BRST परिमाणीकरण

सैद्धांतिक भौतिकी में, बीआरएसटी औपचारिकता, या बीआरएसटी परिमाणीकरण (जहां बीआरएसटी कार्लो बेचेची, एलेन रूएट, रेमंड स्टोरा और इगोर ट्यूटिन के अंतिम नामों को संदर्भित करता है) एक माप समरूपता के साथ एक क्षेत्र सिद्धांत को परिमाणित करने के लिए एक अपेक्षाकृत कठिन गणितीय दृष्टिकोण को दर्शाता है। पहले के परिमाण क्षेत्र सिद्धांत (QFT) रूपरेखा में परिमाणीकरण के नियम प्रमाणों से अधिक "निर्दिष्ट" या "अनुमानिकी" के समान थे, विशेष रूप से गैर-अबेलियन क्यूएफटी में, जहां सतही विचित्र गुणों वाले "घोस्ट क्षेत्र" का उपयोग पुनर्सामान्यीकरण और विसंगति निरस्तीकरण से संबंधित प्राविधिक कारणों से लगभग अपरिहार्य है।

1970 के दशक के मध्य में प्रारंभ की गई बीआरएसटी वैश्विक सुपरसिमेट्री को क्यूएफटी गणना करते समय इन फदीव-पोपोव घोस्टो की प्रारम्भिक और भौतिक स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं से उनके बहिष्करण को युक्तिसंगत बनाने के लिए समझा गया था। महत्वपूर्ण रूप से, पथ समाकल की यह समरूपता पाश क्रम में संरक्षित है और इस प्रकार प्रतिवादों के प्रारम्भ को रोकता है जो माप सिद्धांतों की पुनर्सामान्यता को नष्ट कर सकता है। कुछ वर्षों पश्चात अन्य लेखकों द्वारा किए गए कार्य ने बीआरएसटी प्रचालक को एक माप सिद्धांत को परिमाणित करते समय पथ समाकल के लिए एक कठिन विकल्प के अस्तित्व से संबंधित किया है।

केवल 1980 के दशक के उत्तरार्ध में, जब निम्न-आयामी बहुविध (सांस्थितिक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत) की सांस्थितिकी में समस्याओं के लिए अनुप्रयोगो के लिए तन्तु पूलिका भाषा में क्यूएफटी का सुधार किया गया था, क्या यह स्पष्ट हो गया था कि बीआरएसटी परिवर्तन मूल रूप से व्यवहार में ज्यामितीय है। इस प्रकाश में, विसंगति-निरस्तीकरण करने वाले घोस्टो तक पहुंचने के लिए बीआरएसटी परिमाणीकरण एक वैकल्पिक तरीके से अधिक हो जाता है। घोस्ट क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने पर यह एक भिन्न परिप्रेक्ष्य है, फदीव-पोपोव पद्धति क्यों कार्य करती है और यह कैसे हैमिल्टनी यांत्रिकी के उपयोग से संबंधित है जो एक विक्षुब्ध रूपरेखा का निर्माण करता है। माप अप्रसरण और बीआरएसटी अप्रसरण के मध्य का संबंध एक हैमिल्टनी प्रणाली के चयन को बाध्य करता है, जिसकी अवस्था "कणों" से बने होते हैं, जो विहित परिमाणीकरण औपचारिकता से परिचित नियमों के अनुसार होते हैं। यह गुह्य स्थिरता की स्थिति यह समझाने के काफी निकट आती है कि भौतिकी में परिमाण और फर्मिऑन कैसे प्रारंभ होते हैं।

कुछ स्थितियों में, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण और अतिगुरुत्वाकर्षण, बीआरएसटी को एक अधिक सामान्य औपचारिकता, बटालिन-विलकविस्की औपचारिकता द्वारा स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

प्राविधिक सारांश

बीआरएसटी परिमाणीकरण एक गैर-अबेलियन माप सिद्धांत में सुसंगत, विसंगति - मुक्त प्रक्षोभ वाली गणना करने के लिए एक विभेदक ज्यामितीय दृष्टिकोण है। बीआरएसटी "रूपांतरण" का विश्लेषणात्मक रूप और पुनर्सामान्यीकरण और विसंगति निरस्तीकरण के लिए इसकी प्रासंगिकता का वर्णन कार्लो बेचेची, एलेन रूट और रेमंड स्टोरा द्वारा 1976 में माप सिद्धांतों के पुनर्सामान्यीकरण में समाप्त होने वाले पत्रों की एक श्रृंखला में किया गया था। समतुल्य परिवर्तन और इसके कई गुण स्वतंत्र रूप से इगोर ट्यूटिन द्वारा खोजे गए थे। यांग-मिल्स सिद्धांत के कठिन विहित परिमाणीकरण के लिए इसका महत्व और तात्क्षणिक क्षेत्र विन्यास के फॉक समष्टि के लिए इसके सही अनुप्रयोग को ताइचिरो कुगो और इज़ुमी ओजिमा द्वारा स्पष्ट किया गया था। बाद में कई लेखकों, विशेष रूप से थॉमस शूकर और एडवर्ड विटन ने बीआरएसटी प्रचालक और संबंधित क्षेत्रों के ज्यामितीय महत्व को स्पष्ट किया है और सांस्थितिक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत के महत्व पर बल दिया है।

बीआरएसटी दृष्टिकोण में, माप पूलिका के अंतर ज्यामिति का उपयोग करके माप सिद्धांत के क्रिया सिद्धांत के लिए प्रक्षोभ-अनुकूल माप स्थिरीकरण प्रक्रिया का चयन किया जाता है, जिस पर क्षेत्र सिद्धांत रहता है। एक तो इस तरह से अन्तःक्रिया चित्र में हैमिल्टनी प्रणाली प्राप्त करने के लिए सिद्धांत को मापता है कि माप स्थिरीकरण प्रक्रिया द्वारा प्रस्तुत किए गए "अभौतिक" क्षेत्र सिद्धांत के उपगामी अवस्थाओं में प्रकट हुए बिना माप विसंगतियों को हल करते हैं। परिणाम एस मैट्रिक्स के डायसन श्रृंखला प्रक्षोभ विस्तार में उपयोग के लिए फेनमैन नियमों का एक समुच्चय है जो प्रत्याभुति देता है कि यह प्रत्येक एक-पाश क्रम पर एकात्मक और असामान्य है - संक्षेप में, प्रकीर्णन के परिणामों के विषय में भौतिक पूर्वाकलन करने के लिए एक सुसंगत सन्निकटन प्रविधि प्रयोग है।

शास्त्रीय बीआरएसटी

यह एक सुपरसिंपलेक्टिक बहुविध से संबंधित है जहां शुद्ध प्रचालकों को अभिन्न घोस्ट संख्याओं द्वारा वर्गीकृत किया जाता है और हमारे पास एक बीआरएसटी सह-समरूपता है।

क्यूएफटी में माप परिवर्तन

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत में एक क्रिया सिद्धांत और प्रक्षोभ सिद्धांत की गणना करने के लिए प्रक्रियाओं का एक समुच्चय होता है। अन्य प्रकार की स्वस्थचित्तता जाँचें हैं जो परिमाण क्षेत्र सिद्धांत पर यह निर्धारित करने के लिए की जा सकती हैं कि यह क्वार्क परिरोधन और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता जैसी गुणात्मक घटनाओं के लिए उपयुक्त है। हालाँकि, परिमाण क्षेत्र सिद्धांत की अधिकांश भविष्यवाणिय सफलताएँ, परिमाण विद्युत् गतिकी से लेकर आज तक, प्रकीर्णन वाले प्रयोगों के परिणामों के विरुद्ध एस-आव्यूह गणनाओं का मिलान करके निर्धारित की गई हैं।

क्यूएफटी के प्रारम्भिक दिनों में, किसी को यह कहना होगा कि परिमाणीकरण और पुनर्सामान्यीकरण निर्दिष्ट प्रतिरूप का उतना ही भाग थे जितना लग्रांजी घनत्व, विशेषतः जब वे प्रभावशाली परन्तु गणितीय रूप से अनुचित परिभाषित पथ अभिन्न सूत्रीकरण पर निर्भर थे। यह शीघ्रता से स्पष्ट हो गया कि क्यूईडी अपने सापेक्ष सुवाह्यता में लगभग मायिक था और यह कि जिन तरीकों से इसे विस्तारित करने की कल्पना की जा सकती है उनमें से अधिकांश तर्कसंगत गणना नहीं करेंगे। हालांकि, क्षेत्र सिद्धांतों का एक वर्ग आशाजनक बना रहा: माप सिद्धांत, जिसमें सिद्धांत में वस्तुएं भौतिक रूप से अप्रभेद्य क्षेत्र विन्यास के समतुल्य वर्गों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जिनमें से कोई भी दो माप परिवर्तन से संबंधित हैं। यह एक अधिक जटिल लाइ-समूह के चरण के स्थानीय परिवर्तन के क्यूईडी विचार को सामान्यीकृत करता है।

क्यूईडी अपने आप में एक माप सिद्धांत है, जैसा कि सामान्य सापेक्षता है, हालांकि बाद वाले ने अब तक परिमाणीकरण के लिए प्रतिरोधी सिद्ध कर दिया है, जो कि पुनर्संरचना से संबंधित कारणों के लिए है। गैर-एबेलियन माप समूह के साथ माप सिद्धांतों का एक अन्य वर्ग, जो यांग-मिल्स सिद्धांत के साथ प्रारंभ हुआ, 1960 के दशक के अंत और 1970 के दशक की प्रारंभ में परिमाणीकरण के लिए उत्तरदायी हो गया, बड़े पैमाने पर लुडविग डी. फदीदेव, विक्टर पोपोव, ब्रायस डेविट और जेरार्डस टी हूफ्ट के कार्य के कारण हैं। हालांकि, बीआरएसटी पद्धति की प्रारम्भ तक उनके साथ कार्य करना बहुत कठिन रहा। बीआरएसटी पद्धति ने अखंड यांग-मिल्स सिद्धांतों और उन दोनों से सटीक परिणाम निकालने के लिए आवश्यक गणना प्रविधि और पुनर्सामान्यता प्रमाण प्रदान किए जिनमें हिग्स क्रियाविधि सहज समरूपता को खंडन की ओर ले जाता है। इन दो प्रकार के यांग-मिल्स प्रणाली के प्रतिनिधि-परिमाण क्रोमोडायनामिक्स और विद्युत सिद्धांत-कण भौतिकी के मानक प्रतिरूप में दिखाई देते हैं।

अर्ध-हेयूरिस्टिक गणना योजनाओं का उपयोग करके सटीक पूर्वाकलन प्राप्त करने की तुलना में कठिन अर्थों में गैर-एबेलियन परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के अस्तित्व को सिद्ध करना अधिक कठिन सिद्ध हुआ है। ऐसा इसलिए है क्योंकि परिमाण क्षेत्र सिद्धांत का विश्लेषण करने के लिए दो गणितीय रूप से अंतःबंधन किए गए दृष्टिकोणों की आवश्यकता होती है: क्रिया कार्यात्मक पर आधारित लग्रांजी प्रणाली, समष्टि काल में प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग मानों वाले क्षेत्र से बना होता है और स्थानीय प्रचालक जो उन पर कार्य करते हैं और डिरैक चित्र में हैमिल्टनी प्रणाली, उन अवस्थाओं से बना है जो एक निश्चित समय में संपूर्ण प्रणाली की विशेषता बताते हैं और क्षेत्र प्रचालक जो उन पर कार्य करते हैं। माप सिद्धांत में यह इतना कठिन क्यों है कि सिद्धांत की वस्तुएं वास्तव में समष्टि काल पर स्थानीय क्षेत्र नहीं हैं; वे प्रमुख माप पूलिका पर सही-अपरिवर्तनीय स्थानीय क्षेत्र हैं, और माप पूलिका के एक भाग के माध्यम से विभिन्न स्थानीय खंड और वैश्विक खंड निष्क्रिय परिवर्तनों से संबंधित हैं, विभिन्न डिरैक चित्रों का उत्पादन करते हैं।

क्या अधिक है, क्षेत्रों के एक समूह के संदर्भ में संपूर्ण प्रणाली के विवरण में स्वतंत्रता की कई अनावश्यक डिग्री सम्मिलित हैं; सिद्धांत के विशिष्ट विन्यास क्षेत्र विन्यास के तुल्यता वर्ग हैं, ताकि दो विवरण जो माप परिवर्तन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं, वास्तव में एक ही भौतिक विन्यास हैं। परिमाणित माप सिद्धांत का समाधान समष्टि काल में प्रत्येक बिंदु पर मानो के साथ क्षेत्र के सीधे स्थान में उपस्थित नहीं है, परन्तु एक भागफल स्थान (या सह समरूपता) में है, जिसके तत्व क्षेत्र विन्यास समतुल्य वर्ग हैं। बीआरएसटी औपचारिकता में प्रच्छादन सभी संभावित सक्रिय माप परिवर्तनों से जुड़े विविधताओं को मापदण्ड करने के लिए एक प्रणाली है और लग्रांजी प्रणाली को हैमिल्टनी प्रणाली में रूपांतरण के पर्यन्त उनकी भौतिक अप्रासंगिकता के लिए सही ढंग से लेखांकन करता है।

माप स्थिरीकरण और प्रक्षोभ सिद्धांत

व्यावहारिक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण के लिए माप अप्रसरण का सिद्धांत आवश्यक है। परन्तु सामान्यतः पहले माप को ठीक किए बिना माप सिद्धांत में एक प्रक्षोभ गणना करने के लिए संभव नहीं है - क्रिया सिद्धांत के लग्रांजी घनत्व के शब्दों को जोड़ते हुए जो स्वतंत्रता के इन अभौतिक डिग्री को दबाने के लिए माप समरूपता को तोड़ते हैं। माप स्थिरीकरण का विचार विद्युत् चुंबकत्व के लोरेंस माप दृष्टिकोण पर वापस जाता है, जो प्रकट लोरेंस अप्रसरण को बनाए रखते हुए चार-क्षमता में स्वतंत्रता की अधिकांश अतिरिक्त डिग्री को दबा देता है। लॉरेंज माप शास्त्रीय विद्युत् गतिकी के लिए मैक्सवेल के क्षेत्र-शक्ति दृष्टिकोण के सापेक्ष एक स्थूल सरलीकरण है और यह दर्शाता है कि लग्रांजी परिवर्तन के माध्यम से हैमिल्टनी यांत्रिकी के पास जाने से पूर्व लग्रांजी चरण में एक सिद्धांत में वस्तुओं के प्रतिनिधित्व में स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री से व्यवहार करना क्यों उपयोगी है।

हैमिल्टनी घनत्व माप पूलिका पर एक इकाई घटनाक्रम क्षैतिज सदिश क्षेत्र के संबंध में लग्रांजी घनत्व के लाइ संजात से संबंधित है। परिमाण यांत्रिक संदर्भ में इसे पारंपरिक रूप से एक कारक $i\hbar$ द्वारा पुनर्विक्रय किया जाता है। स्पेसलाइक अनुप्रस्थ काट पर भागों द्वारा इसे एकीकृत करने से विहित परिमाणीकरण से परिचित समाकलित का रूप ठीक हो जाता है। क्योंकि हैमिल्टनी की परिभाषा में आधार समष्टि पर एक इकाई समय सदिश क्षेत्र, पूलिका समष्टि के लिए एक क्षैतिज उत्थापन और आधार बहुविध पर प्रत्येक बिंदु पर इकाई समय सदिश क्षेत्र के लिए "सामान्य" (मिन्कोव्स्की मात्रिक में) एक समष्टि जैसी सतह सम्मिलित है। कई गुना, यह संयोजन और संदर्भ के लोरेंस प्रधार की पसंद दोनों पर निर्भर है और विश्व स्तर पर परिभाषित होने से बहुत दूर है। परन्तु यह परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के प्रक्षोभ प्राधार में एक आवश्यक घटक है, जिसमें डायसन श्रृंखला के माध्यम से मात्रात्मक हैमिल्टनी प्रवेश करता है।

प्रक्षोभ उद्देश्यों के लिए, हम अपने सिद्धांत के सभी क्षेत्रों के विन्यास को पी के संपूर्ण त्रि-आयामी क्षैतिज समष्टि जैसे अनुप्रस्थ काट पर एक वस्तु (एक फॉक समष्टि) में एकत्र करते हैं और फिर अंतःक्रियात्मक चित्र का उपयोग करके समय के साथ इस समष्टि के विकास का वर्णन करते हैं। फॉक समष्टि को अप्रतिबंधित या गैर-अंतःक्रिया ${\mathcal {H}}_{0}$ वाले भाग के हैमिल्टनी प्रणाली का ${\mathcal {H}}$ बहु-कण आइजेनस्टेट द्वारा फैलाया जाता है इसलिए किसी भी फॉक समष्टि का तात्कालिक विवरण एक जटिल-आयाम-भारित योग है जो आइजेनस्टेट ${\mathcal {H}}_{0}$का है। अंतःक्रिया चित्र में, हम अलग-अलग समय पर फॉक समष्टि से संबंधित हैं, जिसमें कहा गया है कि अपरंपरागत हैमिल्टन के प्रत्येक आइजनस्टेट को अपनी ऊर्जा के समानुपाती चरण आवर्तन की निरंतर दर (अपरिवर्तित हैमिल्टनी के संबंधित आइजनवैल्यू) का अनुभव होता है।

इसलिए, शून्य-क्रम सन्निकटन में, फॉक समष्टि की विशेषता वाले भार का समुच्चय समय के साथ परिवर्तित नहीं होता है, परन्तु संबंधित क्षेत्र विन्यास करता है। उच्च सन्निकटन में, भार भी परिवर्तित होते हैं; उच्च-ऊर्जा भौतिकी में कोलाइडर प्रयोग इन भारों में परिवर्तन की दर के मापन के समान होते हैं (या बल्कि प्रकीर्णन की घटना की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करने वाले वितरणों पर उनके समाकल)। डायसन श्रृंखला के मध्य ${\mathcal {H}}_{0}$ और वास्तविक हैमिल्टनी ${\mathcal {H}}$ विसंगति के प्रभाव को दर्शाता है, युग्मन निरंतर g में एक शक्ति श्रृंखला के रूप में; यह परिमाण क्षेत्र सिद्धांत से मात्रात्मक पूर्वाकलन करने का प्रमुख उपकरण है।

किसी भी गणना करने के लिए डायसन श्रृंखला का उपयोग करने के लिए, किसी को माप-अचर लग्रांजी घनत्व से अधिक की आवश्यकता होती है; सिद्धांत के फेनमैन नियमों में प्रवेश करने वाले परिमाणीकरण और माप स्थिरीकरण निर्दिष्ट की भी आवश्यकता होती है। किसी विशेष क्यूएफटी के हैमिल्टनी पर अनुप्रयुक्त होने पर डायसन श्रृंखला विभिन्न प्रकार के अनंत समाकल उत्पन्न करती है। यह आंशिक रूप से इसलिए है क्योंकि आज तक के सभी प्रयोग करने योग्य परिमाण क्षेत्र सिद्धांतों को प्रभावी क्षेत्र सिद्धांतों के रूप में माना जाना चाहिए, जो केवल ऊर्जा पैमानों की एक निश्चित सीमा पर अंतःक्रिया का वर्णन करते हैं जिनकी हम प्रायोगिक रूप से जांच कर सकते हैं और इसलिए पराबैंगनी अपसरण के प्रति संवेदनशील हैं। ये तब तक सहनीय हैं जब तक इन्हें पुनर्सामान्यीकरण की मानक प्रविधि के माध्यम से नियंत्रित किया जा सकता है; वे इतने सहनीय नहीं होते हैं जब वे अनंत पुनर्सामान्यीकरण की एक अनंत श्रृंखला में परिणत होते हैं, या इससे भी निकृष्टतर, एक स्पष्ट रूप से अभौतिक पूर्वकथन जैसे कि एक निरस्त माप विसंगति। पुनर्सामान्यीकरण और माप अप्रसरण के मध्य एक गहन संबंध है, जो माप को ठीक करके सरल फेनमैन नियम प्राप्त करने के प्रयासों के पर्यन्त सरलता से लुप्त जाता है।

माप स्थिरीकरण के लिए प्री-बीआरएसटी दृष्टिकोण

सातत्य विद्युत् गतिकी के पारंपरिक माप स्थिरीकरण निर्दिष्ट लोरेंज माप $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ जैसे व्यवरोधक समीकरण का उपयोग करके प्रत्येक माप-रूपांतरण-संबंधित समकक्ष वर्ग से एक अद्वितीय प्रतिनिधि का चयन करते हैं। इस तरह के निर्दिष्ट को परिमाण क्यूईडी जैसे एबेलियन माप सिद्धांत पर अनुप्रयुक्त किया जा सकता है, हालांकि यह समझाने में कुछ कठिनाई होती है कि शास्त्रीय सिद्धांत की प्रतिपाल्य पहचान परिमाण सिद्धांत पर क्यों चलती है - दूसरे शब्दों में, आंतरिक अनुदैर्ध्य वाले फेनमैन आरेख रूप से ध्रुवीकृत आभासी फोटोन वाले फेनमैन आरेख एस-आव्यूह गणनाओं में योगदान क्यों नहीं करते हैं। यह दृष्टिकोण गैर-एबेलियन माप समूहों जैसे यांग-मिल्स विद्युत सिद्धांत के SU(2)xU(1) और परिमाण क्रोमोडायनामिक के SU(3) के लिए भी सामान्य नहीं है। यह ग्रिबोव अस्पष्टता से ग्रस्त है और एक माप स्थिरीकरण व्यवरोध को परिभाषित करने में कठिनाई से है जोकि कुछ अर्थों में लांबिक है जोकि क्षेत्र विन्यास में शारीरिक रूप से महत्वपूर्ण परिवर्तनों के लिए है।

अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण स्वतंत्रता की माप परिवर्तन डिग्री के लिए क्रोनकर डेल्टा बाधा को अनुप्रयुक्त करने का प्रयास नहीं करते हैं। कॉन्फ़िगरेशन स्थान में एक विशेष बाधा सतह पर माप को ठीक करने के बजाय, लैग्रेंगियन घनत्व में जोड़ा गया एक अतिरिक्त, गैर-माप-इनवेरिएंट शब्द के साथ माप स्वतंत्रता को तोड़ सकता है। माप स्थिरीकरण की सफलताओं को पुन: उत्पन्न करने के लिए, इस शब्द को माप की पसंद के लिए न्यूनतम चुना गया है जो वांछित बाधा से मेल खाता है और बाधा सतह से माप के विचलन पर चौकोर रूप से निर्भर करता है। स्थिर चरण सन्निकटन द्वारा, जिस पर फेनमैन पथ अभिन्न आधारित है, बाधाकारी गणनाओं में प्रमुख योगदान बाधा सतह के पड़ोस में क्षेत्र विन्यास से आएगा।

कार्यात्मक परिमाणीकरण की विधि का उपयोग करते हुए, इस लैग्रैजियन से जुड़े परेशान विस्तार को सामान्यतः आर के रूप में जाना जाता है_ξ थाह लेना। यह एक एबेलियन यू (1) माप के मामले में फेनमैन नियमों के उसी समुच्चय को कम कर देता है जो कि विहित परिमाणीकरण की विधि में प्राप्त होता है। परन्तु एक महत्वपूर्ण अंतर है: टूटी हुई माप स्वतंत्रता कार्यात्मक अभिन्न में समग्र सामान्यीकरण में एक अतिरिक्त कारक के रूप में दिखाई देती है। इस कारक को केवल परेशान विस्तार (और अनदेखा) से बाहर निकाला जा सकता है जब स्वतंत्रता की माप डिग्री के साथ प्रक्षोभ के Lagrangian में योगदान विशेष भौतिक क्षेत्र विन्यास से स्वतंत्र है। यह वह स्थिति है जो गैर-एबेलियन माप समूहों के लिए धारण करने में विफल रहती है। यदि कोई समस्या को अनदेखा करता है और भोले-भाले कार्यात्मक परिमाणीकरण से प्राप्त फेनमैन नियमों का उपयोग करने का प्रयास करता है, तो वह पाता है कि किसी की गणना में अपरिवर्तनीय विसंगतियाँ हैं।

QCD में परेशान करने वाली गणनाओं की समस्या को फदीदेव-पोपोव घोस्ट के रूप में जाना जाने वाले अतिरिक्त क्षेत्रों को प्रारंभ करके हल किया गया था, जिसका योगदान गैर-एबेलियन माप क्षेत्र के भौतिक और अभौतिक प्रक्षोभ के युग्मन द्वारा प्रारंभ की गई विसंगति को माप-फिक्स्ड लैग्रेंगियन ऑफ़समुच्चय करता है। कार्यात्मक परिमाणीकरण परिप्रेक्ष्य से, क्षेत्र कॉन्फ़िगरेशन (माप ट्रांसफॉर्मेशन) के अभौतिक प्रक्षोभ सभी (अनंत) प्रक्षोभ के स्थान का एक उप-स्थान बनाते हैं; गैर-एबेलियन मामले में, बड़े स्थान में इस उप-स्थान का एम्बेडिंग उस विन्यास पर निर्भर करता है जिसके चारों ओर प्रक्षोभ होती है। Lagrangian में भूत शब्द जैकबियन मैट्रिक्स के कार्यात्मक निर्धारक और इस एम्बेडिंग के निर्धारक का प्रतिनिधित्व करता है, और शेष भौतिक पर कार्यात्मक माप (गणित) को सही करने के लिए भूत क्षेत्र के गुणों को निर्धारक पर वांछित प्रतिपादक द्वारा निर्धारित किया जाता है। प्रक्षोभ कुल्हाड़ियों।

ब्रेस्ट के लिए गणितीय दृष्टिकोण

बेस्ट कंस्ट्रक्शन तब अनुप्रयुक्त होता है जब किसी के पास कॉम्पैक्ट (सांस्थितिकी), जुड़ा हुआ (सांस्थितिकी) लाइ ग्रुप की हैमिल्टनी क्रिया होती है $G$ एक चरण स्थान पर $M$. होने देना ${\mathfrak {g}}$ का झूठ बीजगणित हो $G$ (झूठ समूह-झूठ बीजगणित पत्राचार के माध्यम से) और $0\in {\mathfrak {g}}^{*}$ (दोहरी सदिश समष्टि ${\mathfrak {g}})$ क्षण मानचित्र का एक नियमित मूल्य $\Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$. होने देना $M_{0}=\Phi ^{-1}(0)$. मान लीजिए $G$-कार्रवाई चालू $M_{0}$ स्वतंत्र और उचित है, और स्थान पर विचार करें ${\widetilde {M}}=M_{0}/G$ का $G$-कक्षाएं चालू हैं $M_{0}$, जिसे सहानुभूतिपूर्ण कमी कोशेंट के रूप में भी जाना जाता है ${\widetilde {M}}=M//G$.

सबसे पहले, परिभाषित कार्यों के नियमित अनुक्रम का उपयोग करना $M_{0}$ अंदर $M$, शर्ट्स कॉम्प्लेक्स का निर्माण करें

$\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).$

श्रृंखला जटिल # परिभाषाएँ, $\delta$, इस परिसर पर एक विषम है $C^{\infty }(M)$वर्गीकृत बीजगणित की रैखिक व्युत्पत्ति $C^{\infty }(M)$-बीजगणित $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$. इस विषम व्युत्पत्ति को लाइ बीजगणित समरूपता का विस्तार करके परिभाषित किया गया है ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ हैमिल्टनी कार्रवाई की। परिणामी कोज़ुल परिसर का कोज़ुल परिसर है $S({\mathfrak {g}})$-मापांक $C^{\infty }(M)$, कहाँ $S({\mathfrak {g}})$ का सममित बीजगणित है ${\mathfrak {g}}$, और मॉड्यूल संरचना एक अंगूठी समरूपता से आती है $S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)$ हैमिल्टनी कार्रवाई से प्रेरित ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$.

यह कोज़ुल परिसर का एक संकल्प है $S({\mathfrak {g}})$-मापांक $C^{\infty }(M_{0})$, वह है,

$H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}$

फिर, कोज़ुल कॉम्प्लेक्स के लिए शेवेलली-एलेनबर्ग कॉम्प्लेक्स पर विचार करें $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$ झूठ बीजगणित पर एक dg-module के रूप में माना जाता है ${\mathfrak {g}}$:

$K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).$

क्षैतिज अंतर $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ गुणांक पर परिभाषित किया गया है

$\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$

की क्रिया से ${\mathfrak {g}}$ और पर $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}$ ग्रुप एक्शन # राइट ग्रुप एक्शन-इनवेरिएंट डिफरेंशियल डिफरेंशियल प्रचालक डिफरेंशियल के ग्रुप एक्शन के बाहरी डेरिवेटिव के रूप में लाई ग्रुप पर $G$, जिसका झूठ बीजगणित है ${\mathfrak {g}}$.

बता दें कि Tot(K) एक ऐसा कॉम्प्लेक्स है

$\operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}$

एक अंतर डी = डी + δ के साथ। (टोट(के), डी) के कोहोलॉजी समूहों की गणना दोहरे परिसर से जुड़े वर्णक्रमीय अनुक्रम का उपयोग करके की जाती है $(K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )$.

वर्णक्रमीय अनुक्रम का पहला पद ऊर्ध्वाधर अंतर के कोहोलॉजी की गणना करता है $\delta$:

$E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})$, यदि j = 0 और शून्य अन्यथा।

वर्णक्रमीय अनुक्रम की पहली अवधि को लंबवत अंतर रूपों के परिसर के रूप में व्याख्या किया जा सकता है

$(\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })$

तन्तु पूलिका के लिए $M_{0}\to {\widetilde {M}}$.

वर्णक्रमीय अनुक्रम का दूसरा पद क्षैतिज अंतर के कोहोलॉजी की गणना करता है $d$ पर $E_{1}^{\bullet ,\bullet }$:

$E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})$, अगर $i=j=0$ और शून्य अन्यथा।

वर्णक्रमीय क्रम दूसरे कार्यकाल में ढह जाता है, इसलिए $E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}$, जो डिग्री शून्य में केंद्रित है।

इसलिए,

$H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})$, अगर पी = 0 और 0 अन्यथा।

बीआरएसटी प्रचालक और एसिम्प्टोटिक फॉक समष्टि

बीआरएसटी प्रचालक के बारे में दो महत्वपूर्ण टिप्पणियां देय हैं। सबसे पहले, माप समूह जी के साथ कार्य करने के बजाय केवल माप बीजगणित की क्रिया का उपयोग कर सकते हैं ${\mathfrak {g}}$ खेतों पर (चरण स्थान पर कार्य)।

दूसरा, किसी भी बीआरएसटी सटीक रूप एस की भिन्नता_Bएक्स एक स्थानीय माप परिवर्तन के संबंध में dλ है

$\left[i_{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X=i_{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)=s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right),$

जो स्वयं एक सटीक रूप है।

अधिक महत्वपूर्ण रूप से हैमिल्टनी पर्टुरेटिव औपचारिकता के लिए (जो तन्तु पूलिका पर नहीं बल्कि एक स्थानीय खंड पर किया जाता है), एक बीआरएसटी सटीक शब्द को एक माप इनवेरिएंट लग्रांजी घनत्व में जोड़कर संबंध एस को संरक्षित करता है।_BX = 0। जैसा कि हम देखेंगे, इसका तात्पर्य है कि एक संबंधित प्रचालक Q है_Bजिसके लिए राज्य स्थान पर $[Q_{B},{\mathcal {H}}]=0$-मैं। ई।, फॉक राज्यों पर बीआरएसटी प्रचालक हैमिल्टन प्रणाली का एक चार्ज संरक्षण है। इसका तात्पर्य यह है कि डायसन श्रृंखला की गणना में समय विकास प्रचालक एक क्षेत्र विन्यास का पालन नहीं करेगा $Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0$ बाद के कॉन्फ़िगरेशन में $Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0$ (या विपरीत)।

बीआरएसटी प्रचालक की शून्यता को देखने का एक अन्य तरीका यह कहना है कि इसकी छवि (गणित) (बीआरएसटी सटीक रूपों का स्थान) पूरी तरह से इसके कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत) (बीआरएसटी बंद अंतर रूप का स्थान) के भीतर है। (सच्चा Lagrangian, स्थानीय माप परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय माना जाता है, बीआरएसटी प्रचालक के कर्नेल में है, परन्तु इसकी छवि में नहीं है।) पूर्ववर्ती तर्क कहता है कि हम प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के अपने ब्रह्मांड को स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं तक सीमित कर सकते हैं - क्षेत्र विन्यास समय-समान अनन्तता पर, जहाँ अंतःक्रिया Lagrangian को बंद कर दिया जाता है - जो Q के कर्नेल में स्थित होता है_Bऔर अभी भी एकात्मक प्रकीर्णन मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं। (बीआरएसटी बंद और सटीक राज्यों को बीआरएसटी बंद और सटीक क्षेत्रों के समान परिभाषित किया गया है; बंद राज्यों को क्यू द्वारा विलोपित किया जाता है_B, जबकि सटीक अवस्थाएँ वे हैं जो Q अनुप्रयुक्त करके प्राप्त की जा सकती हैं_Bकुछ मनमाने क्षेत्र विन्यास के लिए।)

हम उन अवस्थाओं को भी दबा सकते हैं जो Q की छवि के अंदर हैं_Bजब हमारे सिद्धांत की स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं को परिभाषित करते हैं - परन्तु तर्क थोड़ा सूक्ष्म होता है। चूँकि हमने मान लिया है कि हमारे सिद्धांत का सच्चा लग्रांजी माप इनवेरिएंट है, हमारे हैमिल्टनी प्रणाली की सच्ची अवस्थाएँ स्थानीय माप परिवर्तन के तहत तुल्यता वर्ग हैं; दूसरे शब्दों में, हैमिल्टनी चित्र में दो प्रारंभिक या अंतिम अवस्थाएँ जो केवल एक बीआरएसटी सटीक स्थिति से भिन्न होती हैं, भौतिक रूप से समतुल्य होती हैं। हालांकि, बीआरएसटी सटीक माप ब्रेकिंग प्रिस्क्रिप्शन का उपयोग इस बात की गारंटी नहीं देता है कि अंतःक्रिया हैमिल्टन बंद क्षेत्र कॉन्फ़िगरेशन के किसी विशेष उप-स्थान को संरक्षित करेगा जिसे हम सटीक कॉन्फ़िगरेशन के स्थान पर ऑर्थोगोनल कह सकते हैं। (यह एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जिसे अक्सर क्यूएफटी पाठ्यपुस्तकों में गलत तरीके से संभाला जाता है। कार्रवाई सिद्धांत में निर्मित क्षेत्र कॉन्फ़िगरेशन पर कोई प्राथमिक आंतरिक उत्पाद नहीं है; हम अपने हैमिल्टनी परेशान तंत्र के भाग के रूप में इस तरह के एक आंतरिक उत्पाद का निर्माण करते हैं।)

इसलिए हम एक विशेष समय में बीआरएसटी बंद कॉन्फ़िगरेशन के सदिश समष्टि पर ध्यान केंद्रित करते हैं, इसे हैमिल्टनी प्रक्षोभ के लिए उपयुक्त मध्यवर्ती राज्यों के फॉक समष्टि में परिवर्तित करने के इरादे से। इसके लिए, हम इसे प्रत्येक क्षेत्र के ऊर्जा-संवेग eigenconfigurations (कणों) के लिए सीढ़ी प्रचालकों के साथ संपन्न करेंगे, जो उपयुक्त (एंटी-) कम्यूटेशन नियमों के साथ-साथ एक निश्चित निश्चित द्विरेखीय रूप|सकारात्मक अर्ध-निश्चित आंतरिक उत्पाद के साथ पूरा होगा। हमें आवश्यकता है कि आंतरिक उत्पाद गणितीय विलक्षणता विशेष रूप से उन दिशाओं के साथ हो जो बीआरएसटी के सटीक आइजनस्टेट्स के अनुरूप हों। यह सुनिश्चित करता है कि कोई स्वतंत्र रूप से चयन कर सकता है, स्पर्शोन्मुख क्षेत्र विन्यास के दो तुल्यता वर्गों के भीतर से (अखंड) मुक्त-क्षेत्र हैमिल्टन के विशेष प्रारंभिक और अंतिम eigenstates के अनुरूप, बीआरएसटी बंद फॉक राज्यों की कोई भी जोड़ी जो हमें पसंद है।

वांछित परिमाणीकरण निर्दिष्ट 'बीआरएसटी कोहोलॉजी' के लिए फॉक समष्टि आइसोमोर्फिक भी प्रदान करेंगे, जिसमें मध्यवर्ती राज्यों के प्रत्येक बीआरएसटी बंद समानता वर्ग (केवल एक सटीक राज्य से अलग) को एक राज्य द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें बीआरएसटी का कोई क्वांटा नहीं होता है सटीक क्षेत्र। यह वह फॉक समष्टि है जिसे हम सिद्धांत के स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं के लिए चाहते हैं; भले ही हम सामान्यतः विशेष अंतिम क्षेत्र कॉन्फ़िगरेशन को चुनने में सफल नहीं होंगे, जिसके लिए माप-फिक्स्ड लग्रांजी डायनेमिक्स उस प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन को विकसित करेगा, बीआरएसटी के साथ आंतरिक उत्पाद की विलक्षणता स्वतंत्रता की सटीक डिग्री सुनिश्चित करती है कि हमें इसके लिए सही प्रविष्टियाँ मिलेंगी भौतिक प्रकीर्णन मैट्रिक्स।

(दरअसल, हमें शायद बीआरएसटी-बंद इंटरमीडिएट फॉक राज्यों के लिए एक करें समष्टि का निर्माण करना चाहिए, जिसमें टाइम रिवर्सल प्रचालक लोरेंस-इनवेरिएंट और पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट अंदरूनी प्रोडक्ट ्स से संबंधित मौलिक समरूपता की भूमिका निभा रहा है। एसिम्प्टोटिक स्टेट समष्टि है। संभवतः हिल्बर्ट स्थान इस केरिन स्थान से बीआरएसटी सटीक राज्यों को उद्धृत करके प्राप्त किया गया है।)

संक्षेप में, बीआरएसटी माप स्थिरीकरण प्रक्रिया के भाग के रूप में प्रस्तुत किया गया कोई क्षेत्र माप-फिक्स्ड सिद्धांत के एसिम्प्टोटिक राज्यों में दिखाई नहीं देगा। हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हम इन गैर-भौतिक क्षेत्रों के बिना परेशान गणना के मध्यवर्ती राज्यों में कर सकते हैं! ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतःक्रियात्मक चित्र में अनुत्पादक गणनाएँ की जाती हैं। वे अप्रत्यक्ष रूप से गैर-बातचीत हैमिल्टन के प्रारंभिक और अंतिम राज्यों को सम्मिलित करते हैं ${\mathcal {H}}_{0}$, धीरे-धीरे बातचीत हैमिल्टनी (माप कपलिंग) को चालू करके एडियाबेटिक प्रमेय के अनुसार पूर्ण हैमिल्टन की अवस्थाओं में परिवर्तित हो गया। फेनमैन आरेखों के संदर्भ में डायसन श्रृंखला के विस्तार में ऐसे शिखर सम्मिलित होंगे जो भौतिक कणों (जो मुक्त हैमिल्टनी के स्पर्शोन्मुख राज्यों में प्रकट हो सकते हैं) से अभौतिक कणों (क्षेत्रों के राज्य जो कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत) के बाहर रहते हैं) में सम्मिलित होंगे।_Bया एस की छवि के अंदर_B) और शीर्ष जो अभौतिक कणों को एक दूसरे से जोड़ते हैं।

कुगो-ओजीमा एकात्मकता प्रश्नों का उत्तर

टी. कुगो और आई. ओजिमा को सामान्यतः प्रमुख क्यूसीडी रंग परिरोध कसौटी की खोज का श्रेय दिया जाता है। Lagrangian ढांचे में बीआरएसटी औपचारिकता का एक सही संस्करण प्राप्त करने में उनकी भूमिका की कम व्यापक रूप से सराहना की जाती है। बीआरएसटी परिवर्तन के उनके संस्करण का निरीक्षण करना ज्ञानवर्धक है, जो पूरी तरह से ज्यामितीय कोण से आगे बढ़ने से पहले नए प्रस्तुत किए गए क्षेत्रों के हर्मिटियन प्रचालक गुणों पर जोर देता है। माप तय Lagrangian घनत्व नीचे है; कोष्ठक में दो शब्द माप और भूत क्षेत्रों के मध्य युग्मन बनाते हैं, और अंतिम शब्द सहायक क्षेत्र बी पर कार्यात्मक माप के लिए गॉसियन भार बन जाता है।

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{\tfrac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\,\mu \nu }-(i(\partial ^{\mu }{\bar {c}}^{a})D_{\mu }^{ab}c^{b}+(\partial ^{\mu }B^{a})A_{\mu }^{a})+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}B^{a}B^{a}$

बीआरएसटी प्रक्रिया की औपचारिक आवश्यकताओं से परे एक ज्यामितीय अर्थ रखने में हमारे माप-फिक्स्ड सिद्धांत के नए क्षेत्रों में फदीव-पोपोव भूत क्षेत्र सी अद्वितीय है। यह मौरर-कार्टन फॉर्म ऑन का एक संस्करण है $V{\mathfrak {E}}$, जो प्रत्येक सही-अपरिवर्तनीय ऊर्ध्वाधर सदिश क्षेत्र से संबंधित है $\delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}$ इसके प्रतिनिधित्व के लिए (एक चरण तक) एक के रूप में ${\mathfrak {g}}$-मूल्यवान क्षेत्र। इस क्षेत्र को वस्तुओं पर अतिसूक्ष्म माप परिवर्तनों के सूत्रों में प्रवेश करना चाहिए (जैसे कि फ़र्मियन ψ, माप बोसोन ए_μ, और भूत सी स्वयं) जो माप समूह का एक गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व करते हैं। δλ के संबंध में बीआरएसटी परिवर्तन इसलिए है:

${\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=-\delta \lambda {\tfrac {g}{2}}[c,c]\\\delta {\bar {c}}&=i\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}$

यहां हमने मैटर क्षेत्रक ψ के विवरण को छोड़ दिया है और उस पर वार्ड प्रचालक के रूप को अनिर्दिष्ट छोड़ दिया है; ये तब तक महत्वहीन हैं जब तक पदार्थ क्षेत्रों पर माप बीजगणित का प्रतिनिधित्व उनके युग्मन के साथ δA के अनुरूप होता है_μ. हमारे द्वारा जोड़े गए अन्य क्षेत्रों के गुण ज्यामितीय के बजाय मौलिक रूप से विश्लेषणात्मक हैं। कनेक्शन के प्रति हमने जो पूर्वाग्रह प्रस्तुत किया है $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ माप पर निर्भर है और इसका कोई विशेष ज्यामितीय महत्व नहीं है। भूत विरोधी ${\bar {c}}$ माप स्थिरीकरण टर्म के लिए लैग्रेंज मल्टीप्लायर के अलावा और कुछ नहीं है, और स्केलर क्षेत्र बी के गुण पूरी तरह से रिश्ते से तय होते हैं $\delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B$. (नए क्षेत्र कूगो-ओजिमा सम्मेलनों में सभी हर्मिटियन हैं, परन्तु पैरामीटर δλ एक एंटी-हर्मिटियन एंटी-कम्यूटिंग सी-नंबर|सी-नंबर है। इसके परिणामस्वरूप चरणों के संबंध में कुछ अनावश्यक अजीबता होती है और प्रचालकों के माध्यम से इन्फिनिटिमल पैरामीटर पास होते हैं; इसे नीचे ज्यामितीय उपचार में परिपाटी में बदलाव के साथ हल किया जाएगा।)

हम पहले से ही जानते हैं, बीआरएसटी प्रचालक के संबंध से बाहरी डेरिवेटिव और फैडीव-पोपोव भूत से मौरर-कार्टन फॉर्म तक, कि भूत सी (एक चरण तक) से मेल खाता है ${\mathfrak {g}}$-वैल्यूड 1-फॉर्म ऑन $V{\mathfrak {E}}$. जैसे शब्द के एकीकरण के लिए $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$ सार्थक होने के लिए, भूत-विरोधी ${\bar {c}}$ इन दो झूठे बीजगणितों का प्रतिनिधित्व होना चाहिए - ऊर्ध्वाधर आदर्श $V{\mathfrak {E}}$ और माप बीजगणित ${\mathfrak {g}}$- भूत द्वारा उठाए गए लोगों के लिए। ज्यामितीय शब्दों में, ${\bar {c}}$ से तन्तुवाइज डुअल होना चाहिए ${\mathfrak {g}}$ और एक शीर्ष फॉर्म होने से एक रैंक कम $V{\mathfrak {E}}$. इसी तरह, सहायक क्षेत्र बी में का समान प्रतिनिधित्व होना चाहिए ${\mathfrak {g}}$ (एक चरण तक) के रूप में ${\bar {c}}$, साथ ही का प्रतिनिधित्व $V{\mathfrak {E}}$ ए पर इसके तुच्छ प्रतिनिधित्व के लिए दोहरी_μ-मैं। ई।, बी एक तन्तुवाइज है ${\mathfrak {g}}$-ड्युअल टॉप फॉर्म ऑन $V{\mathfrak {E}}$.

आइए हम सिद्धांत के एक-कण अवस्थाओं पर संक्षिप्त रूप से ध्यान केंद्रित करें, रूद्धोष्म रूप से विघटित सीमा g → 0 में। माप-फिक्स्ड हैमिल्टनी के फॉक समष्टि में दो प्रकार के क्वांटा हैं जिनकी हम पूरी तरह से कोर के बाहर होने की उम्मीद करते हैं। बीआरएसटी प्रचालक: फद्दीव-पोपोव भूत-विरोधी ${\bar {c}}$ और आगे ध्रुवीकृत माप बोसोन। ऐसा इसलिए है क्योंकि युक्त क्षेत्रों का कोई संयोजन नहीं है ${\bar {c}}$ स द्वारा नष्ट कर दिया जाता है_Bऔर हमने Lagrangian में एक माप ब्रेकिंग टर्म जोड़ा है जो डायवर्जेंस के समान है

$s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}s_{B}{\bar {c}}\right)\right).$

इसी तरह, दो प्रकार के क्वांटा हैं जो पूरी तरह से बीआरएसटी प्रचालक की छवि में निहित होंगे: वे फद्दीव-पोपोव घोस्ट सी और स्केलर क्षेत्र बी, जो पिछड़े ध्रुवीकृत बनने के लिए कार्यात्मक अभिन्न में वर्ग को पूरा करके खाया जाता है। माप बोसोन। ये चार प्रकार के अभौतिक क्वांटा हैं जो एक अनुत्पादक गणना की स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं में प्रकट नहीं होंगे - यदि हम अपने परिमाणीकरण नियमों को सही पाते हैं।

एंटी-घोस्ट को पोंकारे इनवेरिएंस की खातिर लोरेंस अदिश के रूप में लिया जाता है $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$. हालाँकि, इसका (एंटी-) कम्यूटेशन कानून c-i के सापेक्ष है। ई।, इसका परिमाणीकरण प्रिस्क्रिप्शन, जो स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय को एक स्पिन-0 कण को ​​फर्मी-डिराक आँकड़े देकर अनदेखा करता है - इस आवश्यकता के अनुसार दिया जाएगा कि हमारे स्पर्शोन्मुख राज्यों के फॉक स्थान पर आंतरिक उत्पाद गणितीय विलक्षणता के साथ-साथ दिशाएँ हों। गैर-बीआरएसटी-बंद और बीआरएसटी-सटीक क्षेत्रों के कुछ संयोजन के ऊपर उठाने और घटाने वाले प्रचालकों के लिए। यह अंतिम कथन केवल बीआरएसटी समरूपता या बीआरएसटी परिवर्तन के विपरीत बीआरएसटी परिमाणीकरण की कुंजी है।

(Needs to be completed in the language of बीआरएसटी cohomology, with reference to the Kugo–Ojima treatment of asymptotic Fock space.)

माप पूलिका और लंबवत आदर्श

बीआरएसटी विधि न्याय करने के लिए, हमें बीजगणित-मूल्यवान क्षेत्रों से मिन्कोव्स्की समष्टि चित्र पर परिमाण क्षेत्र सिद्धांत ग्रंथों (और उपरोक्त प्रदर्शनी) के तन्तु पूलिकाों की भाषा में स्विच करना होगा, जिसमें दो अलग-अलग तरीके हैं एक माप परिवर्तन को देखने के लिए: स्थानीय खंड के परिवर्तन के रूप में (सामान्य सापेक्षता में एक सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है) या मुख्य पूलिका के ऊर्ध्वाधर अंतर के साथ क्षेत्र विन्यास के पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के रूप में। यह बाद का माप परिवर्तन है जो बीआरएसटी पद्धति में प्रवेश करता है। एक निष्क्रिय परिवर्तन के विपरीत, यह विश्व स्तर पर एक प्रमुख पूलिका पर किसी भी संरचना समूह के साथ मनमाने ढंग से बहुविधअधिक परिभाषित है। (हालांकि, पारंपरिक क्यूएफटी के लिए संक्षिप्तता और प्रासंगिकता के लिए, यह आलेख 4-आयामी मिन्कोवस्की समष्टि पर कॉम्पैक्ट तन्तु के साथ प्रिंसिपल माप पूलिका के मामले में टिकेगा।)

4-बहुविधM पर एक प्रमुख माप पूलिका P स्थानीय रूप से U × F के लिए आइसोमॉर्फिक है, जहां U ⊂ 'R'⁴ और तन्तु F ​​एक लाइ समूह G के लिए आइसोमोर्फिक है, क्षेत्र सिद्धांत का माप समूह (यह बहुविधसंरचनाओं का एक समरूपता है, समूह संरचनाओं का नहीं; G में 1 के अनुरूप P में कोई विशेष सतह नहीं है , इसलिए यह कहना अधिक उचित है कि तन्तु F ​​एक G-torsor है)। इस प्रकार, (भौतिक) प्रिंसिपल माप पूलिका (गणितीय) प्रिंसिपल जी-पूलिका से संबंधित है परन्तु इसकी संरचना अधिक है। तन्तु पूलिका के रूप में इसकी सबसे बुनियादी संपत्ति आधार स्थान π : P → M का प्रक्षेपण है, जो P पर लंबवत दिशाओं को परिभाषित करता है (जो तन्तु π के भीतर हैं⁻¹(p) M में प्रत्येक बिंदु p पर)। माप पूलिका के रूप में इसमें P पर G की समूह क्रिया (गणित) होती है जो तन्तु संरचना का सम्मान करती है, और एक प्रमुख पूलिका के रूप में P पर G की समूह क्रिया (गणित) भी होती है जो तन्तु संरचना का भी सम्मान करती है और साथ चलती है वाम क्रिया।

P पर संरचना समूह G की बाईं क्रिया एक व्यक्तिगत तन्तु पर समन्वय प्रणाली के मात्र परिवर्तन से मेल खाती है। (वैश्विक) सही कार्रवाई आर_g: P → P G में एक निश्चित g के लिए प्रत्येक तन्तु के एक वास्तविक ऑटोमोर्फिज़्म से मेल खाता है और इसलिए P के मानचित्र से स्वयं के लिए। पी के लिए एक प्रमुख जी-पूलिका के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, जी में प्रत्येक जी की वैश्विक सही कार्रवाई जी-आई पर एक चिकनी निर्भरता के साथ पी की बहुविधसंरचना के संबंध में एक automorphism होना चाहिए। ई।, एक डिफियोमोर्फिज्म पी × × जी → पी।

संरचना समूह की वैश्विक सही कार्रवाई का अस्तित्व पी पर सही अपरिवर्तनीय ज्यामितीय वस्तुओं का एक विशेष वर्ग चुनता है- जो आर के साथ वापस खींचे जाने पर नहीं बदलते हैं।_gजी में जी के सभी मूल्यों के लिए। प्रिंसिपल पूलिका पर सबसे महत्वपूर्ण सही अपरिवर्तनीय वस्तुएं सही अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र हैं, जो एक आदर्श (समुच्चय सिद्धांत) बनाती हैं। ${\mathfrak {E}}$ पी पर इनफिनिटिमल डिफियोमोर्फिज्म के लाई बीजगणित का। पी पर वे सदिश क्षेत्र जो सही अपरिवर्तनीय और लंबवत रूप से एक आदर्श रूप हैं $V{\mathfrak {E}}$ का ${\mathfrak {E}}$, जिसका ले बीजगणित के समान पूरे पूलिका P से संबंध है ${\mathfrak {g}}$ माप समूह जी के व्यक्तिगत जी-टोरसर तन्तु एफ के लिए।

रुचि के क्षेत्र सिद्धांत को प्रमुख माप पूलिका पी पर परिभाषित क्षेत्रों के एक समुच्चय (विभिन्न सदिश रिक्त स्थान में चिकनी मानचित्र) के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। विभिन्न क्षेत्रों में माप समूह जी के विभिन्न प्रतिनिधित्व होते हैं, और शायद बहुविधके अन्य समरूपता समूह जैसे पोंकारे समूह। कोई इन क्षेत्रों और उनके डेरिवेटिव में स्थानीय बहुपदों के स्थान Pl को परिभाषित कर सकता है। यह माना जाता है कि किसी के सिद्धांत का मौलिक Lagrangian घनत्व उप-स्थान Pl में स्थित है₀ बहुपदों की संख्या जो किसी भी अखंड गैर-माप समरूपता समूहों के अंतर्गत वास्तविक-मूल्यवान और अपरिवर्तनीय हैं। यह न केवल बाईं कार्रवाई (निष्क्रिय समन्वय परिवर्तन) और माप समूह की वैश्विक सही कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय माना जाता है, बल्कि स्थानीय माप परिवर्तनों के तहत भी होता है - दाएं-अपरिवर्तनीय ऊर्ध्वाधर सदिश के मनमाने विकल्प के साथ जुड़े इनफिनिटिमल डिफियोमोर्फिज्म के साथ पुलबैक। मैदान $\epsilon \in V{\mathfrak {E}}$.

मैनिफोल्ड पी पर सदिश क्षेत्र्स के एक विशेष उप-स्थान के साथ स्थानीय माप परिवर्तनों की पहचान करना हमें अनंत-आयामी इनफिनिटिमल्स से निपटने के लिए एक बेहतर रूपरेखा से लैस करता है: अंतर ज्यामिति और बाहरी कैलकुलस। एक असीम ऑटोमोर्फिज्म के साथ पुलबैक के तहत एक स्केलर क्षेत्र में परिवर्तन लाइ डेरिवेटिव में कब्जा कर लिया गया है, और सदिश क्षेत्र के पैमाने में केवल रैखिक शब्द को बनाए रखने की धारणा को आंतरिक व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न में अलग करके कार्यान्वित किया जाता है। (इस संदर्भ में, रूपों और बाहरी कलन विशेष रूप से स्वतंत्रता की डिग्री को संदर्भित करते हैं जो माप पूलिका पर सदिश क्षेत्रों के लिए दोहरी हैं, बेस मैनिफोल्ड या (रोमन) मैट्रिक्स इंडेक्स पर (ग्रीक) टेन्सर इंडेक्स में व्यक्त की गई स्वतंत्रता की डिग्री के लिए नहीं। माप बीजगणित।)

बहुविधपर झूठ व्युत्पन्न एक विश्व स्तर पर अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेशन है, जो कि आंशिक डेरिवेटिव नहीं है। पी की गैर-तुच्छ बहुविधसंरचना के लिए क्लेराउट के प्रमेय का उचित सामान्यीकरण सदिश क्षेत्रों के लाइ ब्रैकेट और बाहरी व्युत्पन्न के शून्यता द्वारा दिया गया है। और हम संगणना के लिए एक आवश्यक उपकरण प्राप्त करते हैं: सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय, जो हमें भागों द्वारा एकीकृत करने और सतह की अवधि को छोड़ने की अनुमति देता है, जब तक कि एक खुली सीमा होती है, उस दिशा में इंटीग्रैंड तेजी से गिरता है। (यह एक तुच्छ धारणा नहीं है, परन्तु रेनॉर्मलाइज़ेशन तकनीकों से निपटा जा सकता है जैसे कि आयामी नियमितीकरण जब तक कि सतह की अवधि को माप इनवेरिएंट बनाया जा सकता है।)