टेंसर संकुचन

For the module-theoretic construction of tensor fields and their contractions, see tensor product of modules § Example from differential geometry: tensor field.

बहुरेखीय बीजगणित में, टेन्सर संकुचन टेन्सर पर ऑपरेशन है जो परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष और इसकी दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष की प्राकृतिक जोड़ी से उत्पन्न होता है। घटकों में, यह टेन्सर (एस) के स्केलर घटकों के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो डमी इंडेक्स की जोड़ी के लिए योग सम्मेलन को प्रारम्भ करने के कारण होता है जो अभिव्यक्ति में दूसरे से बंधे होते हैं। ल मिश्रित टेन्सर का संकुचन तब होता है जब टेन्सर के शाब्दिक सूचकांकों ( सबस्क्रिप्ट, दूसरा सुपरस्क्रिप्ट) की जोड़ी दूसरे के बराबर सेट की जाती है और इसका योग किया जाता है। आइंस्टीन संकेतन में इस योग को नोटेशन में बनाया गया है। परिणाम 2 से घटाए गए क्रम के साथ और टेन्सर है।

टेंसर संकुचन को ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

सार सूत्रीकरण

मान लीजिए कि V क्षेत्र (गणित) k पर सदिश समष्टि है। संकुचन ऑपरेशन का मूल, और सबसे सरल स्थितियां , वी की दोहरी जगह वी के साथ प्राकृतिक परिवर्तन जोड़ी है^∗. युग्मन टेंसर के घटक-मुक्त उपचार से रैखिक परिवर्तन है # परिभाषा: इन दो स्थानों के वेक्टर रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद k:

$C:V\otimes V^{*}\rightarrow k$

द्विरेखीय रूप के अनुरूप

$\langle f,v\rangle =f(v)$

जहाँ f, V में है^∗ और v, V में है। मानचित्र C प्रकार के टेन्सर पर संकुचन संचालन को परिभाषित करता है (1, 1), जो का तत्व है $V^{*}\otimes V$. ध्यान दें कि परिणाम अदिश (गणित) (k का तत्व) है। के बीच प्राकृतिक समरूपता का उपयोग करना $V\otimes V^{*}$ और वी से वी तक रैखिक परिवर्तनों का स्थान, ट्रेस (रैखिक बीजगणित) की आधार-मुक्त परिभाषा प्राप्त करता है।

सामान्य तौर पर, प्रकार का टेंसर (m, n) (साथ m ≥ 1 और n ≥ 1) सदिश स्थान का तत्व है

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

(जहां एम कारक वी और एन कारक वी हैं^∗). kवें V कारक और lवें V के लिए प्राकृतिक युग्मन प्रारम्भ करना^∗ कारक, और अन्य सभी कारकों पर पहचान का उपयोग करते हुए, (k, l) संकुचन संक्रिया को परिभाषित करता है, जो रेखीय मानचित्र है जो प्रकार का टेन्सर उत्पन्न करता है (m − 1, n − 1).के साथ समानता से (1, 1) केस, सामान्य संकुचन ऑपरेशन को कभी-कभी ट्रेस कहा जाता है।

इंडेक्स नोटेशन में संकुचन

टेंसर इंडेक्स नोटेशन में, वेक्टर और डुअल वेक्टर के मूल संकुचन को किसके द्वारा दर्शाया जाता है

${\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma }$

जो स्पष्ट समन्वय योग के लिए आशुलिपि है

$f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}$

(कहाँ vⁱ के घटक हैं v विशेष आधार पर और f_i के घटक हैं f इसी दोहरे आधार पर)।

चूंकि सामान्य मिश्रित डायडिक टेंसर फॉर्म के विघटनीय टेन्सर का रैखिक संयोजन है $f\otimes v$, डायडिक स्थिति के लिए स्पष्ट सूत्र इस प्रकार है: चलो

$\mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}$

मिश्रित डायाडिक टेंसर बनें। तब उसका संकुचन होता है

$T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}$.

सामान्य संकुचन को सहप्रसरण और सदिश सूचकांक के प्रतिप्रसरण और सहप्रसरण और सदिश सूचकांक के प्रतिप्रसरण को ही अक्षर से लेबल करके निरूपित किया जाता है, उस सूचकांक पर योग योग सम्मेलन द्वारा निहित किया जा रहा है। परिणामी अनुबंधित टेन्सर मूल टेन्सर के शेष सूचकांकों को इनहेरिट करता है। उदाहरण के लिए, टाइप (1,1) का नया टेंसर यू बनाने के लिए दूसरे और तीसरे इंडेक्स पर टाइप (2,2) के टेंसर टी को अनुबंधित करना इस प्रकार लिखा जाता है

$T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.$

इसके विपरीत, चलो

$\mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}$

अमिश्रित डायाडिक टेंसर बनें। यह टेंसर अनुबंध नहीं करता है; यदि इसके आधार वैक्टर बिंदीदार हैं, परिणाम प्रतिपरिवर्ती मीट्रिक (गणित) है,

$g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}$,

जिसकी रैंक 2 है।

मीट्रिक संकुचन

See also: Raising and lowering indices § An example from Minkowski spacetime

जैसा कि पिछले उदाहरण में, सूचकांकों की जोड़ी पर संकुचन सामान्य रूप से संभव नहीं है जो या तो प्रतिपरिवर्ती या दोनों सहपरिवर्ती हैं। हालांकि, आंतरिक उत्पाद (जिसे मीट्रिक टेंसर के रूप में भी जाना जाता है) जी की उपस्थिति में, ऐसे संकुचन संभव हैं। कोई किसी सूचकांक को आवश्यकतानुसार बढ़ाने या घटाने के लिए मीट्रिक का उपयोग करता है, और फिर कोई संकुचन के सामान्य संचालन का उपयोग करता है। संयुक्त ऑपरेशन को मीट्रिक संकुचन के रूप में जाना जाता है।

टेंसर क्षेत्र के लिए आवेदन

संकुचन अधिकांशतः रिक्त स्थान पर टेंसर क्षेत्र पर प्रारम्भ होता है (उदाहरण के लिए यूक्लिडियन अंतरिक्ष , मैनिफोल्ड्स, या स्कीम (गणित)) चूंकि संकुचन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संक्रिया है, इसे बिंदुवार टेन्सर क्षेत्र में प्रारम्भ किया जा सकता है, उदाहरण. यदि T यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर (1,1) टेंसर क्षेत्र है, तो किसी भी निर्देशांक में, इसका संकुचन (स्केलर क्षेत्र) U बिंदु x पर दिया जाता है

$U$