टेंसर संकुचन

For टेंसर क्षेत्रों और उनके संकुचन के मॉड्यूल-सैद्धांतिक निर्माण, see मॉड्यूल के टेन्सर उत्पाद §  अंतर ज्यामिति से उदाहरण: टेंसर फ़ील्ड.

बहुरेखीय बीजगणित में, टेन्सर संकुचन टेन्सर पर ऑपरेशन है जो परिमित-आयामी सदिश स्थान और इसकी दोहरी की प्राकृतिक जोड़ी से उत्पन्न होता है। घटकों में, यह टेन्सर (एस) के स्केलर घटकों के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो डमी सूचकांक के लिए योग सम्मेलन को प्रारम्भ करने के कारण होता है जो अभिव्यक्ति में होते हैं। मिश्रित टेन्सर का संकुचन तब होता है जब टेन्सर के शाब्दिक सूचकांकों (एक सबस्क्रिप्ट, दूसरा सुपरस्क्रिप्ट) के बराबर स्थित की जाती है और इसका योग किया जाता है। आइंस्टीन संकेतन में इस योग को अंकन में बनाया गया है। परिणाम 2 से घटाए गए क्रम के साथ और टेन्सर है।

टेंसर संकुचन को ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

सार सूत्रीकरण

मान लीजिए कि V क्षेत्र (गणित) k पर सदिश समष्टि है। संकुचन ऑपरेशन का मूल, और सबसे सरल स्थितियां ,V की दोहरी स्थान V^∗ के साथ प्राकृतिक परिवर्तन जोड़ी है। युग्मन टेंसर इन दो स्थानों के टेंसर उत्पाद से क्षेत्र k में रैखिक परिवर्तन है

$C:V\otimes V^{*}\rightarrow k$

द्विरेखीय रूप के अनुरूप

$\langle f,v\rangle =f(v)$

जहाँ f, V^∗ में है और v, V में है। मानचित्र C, प्रकार (1, 1) के टेन्सर पर संकुचन संचालन को परिभाषित करता है , जो तत्व है $V^{*}\otimes V$ ध्यान दें कि परिणाम अदिश (गणित) (k का तत्व) है। k मध्य प्राकृतिक समरूपता का उपयोग करना $V\otimes V^{*}$ और V से V तक रैखिक परिवर्तनों का स्थान, ट्रेस (रैखिक बीजगणित) की आधार-स्वतंत्र परिभाषा प्राप्त करता है।

सामान्यतः, प्रकार (m, n) ( m ≥ 1 और n ≥ 1) का टेंसर सदिश स्थान का तत्व है

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

(जहां m कारक V और n कारक V हैं^∗). k वें V कारक और lवें V^∗ कारक के लिए प्राकृतिक युग्मन प्रारम्भ करना, और अन्य सभी कारकों पर पहचान का उपयोग करते हुए, (k, l) संकुचन संक्रिया को परिभाषित करता है, जो रेखीय मानचित्र है जो प्रकार (m − 1, n − 1) का टेन्सर उत्पन्न करता है .(1, 1) स्थिति के अनुरूप, सामान्य संकुचन ऑपरेशन को कभी-कभी ट्रेस कहा जाता है।

सूचकांक अंकन में संकुचन

टेंसर सूचकांक अंकन में, वेक्टर और डुअल वेक्टर के मूल संकुचन को किसके द्वारा दर्शाया जाता है

${\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma }$

जो स्पष्ट समन्वय योग के लिए आशुलिपि है

$f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}$

(जहाँ vⁱ विशेष आधार पर v और f_i के घटक हैं इसी दोहरे आधार में f के घटक हैं )।

चूंकि सामान्य मिश्रित डायडिक टेंसर प्रपत्र के विघटनीय टेन्सर का रैखिक संयोजन है $f\otimes v$, डायडिक स्थिति के लिए स्पष्ट सूत्र इस प्रकार है: मान लीजिए

$\mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}$

मिश्रित डायाडिक टेंसर बनें। तब उसका संकुचन होता है

$T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}$.

सामान्य संकुचन सहसंयोजक सूचकांक और प्रतिपरिवर्ती सूचकांक को एक ही वर्ण से लेबलिंग करके निरूपित किया जाता है, उस सूचकांक पर योग योग सम्मेलन द्वारा निहित किया जा रहा है। परिणामी अनुबंधित टेन्सर मूल टेन्सर के शेष सूचकांकों को इनहेरिट करता है। उदाहरण के लिए, प्ररूप (1,1) का नवीन टेंसर U बनाने के लिए दूसरे और तीसरे सूचकांक पर प्ररूप (2,2) के टेंसर T को अनुबंधित करना इस प्रकार लिखा जाता है

$T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.$

इसके विपरीत, चलो

$\mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}$

अमिश्रित डायाडिक टेंसर बनें। यह टेंसर अनुबंध नहीं करता है; यदि इसके आधार वैक्टर बिंदीदार हैं, परिणाम प्रतिपरिवर्ती मीट्रिक (गणित) टेंसर है,

$g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}$,

जिसकी श्रेणी 2 है।

मीट्रिक संकुचन

See also: सूचकांकों को ऊपर उठाना और घटाना § मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम से एक उदाहरण

जैसा कि पिछले उदाहरण में, सूचकांकों की संकुचन सामान्य रूप से संभव नहीं है जो या तो प्रतिपरिवर्ती या दोनों सहपरिवर्ती हैं। चूँकि , आंतरिक उत्पाद (मीट्रिक टेंसर के रूप में भी जाना जाता है) g की उपस्थिति में, ऐसे संकुचन संभव हैं। कोई किसी सूचकांक को आवश्यकतानुसार बढ़ाने या घटाने के लिए मीट्रिक का उपयोग करता है, और कोई संकुचन के सामान्य संचालन का उपयोग करता है। संयुक्त ऑपरेशन को मीट्रिक संकुचन के रूप में जाना जाता है।

टेंसर क्षेत्र के लिए आवेदन

संकुचन अधिकांशतः रिक्त स्थान पर टेंसर क्षेत्र पर प्रारम्भ होता है (उदाहरण के लिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष , मैनिफोल्ड्स, या स्कीम (गणित)) चूंकि संकुचन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संक्रिया है, इसे बिंदुवार टेन्सर क्षेत्र में प्रारम्भ किया जा सकता है, उदाहरण. यदि T यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर (1,1) टेंसर क्षेत्र है, तो किसी भी निर्देशांक में, इसका संकुचन (स्केलर क्षेत्र) U बिंदु x पर दिया जाता है

$U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)$

चूँकि x की भूमिका यहाँ जटिल नहीं है, टेन्सर क्षेत्रों के लिए संकेतन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय टेन्सरों के समान हो जाता है।

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स प�