भागफल वलय

अंगूठी सिद्धांत में, अमूर्त बीजगणित की एक शाखा, एक भागफल वलय, जिसे कारक वलय, अंतर वलय के रूप में भी जाना जाता है या अवशिष्ट वर्ग वलय, समूह सिद्धांत में भागफल समूह और रेखीय बीजगणित में भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के समान एक निर्माण है। यह [[भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित)]] का एक विशिष्ट उदाहरण है, जैसा कि सार्वभौमिक बीजगणित की सामान्य सेटिंग से देखा जाता है। एक अंगूठी से शुरू (गणित) R और एक दो तरफा आदर्श I में R, एक नया वलय, भागफल वलय R / I, निर्मित होता है, जिसके अवयव सहसमुच्चय होते हैं I में R विशेष के अधीन + और ⋅ संचालन। (केवल अंश स्लैश / भागफल रिंग नोटेशन में प्रयोग किया जाता है, क्षैतिज अंश बार नहीं।)

भागफल के छल्ले एक अभिन्न डोमेन के साथ-साथ एक अंगूठी के स्थानीयकरण द्वारा प्राप्त उद्धरण के अधिक सामान्य छल्ले से तथाकथित भागफल क्षेत्र, या अंशों के क्षेत्र से अलग हैं।

औपचारिक भागफल वलय निर्माण

एक अंगूठी दी $R$ और एक दोतरफा आदर्श $I$ में $R$, हम एक तुल्यता संबंध को परिभाषित कर सकते हैं $\sim$ पर $R$ निम्नलिखित नुसार:

$a\sim b$ अगर और केवल अगर $a-b$ में है $I$.

आदर्श गुणों का उपयोग करके, यह जाँचना कठिन नहीं है $\sim$ एक संगति संबंध है। यदि $a\sim b$, हम कहते हैं $a$ और $b$ सर्वांगसम आदर्श हैं (अंगूठी सिद्धांत) $I$. तत्व का समतुल्य वर्ग $a$ में $R$ द्वारा दिया गया है

$[a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}$.

इस तुल्यता वर्ग को कभी-कभी इस रूप में भी लिखा जाता है $a{\bmod {I}}$ का अवशेष वर्ग कहा जाता है $a$ मापांक $I$.

ऐसे सभी तुल्यता वर्गों के समुच्चय को द्वारा निरूपित किया जाता है $R/I$; यह एक वलय, कारक वलय या भागफल वलय बन जाता है $R$ मापांक $I$, अगर कोई परिभाषित करता है

• $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$;
• $(a+I)(b+I)=(ab)+I$.

(यहाँ किसी को यह जाँचना है कि ये परिभाषाएँ अच्छी तरह से परिभाषित हैं। सहसमुच्चय और भागफल समूह की तुलना करें।) का शून्य-तत्व $R/I$ है ${\bar {0}}=(0+I)=I$, और गुणक तत्समक है ${\bar {1}}=(1+I)$.

वो नक्शा $p$ से $R$ को $R/I$ द्वारा परिभाषित $p$