रेखा (ज्यामिति)

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द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पर उत्पत्ति (गणित) के पास लाल रेखा

ज्यामिति में, रेखा अनंत रूप से लंबी वस्तु होती है, जिसमें कोई चौड़ाई, गहराई या वक्रता नहीं होती है। इस प्रकार, रेखाएं एक-आयामी वस्तुएँ हैं- चूँकि वे दो, त्रि-आयामी, या उच्च आयाम वाले स्थानों में सन्निहित हो सकती हैं। शब्द रेखा का अर्थ या गणित में रेखा खंड को दो बिंदुओं के मध्य की रेखा के खंड के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है, जिसके सिरों को दर्शाने के लिए दो बिंदु हैं। इसमें रेखाओं को दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो उस पर स्थित हैं (जैसे, ${\textstyle {\overleftrightarrow {AB}}}$) या अक्षर (उदा., $\ell$), जो उक्त खंड बनाते हैं।

यूक्लिड ने रेखा को चौड़ाई रहित लंबाई के रूप में वर्णित किया जो स्वयं पर बिंदुओं के संबंध में समान रूप से स्थित है; उन्होंने मूलभूत अप्राप्य गुणधर्मों के रूप में अनेक अभिधारणाओं को प्रस्तुत किया, जिनसे उन्होंने सभी ज्यामिति का निर्माण किया, यूक्लिडियन रेखा और यूक्लिडियन ज्यामिति19 दशक के अंत में प्रारम्भ की गई हैं सामान्यीकरणों, जैसे कि गैर-यूक्लिडियन, प्रक्षेपी और एफाइन ज्यामिति के साथ भ्रम से बचने के लिए प्रारम्भ किए गए शब्द हैं।

आधुनिक गणित में, प्रस्तावित ज्यामिति को देखते हुए (इस विचार के आधार पर कि कोई भी 3डी वस्तु सतह यूक्लिडियन के समवर्ती नई ज्यामिति बनाती है, या निश्चित गति में विभिन्न आयामी स्थान भी गैर यूक्लिडियन हैं, किन्तु इसके अतिरिक्त गैर यूक्लिडियन स्थान वह स्थान है जो गति में नहीं है या अंतरिक्ष-समय में तय किया गया था, जितना कि यूक्लिड को ऐसी ज्यामितीय गणनाओं में कोई रूचि नहीं थी), आगे यह माना या प्रस्तावित किया जाता है कि इन काल्पनिक ज्यामिति में रेखा की अवधारणा काल्पनिक ज्यामिति का वर्णन करने के प्रकार से निकटता से जुड़ी हुई है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, समतल में रेखा को प्रायः उन बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके निर्देशांक किसी दिए गए रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, किन्तु अधिक सार व्यवस्था में, जैसे कोलोमोगोरोव के संयोजन ज्यामिति के उपक्षेत्र और अंतर ज्यामिति संयोजनीय घटना ज्यामिति का निरीक्षण करते हैं।

जब ज्यामिति का वर्णन स्वयंसिद्धों के समूह द्वारा किया जाता है, तो प्राथमिक शिक्षा में रेखा की धारणा को प्रायः अपरिभाषित (तथाकथित अविकसित धारणा वस्तु) त्याग दिया जाता है। रेखाओं के गुण तब उन अभिगृहीतों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं जो उन्हें संदर्भित करते हैं। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि यह छात्रों, शिक्षार्थियों और ज्यामिति के सिद्धांतों को प्रारम्भ करने वालों को कोमलता देता है। इस प्रकार तुलनात्मक ज्यामिति और विभेदक ज्यामिति में, रेखा अन्य गणितीय वस्तुओं के साथ-साथ गणना का विषय होती है।

अनुप्रयुक्त गणित, वास्तुकला और भूगणित में, रेखा को भूगणित के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है (फुट (इकाई) में मापे गए बिंदुओं के मध्य सबसे छोटा पथ, जो कि भूगणित में प्रारम्भ सैन्य विज्ञान है)।

कुछ प्रक्षेपी ज्यामिति में, रेखा द्वि-आयामी सदिश दिशा होती है और सभी रेखाएँ और दो स्वतंत्र सदिशों का उनका रैखिक संयोजन उनके मध्य का स्थान होता है।

रेखा का कोमलता यूक्लिडियन ज्यामिति का भाग है, जहां अंतरिक्ष-समय में निश्चित गति को विस्थापित कर दिया जाता है, कुछ भविष्यवादी प्रावधानवादियों के लिए यह गणित से भी आगे बढ़ता है।

भौतिकी और प्रकाशिकी (सैन्य विज्ञान सहित) में, भौतिक विज्ञानी भी सामान्यतः प्रकाश किरण के मार्ग को रेखा मानते हैं, चूँकि अन्य प्रकाश संरचनाएं उनके सदिश गुणों, रेखाओं के अतिरिक्त अन्य संरचनाओं आदि के साथ उपस्थित होती हैं। ऐसा कहा जाता है कि रेखा हो सकती है स्वतंत्र वस्तु, उन बिंदुओं के समूह से भिन्न जो उस पर केवल तभी स्थित होते हैं जब दूसरी रेखा उस पर पड़ती है (जिसे भौतिकी में सिद्ध किया जा सकता है)।

किसी भी खींची गई गणितीय रैखिक वस्तु के रूप में भी रेखा जो फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व कर सकती है (सीधी रेखाओं के लिए y=x, y=x+n/x-n और बहुपद जैसे अन्य अधिक जटिल कार्य) या गोलाकार रेखाएं, या कोई अन्य गैर-सीधी सतह रेखाएं जो संभवतः विशेषता भी हो सकती हैं सतह, गणितीय वस्तु), यहाँ समतल या सतह में कार्य ज्यामितीय रूप से विशेषता रेखा के विपरीत है (चूँकि कुछ जीसीएल की गणना कार्यों के रूप में की जा सकती है)।

गुण

जब तत्वों में यूक्लिड द्वारा ज्यामिति को प्रथम बार औपचारिक रूप दिया गया था, तो उन्होंने सामान्य रेखा (जिसे अब वक्र कहा जाता है) को चौड़ाई रहित लंबाई के रूप में परिभाषित किया, जिसमें सीधी रेखा ऐसी रेखा होती है जो स्वयं पर बिंदुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है। ये परिभाषाएँ अधिक अल्प उद्देश्य की पूर्ति करती हैं, क्योंकि वे ऐसे शब्दों का उपयोग करती हैं जो स्वयं परिभाषित नहीं हैं। वास्तव में, यूक्लिड ने स्वयं इस कार्य में इन परिभाषाओं का उपयोग नहीं किया था, और संभवतः उन्हें केवल पाठक को यह स्पष्ट करने के लिए सम्मिलित किया था कि क्या उल्लेख किया जा रहा है। आधुनिक ज्यामिति में, रेखा को केवल अपरिभाषित वस्तु के रूप में लिया जाता है जिसमें स्वयंसिद्धों द्वारा दिए गए गुण होते हैं, किन्तु कभी-कभी रैखिक संबंध का पालन करने वाले बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जब कुछ अन्य मौलिक अवधारणा को अपरिभाषित त्याग दिया जाता है।

यूक्लिडियन ज्यामिति के स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण में, जैसे कि हिल्बर्ट (यूक्लिड के मूल सिद्धांतों में विभिन्न दोष थे जिन्हें आधुनिक गणितज्ञों द्वारा ठीक किया गया है), रेखा को कुछ गुणों के लिए कहा जाता है जो इसे अन्य रेखाओं और बिंदुओं से संबंधित करता हैं। उदाहरण के लिए, किन्हीं दो भिन्न-भिन्न बिंदुओं के लिए, उनमें से अद्वितीय रेखा होती है, और कोई भी दो भिन्न-भिन्न रेखाएं अधिकतम बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। दो आयामों में (अर्थात, यूक्लिडियन विमान), दो रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, समानांतर कहलाती हैं। उच्च आयामों में, दो रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, यदि वे समतल में समाहित हैं, या तिरछी रेखाएँ नहीं हैं तो वे समानांतर होती हैं।

यूक्लिडियन तल पर, रेखा को दो क्षेत्रों के मध्य की सीमा के रूप में दर्शाया जा सकता है। सूक्ष्म रूप से विभिन्न रेखाओं का कोई भी संग्रह समतल को उत्तल बहुभुजों में विभाजित करता है (संभवतः असीमित); इस विभाजन को रेखाओं की व्यवस्था के रूप में जाना जाता है।

उच्च आयामों में

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, चर x, y, और z में प्रथम डिग्री समीकरण समतल को परिभाषित करता है, इसलिए दो ऐसे समीकरण, वे जिन विमानों को उत्पन्न करते हैं वे समानांतर नहीं हैं, रेखा को परिभाषित करें जो विमानों का प्रतिच्छेदन है। सामान्यतः, n-आयामी स्थान में n-1 प्रथम-डिग्री समीकरण n कार्टेशियन समन्वय प्रणाली चर में उपयुक्त परिस्थितियों में रेखा को परिभाषित करते हैं।

अधिक सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, 'R'ⁿ (और समान रूप से प्रत्येक दूसरे एफ़िन स्थान में), दो भिन्न-भिन्न बिंदुओं a और b से निकलने वाली रेखा L उपसमुच्चय है:

$$L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}$$

रेखा की दिशा a (t = 0) से b (t = 1) तक है, या दूसरे शब्दों में, सदिश b − a की दिशा में होती है। a और b के विभिन्न विकल्पों से रेखा प्राप्त हो सकती है।

समरेख बिंदु

Main article: समरैखिकता

तीन बिंदु एक ही रेखा पर स्थित होने पर संरेखी कहलाते हैं। तीन बिंदु सामान्यतः समतल का निर्धारण करते हैं, किन्तु तीन समरेख बिंदुओं की स्थिति में ऐसा नहीं होता है।

एफ़िन निर्देशांक में, n-आयामी स्थान में बिंदु X = (x₁, x₂, ..., x_n), Y = (y₁, y₂, ..., y_n), और Z = (z₁, z₂, ..., z_n) संरेख हैं यदि आव्यूह (गणित)

$$[\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_2& \cdots <!--\; \cdots \; -->& x_n\\ 1& y_1& y_2& \cdots <!--\; \cdots \; -->& y_n\\ 1& \end{array}$$