सांख्यिक अंक

क्वांटम संख्या वाले हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के लिए एकल इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्स

n = 1, 2, 3

(ब्लॉक),

ℓ

(पंक्तियां) और

m

(कॉलम)। घुमाव

s

दृश्यमान नहीं है, क्योंकि इसकी कोई स्थानिक निर्भरता नहीं है।

क्वांटम यांत्रिकी और रसायन विज्ञान में, क्वांटम संख्याएं क्वांटम प्रणाली की गतिशीलता में संरक्षित मात्रा के मूल्यों का वर्णन करती हैं। क्वांटम संख्याएँ ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी) के आइगेनमानों के अनुरूप होती हैं जो हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ आवागमन करती हैं - ऐसी मात्राएँ जिन्हें प्रणाली की ऊर्जा के रूप में एक ही समय में सटीकता के साथ जाना जा सकता है और उनके संबंधित आइगेनस्पेस। एक साथ, एक क्वांटम प्रणाली के सभी क्वांटम नंबरों का एक विनिर्देश पूरी तरह से प्रणाली की एक आधार (रैखिक बीजगणित) स्थिति की विशेषता है, और सैद्धांतिक रूप से क्वांटम यांत्रिकी में एक साथ माप हो सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी का एक महत्वपूर्ण पहलू ब्याज की कई अवलोकनीय मात्राओं का परिमाणीकरण (भौतिकी) है। विशेष रूप से, यह क्वांटम संख्या की ओर जाता है जो असतत गणित या अर्ध-पूर्णांक में मान लेता है; हालांकि वे कुछ मामलों में अनंत तक पहुंच सकते थे। यह क्वांटम यांत्रिकी को चिरसम्मत यांत्रिकी से अलग करता है, जहां द्रव्यमान, आवेश या संवेग जैसे प्रणाली को चिह्नित करने वाले मान, सभी निरंतर श्रेणी में होते हैं। क्वांटम संख्याएँ प्रायः विशेष रूप से परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्तर का वर्णन करती हैं, लेकिन अन्य संभावनाओं में कोणीय गति, स्पिन (भौतिकी), आदि सम्मिलित हैं। एक महत्वपूर्ण समूह फ्लेवर (कण भौतिकी) है - आंतरिक समरूपता क्वांटम संख्या जो एक कण के प्रकार और उसके निर्धारण मौलिक बलों के माध्यम से अन्य कणों के साथ पारस्परिक प्रभाव बनता है। किसी भी क्वांटम प्रणाली में एक या अधिक क्वांटम संख्याएँ हो सकती हैं; इस प्रकार सभी संभावित क्वांटम संख्याओं को सूचीबद्ध करना कठिन है।

किसी दिए गए प्रणालीके लिए आवश्यक क्वांटम संख्या

क्वांटम संख्याओं का मिलान एक प्रणाली से दूसरी प्रणाली में भिन्न होता है और इसका कोई सार्वभौमिक उत्तर नहीं है। इसलिए प्रत्येक प्रणाली का विश्लेषण करने के लिए इन मापदंडों को पाया जाना चाहिए। एक परिमाणित प्रणाली के लिए कम से कम एक क्वांटम संख्या की आवश्यकता होती है। किसी भी क्वांटम प्रणाली की गतिशीलता (अर्थात समय विकास) एक ऑपरेटर की राशि द्वारा हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के रूप में वर्णित है, $H$ प्रणाली की ऊर्जा के अनुरूप प्रणाली की एक क्वांटम संख्या है; यानी, हैमिल्टनियन के eigenvalues में से एक है। प्रत्येक रैखिक स्वतंत्रता ऑपरेटर के लिए एक क्वांटम संख्या भी होती है $O$ हेमिल्टनियन के साथ वह कम्युनिटी। कम्यूटिंग वेधशालाओं (सीएससीओ) का एक पूरा सेट जो हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करता है, प्रणालीको उसके सभी क्वांटम नंबरों के साथ चित्रित करता है। क्वांटम संख्या और सीएससीओ के ऑपरेटरों के बीच एक-से-एक संबंध है, प्रत्येक क्वांटम संख्या के साथ इसके संबंधित ऑपरेटर के एक eigenvalues लेते हैं। अलग-अलग बेसिस (रैखिक बीजगणित) के परिणामस्वरूप जो मनमाने ढंग से आने वाले ऑपरेटरों का एक पूरा सेट बनाने के लिए चुना जा सकता है, अलग-अलग स्थितियों में एक ही प्रणाली के विवरण के लिए क्वांटम संख्याओं के विभिन्न सेटों का उपयोग किया जा सकता है।

परमाणु में इलेक्ट्रॉन

चार क्वांटम संख्याएँ परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन का पूरी तरह से वर्णन कर सकती हैं:

स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन, स्पिन-ऑर्बिटल इंटरैक्शन, हालांकि, इन नंबरों से संबंधित है। इस प्रकार, प्रणालीका पूरा विवरण कम क्वांटम संख्याओं के साथ दिया जा सकता है, यदि इन आधार वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनल विकल्प बनाए जाते हैं।

विशिष्टता

एक प्रणाली में विभिन्न इलेक्ट्रॉनों की अलग-अलग क्वांटम संख्याएँ होंगी। उदाहरण के लिए, उच्चतम व्याप्त कक्षीय इलेक्ट्रॉन, वास्तविक विभेदक इलेक्ट्रॉन (अर्थात वह इलेक्ट्रॉन जो पिछले तत्व से एक तत्व को अलग करता है), या औफबाऊ सिद्धांत # मैडेलुंग ऊर्जा आदेश नियम के अनुसार विभेदक इलेक्ट्रॉन। लेण्टेनियुम में, एक और उदाहरण के रूप में, सम्मिलित इलेक्ट्रॉन 6s में हैं; 5डी; और 4f कक्षक, क्रमशः। इस मामले में प्रमुख क्वांटम संख्याएँ 6, 5 और 4 हैं।

सामान्य शब्दावली

यहाँ प्रयुक्त मॉडल चार क्वांटम संख्याओं का उपयोग करते हुए इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करता है, $n$ , $ℓ$ , $m ℓ$ , $m s$ , जो की नीचे दिया गया है। परमाणु कण अवस्था (जैसे प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के प्राचीन विवरण में यह सामान्य नामकरण भी है। आण्विक कक्षाओं के क्वांटम विवरण के लिए अन्य क्वांटम संख्याओं की आवश्यकता होती है, क्योंकि हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) और इसकी समरूपता अलग-अलग होती है।

प्रिंसिपल क्वांटम नंबर

मुख्य क्वांटम संख्या एक इलेक्ट्रॉन शेल इलेक्ट्रॉन शेल, या ऊर्जा स्तर का वर्णन करती है। का मान है $n$ 1 से लेकर उस परमाणु के सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन वाले शेल तक होता है, अर्थात^[1]

n = 1, 2, ...

उदाहरण के लिए, सीज़ियम (Cs) में, सबसे बाहरी वैलेंस (रसायन विज्ञान) इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर 6 के शेल में होता है, इसलिए सीज़ियम में एक इलेक्ट्रॉन हो सकता है $n$ मान 1 से 6 तक।

टाइम-इंडिपेंडेंट पोटेंशियल में कणों के लिए (देखें श्रोडिंगर इक्वेशन टाइम इंडिपेंडेंट|श्रोडिंगर इक्वेशन), यह भी लेबल करता है $n$ हेमिल्टनियन का वां आइगेनवेल्यू ( $H$ ), यानी ऊर्जा $E$ , कोणीय संवेग के कारण योगदान के साथ (शब्द सम्मिलित है $J 2$ ) छोड़ दिया। तो यह संख्या केवल इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच की दूरी पर निर्भर करती है (अर्थात, रेडियल निर्देशांक $r$ ). से औसत दूरी बढ़ जाती है $n$ . इसलिए अलग-अलग प्रिंसिपल क्वांटम नंबर वाले क्वांटम स्टेट्स को अलग-अलग शेल से संबंधित कहा जाता है।

अज़ीमुथल क्वांटम संख्या

अज़ीमुथल क्वांटम संख्या, जिसे कोणीय संवेग क्वांटम संख्या या कक्षीय क्वांटम संख्या के रूप में भी जाना जाता है, इलेक्ट्रॉन शेल#उपकोशों (सबशेल्स) का वर्णन करता है, और संबंध के माध्यम से कक्षीय कोणीय गति का परिमाण देता है।

L 2 = ħ 2 ℓ (ℓ + 1)

रसायन विज्ञान और स्पेक्ट्रोस्कोपी में, $ℓ = 0$ को s कक्षीय कहा जाता है, $ℓ = 1$ , p कक्षीय, $ℓ = 2$ , d कक्षीय, और $ℓ = 3$ , f कक्षीय।

का मान है $ℓ$ 0 से लेकर $n - 1$ , तो पहला p कक्षीय ( $ℓ = 1$ ) दूसरे इलेक्ट्रॉन शेल में प्रकट होता है ( $n = 2$ ), पहला d कक्षीय ( $ℓ = 2$ ) तीसरे शेल में प्रकट होता है ( $n = 3$ ), और इसी तरह:^[2]

ℓ = 0, 1, 2,..., n - 1

में प्रांरम्भ होने वाली क्वांटम संख्या $n$ = 3,ℓ = 0, एक परमाणु के तीसरे इलेक्ट्रॉन शेल के s कक्षीय में इलेक्ट्रॉन का वर्णन करता है। रसायन विज्ञान में, यह क्वांटम संख्या बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह एक परमाणु कक्षीय के आकार को निर्दिष्ट करती है और रासायनिक बंधनों और बंधन कोणों को दृढ़ता से प्रभावित करती है। अज़ीमुथल क्वांटम संख्या एक कक्षीय में मौजूद कोणीय नोड्स की संख्या को भी निरूपित कर सकती है। उदाहरण के लिए, p ऑर्बिटल्स के लिए, $ℓ = 1$ और इस प्रकार p ऑर्बिटल में कोणीय नोड्स की मात्रा 1 है।

कक्षीय का आकार अज़ीमुथल क्वांटम संख्या द्वारा भी दिया जाता है।

चुंबकीय क्वांटम संख्या

चुंबकीय क्वांटम संख्या उस उपधारा के भीतर विशिष्ट परमाणु कक्षीय (या बादल) का वर्णन करती है, और एक निर्दिष्ट अक्ष के साथ कक्षीय कोणीय गति का प्रक्षेपण करती है:

L z = m ℓ ħ

के मान $m ℓ$ से रेंज $- ℓ$ को $ℓ$ , पूर्णांक अंतराल के साथ।^[3]

एस उपधारा ( $ℓ = 0$ ) में केवल एक कक्षीय होता है, और इसलिए {{math|m_ℓ}एक s कक्षीय में एक इलेक्ट्रॉन का } हमेशा 0 होगा। p उपकोश ( $ℓ = 1$ ) में तीन ऑर्बिटल्स होते हैं (कुछ प्रणालियों में, तीन डम्बल के आकार के बादलों के रूप में चित्रित), इसलिए {{mvar|m_ℓ} एक p कक्षीय में एक इलेक्ट्रॉन का } -1, 0, या 1 होगा। d उपकोश ( $ℓ = 2$ ) में पाँच ऑर्बिटल्स होते हैं $m ℓ$ -2, -1, 0, 1 और 2 के मान।

स्पिन क्वांटम संख्या

[1]

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[3]

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