ब्लो अप

This article is about the mathematical concept of blowing up. For information about the physical/chemical process, see Explosion. For other uses of "Blow up", see Blow up (disambiguation).

File:Blowup.png

एफ़ाइन विमान का विस्फोट।

गणित में, ब्लो अप या ब्लोअप एक प्रकार का ज्यामितीय परिवर्तन है जो किसी दिए गए स्थान के उप-स्थान को उस उप-स्थान से बाहर की ओर इशारा करते हुए सभी दिशाओं से बदल देता है। उदाहरण के लिए, एक विमान में एक बिंदु का विस्फोट बिंदु को उस बिंदु पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान से बदल देता है। रूपक एक विस्फोट का जिक्र करने के बजाय चित्र के हिस्से को बड़ा करने के लिए एक तस्वीर पर ज़ूम इन करने का है।

ब्लोअप द्विवार्षिक ज्यामिति में सबसे मौलिक परिवर्तन हैं, क्योंकि प्रक्षेपी किस्मों के बीच प्रत्येक द्विवार्षिक रूपवाद एक विस्फोट है। कमजोर गुणनखंडन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक द्विभाजित मानचित्र को विशेष रूप से सरल ब्लोअप की संरचना के रूप में कारक बनाया जा सकता है। क्रेमोना समूह, विमान के बायरेशनल मोर्फिज़्म का समूह, ब्लोअप द्वारा उत्पन्न होता है।

द्विपक्षीय परिवर्तनों का वर्णन करने में उनके महत्व के अलावा, ब्लूपअप भी नई जगहों के निर्माण का एक महत्वपूर्ण तरीका है। उदाहरण के लिए, विलक्षणताओं के समाधान के लिए अधिकांश प्रक्रियाएँ विलक्षणताओं को तब तक उड़ाते हुए आगे बढ़ती हैं जब तक कि वे सहज न हो जाएँ। इसका एक परिणाम यह है कि ब्लोअप का उपयोग बायरेशनल मैप्स की विलक्षणताओं को हल करने के लिए किया जा सकता है।

शास्त्रीय रूप से, ब्लूपअप को बाहरी रूप से परिभाषित किया गया था, पहले निर्देशांक में एक स्पष्ट निर्माण का उपयोग करके प्रक्षेपण स्थान जैसे रिक्त स्थान पर ब्लूपअप को परिभाषित करके और फिर एम्बेडिंग के संदर्भ में अन्य रिक्त स्थान पर ब्लौअप को परिभाषित करना। यह कुछ शब्दावली में परिलक्षित होता है, जैसे कि शास्त्रीय शब्द मोनोइडल ट्रांसफॉर्मेशन। समकालीन बीजगणितीय ज्यामिति ब्लोइंग को एक बीजगणितीय विविधता पर एक आंतरिक संक्रिया के रूप में मानती है। इस दृष्टिकोण से, एक उप-वर्ग को कार्टियर भाजक में बदलने के लिए एक विस्फोट सार्वभौमिक (श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में) तरीका है।

एक ब्लौअप को मोनॉयडल ट्रांसफॉर्मेशन, लोकली क्वाड्रैटिक ट्रांसफॉर्मेशन, डिलेटेशन, σ-प्रोसेस, या हॉफ मैप भी कहा जा सकता है।

एक विमान में एक बिंदु का विस्फोट

विस्फोट का सबसे सरल मामला विमान में एक बिंदु का विस्फोट है। इस उदाहरण में ब्लोइंग की अधिकांश सामान्य विशेषताएं देखी जा सकती हैं।

ब्लौअप का एक घटना पत्राचार के रूप में एक सिंथेटिक विवरण है। याद रखें कि ग्रासमानियन जी (1,2) विमान में एक बिंदु के माध्यम से सभी लाइनों के सेट को पैरामीट्रिज करता है। प्रक्षेपी विमान पी का ब्लौअप² बिंदु P पर, जिसे हम X निरूपित करेंगे, है

$X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {G} (1,2).$

यहाँ Q एक अन्य बिंदु और को दर्शाता है $\ell$ ग्रासमैनियन का एक तत्व है। X एक प्रक्षेपी किस्म है क्योंकि यह प्रक्षेपी किस्मों के उत्पाद की एक बंद उप-किस्म है। यह एक प्राकृतिक आकारिकी π से 'P' तक आता है² जो जोड़ी लेता है $(Q,\ell )$ क्यू के लिए। यह आकृतिवाद सभी बिंदुओं के खुले उपसमुच्चय पर एक समरूपता है $(Q,\ell )$ Q ≠ P के साथ क्योंकि रेखा $\ell$ उन दो बिंदुओं से निर्धारित होता है। जब क्यू = पी, हालांकि, रेखा $\ell$ P से होकर जाने वाली कोई भी रेखा हो सकती है। ये रेखाएँ P से होकर जाने वाली दिशाओं के स्थान के अनुरूप हैं, जो 'P' के समरूपी है।^{1</उप>। इस प्रो1 को असाधारण विभाजक कहा जाता है, और परिभाषा के अनुसार यह प्रक्षेपित सामान्य बंडल #P पर सामान्य परिभाषा है। क्योंकि P एक बिंदु है, सामान्य स्थान स्पर्शरेखा स्थान के समान है, इसलिए असाधारण भाजक आइसोमोर्फिक है P पर प्रक्षेपित स्पर्शरेखा स्थान।}

ब्लूपअप पर निर्देशांक देने के लिए, हम उपरोक्त घटनाओं के पत्राचार के लिए समीकरण लिख सकते हैं। 'पी' दें² सजातीय निर्देशांक [एक्स₀:एक्स₁:एक्स₂] जिसमें P बिंदु है [P₀:पी₁:पी₂]। प्रक्षेपी द्वैत द्वारा, G(1,2) P के लिए तुल्याकारी है², इसलिए हम इसे सजातीय निर्देशांक दे सकते हैं [L₀: एल₁: एल₂]। एक पंक्ति $\ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]$ सभी का सेट है [एक्स₀:एक्स₁:एक्स₂] ऐसा है कि X₀L₀ + एक्स₁L₁ + एक्स₂L₂ = 0. इसलिए, विस्फोट के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.$

ब्लौअप पी से दूर एक आइसोमोर्फिज्म है, और प्रोजेक्टिव प्लेन के बजाय एफाइन प्लेन में काम करके, हम ब्लौअप के लिए सरल समीकरण दे सकते हैं। प्रक्षेपी रूपांतरण के बाद, हम मान सकते हैं कि P = [0:0:1]। एफिन प्लेन एक्स पर निर्देशांक के लिए x और y लिखें₂≠0। हालत पी ∈ $\ell$ तात्पर्य यह है कि एल₂ = 0, इसलिए हम ग्रासमैनियन को P से बदल सकते हैं^{1</उप>। फिर ब्लोअप विविधता है}

$\{((x,y),[z:w])\mid xz+yw=0\}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.$

संकेतों में से किसी एक को उलटने के लिए निर्देशांक बदलना अधिक सामान्य है। फिर ब्लूपअप को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\left\{((x,y),[z:w])\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.$

यह समीकरण पिछले वाले की तुलना में सामान्यीकृत करना आसान है।

अगर हम ग्रासमैनियन के अनंत बिंदु को हटा दें, तो विस्फोट को आसानी से देखा जा सकता है, उदा। w = 1 सेट करके, और 3D स्पेस में मानक सैडल पॉइंट # सैडल सतह y = xz प्राप्त करें।

ब्लौअप को सामान्य स्थान से बिंदु तक सीधे निर्देशांक का उपयोग करके भी वर्णित किया जा सकता है। फिर से हम एफाइन प्लेन 'ए' पर काम करते हैं^{2</उप>। मूल बिंदु के लिए सामान्य स्थान सदिश स्थान m/m है2, जहाँ m = (x, y) मूल बिंदु की उच्चिष्ठ गुणजावली है। बीजगणितीय रूप से, इस सदिश स्थान का प्रक्षेपीकरण इसके सममित बीजगणित का गुणनफल है, अर्थात,}

$X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.$

इस उदाहरण में, इसका एक ठोस विवरण है

$X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),$

जहां x और y की डिग्री 0 है और z और w की डिग्री 1 है।

वास्तविक या जटिल संख्याओं के ऊपर, ब्लूपअप का संबंधित योग के रूप में एक सांस्थितिकीय विवरण होता है ${\mathbf{P}}^{}$