और G का कोई सामान्य उपसमूह K नहीं है जैसे कि N <K <G। हमारे पास निम्नलिखित हैं प्रमेय:

'प्रमेय': समूह G का एक सामान्य उपसमूह N एक अधिकतम सामान्य उपसमूह है यदि और केवल यदि भागफल समूह G/N सरल समूह है।

हस्से आरेख

ये हस्से आरेख सममित समूह एस के उपसमूहों की जाली दिखाते हैं₄, डायहेड्रल समूह डी₄, और सी₂³, चक्रीय समूह C के समूहों का तीसरा प्रत्यक्ष उत्पाद₂
हस्से आरेख के किनारे से अधिकतम उपसमूह समूह से ही जुड़े हुए हैं (हस आरेख के शीर्ष पर)।

The maximal subgroups of S4 are A4, three D4 and four S3.   (Compare: Subgroups of S4)

The maximal subgroups of D4 are C4 and two C22.

The maximal subgroups of C23 are seven C22.