डीन ट्विस्ट

File:Dehn twist.png

लाल वक्र c के बारे में एक सिलेंडर पर लगाया गया एक सकारात्मक देह मोड़ हरे रंग की वक्र को संशोधित करता है जैसा कि दिखाया गया है।

ज्यामितीय टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, एक देह मोड़ एक निश्चित प्रकार का होमियोमोर्फिज्म है। एक सतह (टोपोलॉजी) (द्वि-आयामी कई गुना) का आत्म-होमोमोर्फिज्म।

परिभाषा

File:General Dehn twist on a surface.png

एक एन-गॉन द्वारा दर्शाई गई एक कॉम्पैक्ट सतह पर सामान्य देह मोड़।

मान लीजिए कि c एक बंद उन्मुखता सतह S में एक वक्र है। चलो A, c का एक ट्यूबलर पड़ोस है। तब A एक वलय (गणित) है, एक वृत्त और एक इकाई अंतराल I के कार्टेशियन उत्पाद के लिए होमियोमॉर्फिक है:

$c\subset A\cong S^{1}\times I.$

A निर्देशांक (s, t) दें जहाँ s रूप की एक सम्मिश्र संख्या है $e^{i\theta }$ साथ $\theta \in [0,2\pi ],$ और t ∈ [0, 1].

मान लीजिए f, S से स्वयं का मानचित्र है जो A के बाहर और A के अंदर की पहचान है

$f(s,t)=\left(se^{i2\pi t},t\right).$

तब वक्र c के बारे में f एक 'देह मोड़' है।

डीहन ट्विस्ट को एक गैर-उन्मुख सतह एस पर भी परिभाषित किया जा सकता है, बशर्ते कोई एस पर 2-तरफा सरल बंद वक्र सी से शुरू हो।

उदाहरण

File:Dehn twist for the torus.png

टोरस पर एक देह मोड़ का एक उदाहरण, बंद वक्र ए के साथ, नीले रंग में, जहां ए मूल बहुभुज का एक किनारा है जो टोरस का प्रतिनिधित्व करता है।

File:Dehn twist induced isomorphism.png

टोरस के जनरेटरों में से एक के साथ डेहन मोड़ के स्व-होमोमोर्फिज्म द्वारा प्रेरित टोरस के मौलिक समूह पर ऑटोमोर्फिज्म।

किनारों ए और बी के साथ मौलिक बहुभुज द्वारा दर्शाए गए टोरस्र्स पर विचार करें

$\mathbb {T} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.$

मान लीजिए एक बंद वक्र किनारे के साथ वाली रेखा है जिसे a कहा जाता है $\gamma _{a}$.

आकृति में ग्लूइंग होमोमोर्फिज्म की पसंद को देखते हुए, वक्र का एक ट्यूबलर पड़ोस $\gamma _{a}$ एक डोनट के चारों ओर जुड़े बैंड की तरह दिखेगा। यह पड़ोस एक वलय (गणित) के लिए होमोमोर्फिक है, कहते हैं

$a(0;0,1)=\{z\in \mathbb {C} :0<|z|<1\}$

जटिल विमान में।

टोरस को घुमाते हुए मानचित्र तक विस्तारित करके $\left(e^{i\theta },t\right)\mapsto \left(e^{i\left(\theta +2\pi t\right)},t\right)$ एनलस के होमोमोर्फिज्म के माध्यम से एनलस के पड़ोस में एक खुले सिलेंडर के लिए $\gamma _{a}$, a.

$T_{a}:\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}$

यह सेल्फ होमोमोर्फिज्म बी के साथ बंद वक्र पर कार्य करता है। ट्यूबलर पड़ोस में यह a के वक्र के साथ एक बार b का वक्र लेता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक होमोमोर्फिज्म उनके मौलिक समूहों के बीच एक प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। इसलिए किसी के पास एक ऑटोमोर्फिज्म है

${T_{a}}_{\ast }:\pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right)\to \pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right):[x]\mapsto \left[T_{a}(x)\right]$

जहां [x] टोरस में बंद वक्र x के समरूप वर्ग हैं। सूचना ${T_{a}}_{\ast }([a])=[a]$ और ${T_{a}}_{\ast }([b])=[b*a]$, कहाँ $b*a$ क्या पथ b के चारों ओर यात्रा करता है फिर a।

मानचित्रण वर्ग समूह

File:Lickorish Twist Theorem.svg

ट्विस्ट प्रमेय से 3g − 1 वक्र, यहाँ g = 3 के लिए दिखाया गया है।

यह मैक्स डेहन का एक प्रमेय है कि इस रूप के नक्शे किसी भी बंद, उन्मुख जीनस (गणित) के उन्मुखीकरण-संरक्षित होमोमोर्फिज्म के होमोटॉपी वर्गों की सतह के मानचित्रण वर्ग समूह को उत्पन्न करते हैं -$g$ सतह। W. B. R. लिकोरिश ने बाद में एक सरल प्रमाण के साथ इस परिणाम को फिर से खोजा और इसके अलावा यह दिखाया कि देह साथ-साथ मुड़ता है $3g-1$ स्पष्ट वक्र मानचित्रण वर्ग समूह उत्पन्न करते हैं (इसे पनिंग नाम लिकोरिश ट्विस्ट प्रमेय कहा जाता है); इस संख्या को बाद में स्टीफन पी. हम्फ्रीज़ ने सुधार कर $2g+1$, के लिए $g>1$, जो उसने दिखाया वह न्यूनतम संख्या थी।

लिकोरिश ने गैर-उन्मुख सतहों के लिए एक समान परिणाम भी प्राप्त किया, जिसके लिए न केवल डेहन ट्विस्ट की आवश्यकता होती है, बल्कि Y-होमियोमोर्फिज्म भी।

यह भी देखें

• लालटेन संबंध

संदर्भ

• Andrew J. Casson, Steven A Bleiler, Automorphisms of Surfaces After Nielsen and Thurston, Cambridge University Press, 1988. ISBN 0-521-34985-0.
• Stephen P. Humphries, "Generators for the mapping class group," in: Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), pp. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer, Berlin, 1979. MR0547453
• W. B. R. Lickorish, "A representation of orientable combinatorial 3-manifolds." Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540. MR0151948
• W. B. R. Lickorish, "A finite set of generators for the homotopy group of a 2-manifold", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. MR0171269