त्रिभुज

This article is about the basic geometric shape. For other uses, see त्रिभुज (disambiguation).

Equilateral triangle
File:Regular polygon 3 annotated.svg A regular triangle
प्रकार	Regular polygon
किनारेs और कोने	3
स्लीपी सिंबल	{3}
कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख एस	File:CDel node 1.pngFile:CDel 3.pngFile:CDel node.png
समरूपता समूह	Dihedral (D3), order 2×3
आंतरिक कोण (डिग्री)	60°
गुण	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Triangle
File:Triangle illustration.svg A triangle
किनारेs और कोने	3
स्लीपी सिंबल	{3} (for equilateral)
क्षेत्र	various methods; see below
आंतरिक कोण (डिग्री)	60° (for equilateral)

File:Tri plus angle.png

त्रिभुज = त्रि (तीन) + कोण

त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन शीर्षों वाला एक बहुभुज है। यह ज्यामिति की मूल आकृतियों में से एक है। A, B, और C शीर्षों वाले त्रिभुज को $\triangle ABC$ दर्शाया गया है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, कोई भी तीन बिंदु, जब असंरेखित होते हैं, एक विशिष्ट त्रिभुज और साथ ही साथ, एक विशिष्ट तल (अर्थात एक द्वि-विमीय यूक्लिडियन स्थान) निर्धारित करते हैं। दूसरे शब्दों में, त्रिभुज केवल एक ही तल में समाहित होता है और प्रत्येक त्रिभुज किसी न किसी तल में समाहित है। यदि पूरी ज्यामिति केवल यूक्लिडियन तल है, तो केवल एक ही तल है और सभी त्रिभुज उसमें समाहित हैं, हालांकि, उच्च-विमीय यूक्लिडियन स्थानों में, यह अब सत्य नहीं है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुजों के बारे में है, और विशेष रूप से, यूक्लिडियन तल, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

त्रिभुज के प्रकार

File:Euler diagram of triangle types.svg

[त्रिभुजों के प्रकारों के यूलर आरेख, इस परिभाषा का उपयोग करते हुए कि आइसोसेल त्रिभुज में कम से कम 2 समान भुजा हैं (यानी, समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु हैं)।

त्रिभुजों को वर्गीकृत करने के लिए यह शब्दावली दो हजार साल से अधिक पुरानी है, जिसे यूक्लिड के अवयवों के पहले पृष्ठ पर परिभाषित किया गया है। आधुनिक वर्गीकरण के लिए उपयोग किए जाने वाले नाम या तो यूक्लिड के ग्रीक या उनके लैटिन अनुवादों का प्रत्यक्ष लिप्यंतरण हैं।

भुजाओं की लंबाई के द्वारा

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने भुजाओं की लंबाई के अनुसार तीन प्रकार के त्रिभुजों को परिभाषित किया:

Greek: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, lit. 'Of trilateral figures, an isopleuron [equilateral] triangle is that which has its three sides equal, an isosceles that which has two of its sides alone equal, and a scalene that which has its three sides unequal.'

• समबाहु त्रिभुज (Greek: ἰσόπλευρον, romanized: isópleuron, lit. 'equal sides') में समान लंबाई की तीन भुजाएँ होती हैं। समबाहु त्रिभुज भी एक सम बहुभुज होता है, जिसके सभी कोण 60° के होते हैं।
• समद्विबाहु त्रिभुज (Greek: ἰσοσκελὲς, romanized: isoskelés, lit. 'equal legs') की दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण होते हैं, अर्थात् समान लंबाई की दो भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं। यह तथ्य समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय की अंतर्वस्तु है, जिसे यूक्लिड द्वारा जाना जाता था। कुछ गणितज्ञ समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य समद्विबाहु त्रिभुज को कम से कम दो बराबर भुजाओं वाले एक त्रिभुज के रूप में परिभाषित करते हैं। बाद की परिभाषा सभी समबाहु त्रिभुजों को समद्विबाहु त्रिभुज बनाती है। 45-45-90 समकोण त्रिभुज, जो चतुष्ट वर्गाकार टाइलिंग में दिखाई देता है, समद्विबाहु होते है।
• विषमबाहु त्रिभुज (Greek: σκαληνὸν, romanized: skalinón, lit. 'unequal') की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं। समान रूप से, इसमें सभी कोण विभिन्न माप के होते हैं।

<gallery> Triangle.Equilateral.svg|समबाहु त्रिभुज Triangle.Isosceles.svg|समद्विबाहु त्रिभुज Triangle.Scalene.svg|विषमबाहु त्रिभुज

हैच मार्क्स, जिन्हें टिक मार्क भी कहा जाता है, समान लंबाई की भुजाओं की पहचान करने के लिए त्रिभुजों और अन्य ज्यामितीय आकृतियों के आरेखों में उपयोग किए जाते हैं। एक भुजा को "टिक" के पैटर्न के साथ चिह्नित किया जा सकता है, टैली मार्क्स के रूप में लघु रेखाखंड, दो भुजाओं की लंबाई समान होती है यदि वे दोनों एक ही पैटर्न के साथ चिह्नित होते हैं। त्रिभुज में, पैटर्न सामान्यतः 3 टिक से अधिक नहीं होता है। समबाहु त्रिभुज में सभी 3 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज में केवल 2 भुजाओं पर समान पैटर्न होता है, और विषमकोण त्रिभुज में सभी भुजाओं पर अलग-अलग पैटर्न होते हैं क्योंकि कोई भी भुजा समान नहीं होती है।

इसी तरह, कोणों के अंदर 1, 2, या 3 संकेंद्रित चापों के पैटर्न का उपयोग समान कोणों को इंगित करने के लिए किया जाता है: समबाहु त्रिभुज के सभी 3 कोणों पर समान पैटर्न होता है, समद्विबाहु त्रिभुज के केवल 2 कोणों पर समान पैटर्न होता है, और विषमबाहु त्रिभुज के सभी कोणों पर अलग-अलग पैटर्न होता हैं, क्योंकि कोई भी कोण समान नहीं है।

आंतरिक कोणों द्वारा

File:Euclid3a.gif

उन्होंने दुनिया के पहले मुद्रित संस्करण (1482) से, बुक I की परिभाषा अनुभाग दिखाते हुए, यूक्लिड के तत्वों का पहला पृष्ठ, सही त्रिभुज को ऑर्थोगोनियस लेबल किया है, और दिखाए गए दो कोण एक्यूटस और एंगुलस ऑटसस हैं।

त्रिभुजों को उनके आंतरिक कोणों के अनुसार भी वर्गीकृत किया जा सकता है, यह डिग्री(अंश) में मापा जाता है।

• समकोण त्रिभुज का एक आंतरिक कोण 90° (समकोण) होता है। समकोण में सम्मुख भुजा कर्ण होती है, जो त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है। अन्य दो भुजाओं को त्रिभुज के पाद या कैथेटी (एकवचन: कैथेट) कहा जाता है। समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करते हैं: दो पाद की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है: a² + b² = c², जहां a और b पाद की लंबाई हैं और c है कर्ण की लंबाई। विशेष समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है जिसमें कुछ नियमित विशेषताएँ होती हैं जो त्रिभुज पर गणना को आसान बनाती हैं। दो सबसे प्रसिद्ध में से एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज है, जहाँ 3² + 4² = 5²। 3-4-5 त्रिभुज को मिस्र के त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है। इस स्थिति में, 3, 4, और 5 एक पाइथागोरस त्रिक हैं। दूसरा एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें 45° (45-45-90 त्रिभुज) माप के 2 कोण होते हैं।
  • वे त्रिभुज जिनमें 90° का कोण नहीं होता, तिरछे त्रिभुज कहलाते हैं।
• त्रिभुज जिसमें सभी आंतरिक कोण 90° से कम होता हैं, न्यूनकोण त्रिभुज कहलाते है। यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो a² + b² > c², जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।
• त्रिभुज जिसका एक आंतरिक कोण 90° से अधिक होता है, अधिक कोण त्रिभुज कहलाते है। यदि c सबसे लंबी भुजा की लंबाई है, तो a² + b² < c², जहां a और b अन्य भुजाओं की लंबाई हैं।
• 180° (और समरेखीय शीर्षों) के आंतरिक कोण वाला त्रिभुज पतित होता है। समकोण त्रिभुज में संरेखीय शीर्ष होते हैं, जिनमें से दो संपाती हैं।

त्रिभुज जिसमें समान माप के दो कोण होते हैं, उसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती है, अतः ऐसे त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज कहलाते है। इसी प्रकार किसी त्रिभुज की तीनो भुजाएँ सामान हो तो ऐसा त्रिभुज समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

Right triangle	Obtuse triangle	Acute triangle
सम	अधिक	न्यून
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	तिरछे त्रिभुज

मूल तथ्य

File:Remint3.svg

त्रिभुज, बाहरी कोण दिखा रहा है d।

त्रिभुजों को द्वि-विमीय समतल आकृतियाँ माना जाता है, जब तक कि संदर्भ अन्यथा प्रदान न करे (नीचे असमतलीय त्रिभुज देखें)। परिशुद्ध निरूपण में, त्रिभुज को 2-सिम्प्लेक्स कहा जाता है (पॉलीटोप भी देखें)। यूक्लिड द्वारा त्रिभुजों के बारे में प्राथमिक तथ्य प्रस्तुत किए गए थे, जो कि उनके तत्वों की 1-4 पुस्तकों में, लगभग 300 ईसा पूर्व लिखी गई थी।

यूक्लिडियन क्षेत्र में त्रिभुज के आंतरिक कोणों के माप का योग हमेशा 180° (डिग्री) होता है।<रेफ नाम =: 2 /> यह तथ्य यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा के समतुल्य है। यह किसी भी त्रिभुज के तीसरे कोण के माप का निर्धारण करने की अनुमति देता है, दो कोणों का माप दिया जाता है। किसी त्रिभुज का बहिष्कोण एक ऐसा कोण होता है जो आंतरिक कोण का एक रैखिक युग्म (और इसलिए पूरक) होता है। किसी त्रिभुज के बहिष्कोण की माप उन दो आंतरिक कोणों की मापों के योग के बराबर होता है जो उसके निकट नहीं हैं, यह बाह्य कोण प्रमेय है। किसी भी त्रिभुज के तीन बहिष्कोणों (प्रत्येक शीर्ष के लिए एक) के मापों का योग 360° (डिग्री) होता है।

File:Triangle sommeangles.svg

वह त्रिभुज के आंतरिक कोणों के उपाय हमेशा 180° तक जोड़ते हैं (एक ही रंग को इंगित करने के लिए वे समान हैं)।

समरूपता और सर्वांगसमता

दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं, यदि त्रिभुज के प्रत्येक कोण का माप दूसरे त्रिभुज के संगत कोण के बराबर हो। समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं की लंबाई समान अनुपात में होती है और यह गुण समरूपता स्थापित करने के लिए भी पर्याप्त होता है।

समरूप त्रिभुजों के बारे में कुछ मूल प्रमेय हैं:

• यदि और केवल यदि दो त्रिभुजों के आंतरिक कोणों के एक युग्म की माप एक दूसरे के समान है, और दूसरे युग्म की माप भी एक दूसरे के समान है, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
• यदि और केवल यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं का एक युग्म संगत भुजाओं के अन्य युग्म के समानुपात में हों और उनके सम्मिलित कोणों की माप समान हो, तो त्रिभुज समरूप होते हैं। (बहुभुज की किन्हीं दो भुजाओं का सम्मिलित कोण उन दोनों भुजाओं के बीच का आंतरिक कोण होता है।)
• यदि और केवल यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं के तीन युग्म एक ही अनुपात में हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

दो सर्वांगसम त्रिभुज की माप और आकार बिल्कुल समान होते है: संगत आंतरिक कोणों के सभी युग्म माप में समान होते हैं, और संगत भुजाओं के सभी जोड़े की लंबाई समान होती है। (यह कुल छह समानताएं हैं, लेकिन तीन अक्सर सर्वांगसमता साबित करने के लिए पर्याप्त होती हैं।)

त्रिभुजों के एक युग्म के सर्वांगसम होने के लिए कुछ व्यक्तिगत रूप से आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं:

• SAS अभिधारणा: त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समान होती है, और सम्मिलित कोणों की माप समान होती है।
• ASA: त्रिभुज में दो आंतरिक कोणों और शामिल भुजाओं की माप और लंबाई क्रमशः अन्य त्रिभुज के समान होती है। (कोणों के एक युग्म के लिए सम्मिलित भुजा वह भुजा है जो उनके लिए उभयनिष्ठ है।)
• SSS: त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा के समान होती है।
• AAS: त्रिभुज में दो कोणों और एक संगत (गैर-शामिल) भुजा की माप और लंबाई क्रमशः दूसरे त्रिभुज की माप और लंबाई के बराबर होती है। (इसे कभी-कभी AAcorrS कहा जाता है और फिर इसमें ऊपर ASA शामिल होता है।)

कुछ व्यक्तिगत रूप से पर्याप्त स्थितियां हैं:

• कर्ण-पाद (HL) प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक पाद की लंबाई दूसरे समकोण त्रिभुज के समान होती है। इसे RHS (समकोण, कर्ण, भुजा) भी कहते हैं।
• कर्ण-कोण प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक न्यून कोण की लंबाई और माप क्रमशः दूसरे समकोण त्रिभुज की लंबाई और माप के समान होते हैं। यह AAS प्रमेय की सिर्फ एक विशेष स्थिति है।

एक महत्वपूर्ण स्थिति है:

• भुजा-भुजा-कोण (या कोण-भुजा-भुजा) स्थिति: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं और एक संगत गैर-शामिल कोण की लंबाई और माप क्रमशः दूसरे त्रिभुज के समान हों, तो यह सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए पर्याप्त नहीं है। लेकिन यदि दिया गया कोण दो भुजाओं की लंबी भुजा के सम्मुख हो, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। कर्ण-पाद प्रमेय इस मानदंड की एक विशेष स्थिति है। भुजा-भुजा-कोण की स्थिति अपने आप में निश्चित नहीं होती है कि त्रिभुज सर्वांगसम हैं क्योंकि त्रिभुज अधिक कोण वाला और दूसरा न्यूनकोण हो सकता है।

समकोण त्रिभुजों और समानता की अवधारणा का उपयोग करते हुए, ज्या और कोज्या के त्रिकोणमितीय फलन को परिभाषित किया जा सकता है। ये कोण के फलन होते हैं जिनकी जाँच त्रिकोणमिती में की जाती है।

समकोण त्रिभुज

File:Pythagorean.svg

वह पाइथागोरियन प्रमेय

केंद्रीय प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है, जो किसी भी समकोण त्रिभुज में कहता है, कर्ण की लंबाई का वर्ग दो अन्य भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि कर्ण की लंबाई c है, और पाद की लंबाई a और b है, तो प्रमेय के अनुसार

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

विलोम सत्य है: यदि किसी त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करती हैं, तो त्रिभुज का विपरीत भुजा c है।

समकोण त्रिभुज के बारे में कुछ अन्य तथ्य:

• समकोण त्रिभुज के न्यून कोण पूरक होते हैं।

$a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.$

• यदि किसी समकोण त्रिभुज की पाद की लंबाई समान है, तो उन पाद के सम्मुख कोणों का माप समान होगा। चूंकि ये कोण पूरक हैं, इसलिए यह इस प्रकार है कि प्रत्येक कोण 45° मापता है। पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, कर्ण की लंबाई एक पाद की लंबाई √2 है।
• 30 और 60° के न्यून कोणों वाले समकोण त्रिभुज में, कर्ण छोटी भुजा की लंबाई का दोगुना है, और लंबी भुजा छोटी भुजा की लंबाई √3 के बराबर होती है:

$c=2a\,$

$b=a\times {\sqrt {3}}.$

सभी त्रिभुजों के लिए, कोण और भुजाएँ कोज्या के नियम और ज्या के नियम (जिन्हें कोज्या नियम और ज्या नियम भी कहा जाता है) द्वारा संबंधित हैं।

त्रिभुज का अस्तित्व

भुजाओं पर स्थिति

त्रिभुज असमिका बताती है कि किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। यह योग केवल एक पतित त्रिभुज के मामले में तीसरी भुजा की लंबाई के बराबर हो सकता है, एक समरेखीय शीर्षों के साथ। उस योग का तीसरी भुजा की लम्बाई से कम होना संभव नहीं है। तीन दी गई धनात्मक भुजाओं वाला एक त्रिभुज मौजूद होता है यदि और केवल यदि वे भुजाएँ त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करती हैं।

कोणों पर स्थितियां

तीन दिए गए कोण एक अनपभ्रष्ट त्रिभुज (और वास्तव में उनमें से एक अनंत) बनाते हैं यदि और केवल यदि ये दोनों स्थितियां: (a) प्रत्येक कोण धनात्मक है, और (b) कोण 180° के बराबर हैं। यदि पतित त्रिभुजों की अनुमति है, तो 0° के कोणों की अनुमति है।

त्रिकोणमितीय स्थिति

तीन धनात्मक कोण α, β, और γ, जिनमें से प्रत्येक 180° से कम है, त्रिभुज के कोण होते हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त रखता हो:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$
${\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}+{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}+2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}\sin <!--\; \; -->$