फ्लक्स

सदिश क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ F इकाई वेक्टर सामान्य के साथ सतहों के माध्यम से n, से कोण n को F है θ. फ्लक्स इस बात का माप है कि किसी दिए गए सतह से कितना क्षेत्र गुजरता है। F लम्बवत (⊥) और समांतर घटकों में विघटित हो जाता है ( ‖ ) को n. केवल समानांतर घटक फ्लक्स में योगदान देता है क्योंकि यह एक बिंदु पर सतह से गुजरने वाले क्षेत्र की अधिकतम सीमा है, लंबवत घटक योगदान नहीं करता है।
शीर्ष: एक समतल सतह से होकर तीन क्षेत्र रेखाएँ, एक सतह से सामान्य, एक समानांतर, और एक मध्यवर्ती।
नीचे: एक घुमावदार सतह के माध्यम से फ़ील्ड लाइन, फ्लक्स की गणना करने के लिए इकाई सामान्य और सतह तत्व का सेटअप दिखाती है।

File:Surface integral - definition.svg

सतह S के माध्यम से एक सदिश क्षेत्र F (लाल तीर) के फ्लक्स की गणना करने के लिए सतह को छोटे खण्डों dS में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक खण्ड के माध्यम से फ्लक्स क्षेत्र के सामान्य (लंबवत) घटक के समान होता है, एककअभिलंब वेक्टर n(x) (नीला तीर) के साथ F(x) का अदिश गुणनफल बिंदु x पर क्षेत्र dS से गुणा होता है। सतह पर प्रत्येक खण्ड के लिए F • n, dS का योग सतह के माध्यम से फ्लक्स होता है।

फ्लक्स किसी भी प्रभाव का वर्णन करता है जो किसी सतह या पदार्थ के माध्यम से पारण या संचारण करता है (यधपि वह वास्तव में चलता है या नहीं)। अभिवाह व्यावहारिक गणित और सदिश कलन की एक अवधारणा है जिसमें भौतिकी के अनेक अनुप्रयोग हैं। परिवहन परिघटना के लिए फ्लक्स एक सदिश मात्रा है, जो किसी पदार्थ या गुणधर्म के प्रवाह की परिमाण और दिशा का वर्णन करता है। सदिश कलन में अभिवाह एक अदिश (भौतिकी) राशि है, जिसे किसी सतह पर सदिश क्षेत्र के लम्बवत् घटक के पृष्ठीय समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है।

शब्दावली

फ्लक्स शब्द की उत्पत्ति लैटिन से हुई है: जिसमे फ्लक्सस का अर्थ "प्रवाह" तथा फ्लूरे का अर्थ "प्रवाहित होना" है।फ्लक्सियन के रूप में इस शब्द को आइजैक न्यूटन द्वारा अवकलन गणित (डिफरेंशियल कैलकुलस) में प्रस्तुत किया गया था।

ऊष्मा स्थानान्तरण परिघटना के विश्लेषण में ऊष्मा प्रवाह की अवधारणा जोसेफ फूरियर का एक महत्वपूर्ण योगदान था।उनका मौलिक ग्रंथ द एनालिटिकल थ्योरी ऑफ़ हीट,फ्लक्सियन को एक केंद्रीय मात्रा के रूप में और एक खंड में तापांतर के संदर्भ में फ्लक्स के वर्तमान प्रसिद्ध भावों को प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ता है और सामान्यतः अन्य ज्यामितीयों में तापमान प्रवणता या तापांतर के संदर्भ में परिभाषित करता है। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के कार्य के आधार पर कोई प्रमाणित कर सकता है,कि विद्युत् चुंबकत्व में प्रयुक्त परिवहन की परिभाषा, फ्लक्स की परिभाषा से पहले है। मैक्सवेल का विशिष्ट उद्धरण है:

फ्लक्स के स्थिति में, हमें सतह के प्रत्येक तत्व के माध्यम से फ्लक्स की सतह पर, समाकल लेना होगा। इस परिचालन के परिणाम को फ्लक्स का पृष्ठ समाकल कहा जाता है। यह सतह के माध्यम से होकर जाने वाली मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है।

— जेम्स क्लर्क मैक्सवेल

परिवहन परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एक एकल सदिश या एक सदिश क्षेत्र/स्थिति का कार्य हो सकता है। तत्पश्चात फ्लक्स सरलता से एक सतह पर एकीकृत किया जा सकता है। इसके विपरीत, विद्युत चुंबकत्व की परिभाषा के अनुसार फ्लक्स एक सतह पर समाकल हैं; द्वितीय फ्लक्स की परिभाषा को समाहित करना निरर्थक है क्योंकि यह एक सतह पर दो बार एकीकरण होगा। इस प्रकार, मैक्सवेल का उद्धरण केवल तभी उचित होता है जब परिवहन परिभाषा के अनुसार "फ्लक्स" का उपयोग किया जा रहा हो (और इसके अतिरिक्त एकल सदिश के स्थान पर सदिश क्षेत्र है)। यह विडंबना है क्योंकि  इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म की परिभाषा के अनुसार जिसे हम अब "विद्युत् फ्लक्स" और "चुंबकीय फ्लक्स" कहते हैं, मैक्सवेल के प्रमुख विकासक में से एक थे। उद्धरण (और परिवहन परिभाषा) के अनुसार उनके नाम "विद्युत फ्लक्स की सतह समाकल" और "चुंबकीय फ्लक्स की सतह समाकल" होंगे, जिस स्थिति में "विद्युत फ्लक्स" को "विद्युत क्षेत्र" और "चुंबकीय फ्लक्स" को" चुंबकीय क्षेत्र" के रूप में परिभाषित किया जाएगा। इसका अर्थ यह है कि मैक्सवेल ने अनुमान लगाया कि ये क्षेत्र किसी प्रकार का प्रवाह/फ्लक्स हैं।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म परिभाषा के अनुसार फ्लक्स को देखते हुए, संबंधित फ्लक्स घनत्व, यदि उस शब्द का उपयोग किया जाता है, तो समाकलित सतह के साथ इसके व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार , संबंधित फ्लक्स घनत्व परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स है। विद्युत प्रवाह जैसे विद्युत को देखते हुए - आवेश प्रति समय, विद्युत घनत्व भी परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स होगा -आवेश प्रति समय प्रति क्षेत्र। फ्लक्स की परस्पर विरोधी परिभाषाओं और फ्लक्स, प्रवाह और विद्युत की विनिमेयता के कारण गैर-तकनीकी अंग्रेजी में, इस अनुच्छेद में प्रयुक्त सभी शब्द कभी-कभी परस्पर विनिमय और अस्पष्ट रूप से उपयोग किए जाते हैं। इस लेख के शेष अंशों में निश्चित फ्लक्स का उपयोग साहित्य में उनकी व्यापक स्वीकृति के अनुसार किया जाएगा, फ्लक्स की परिभाषा के उपेक्षा जिससे शब्द तदनुरूपी हो।

प्रति इकाई क्षेत्र प्रवाह दर के रूप में फ्लक्स

परिवहन परिघटना( ऊष्मा अंतरण, द्रव्यमान अंतरण और तरलगतिकी) में, फ्लक्स को प्रति इकाई क्षेत्र में गुणधर्म के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका आयाम [मात्रा]·[समय]⁻¹·[क्षेत्र]^-1 होता है। यह क्षेत्र उस सतह का है जिसके माध्यम से या उसके आर-पार संपत्ति प्रवाहित हो रही है। उदाहरण के लिए, पानी की वह मात्रा जो प्रति सेकंड किसी नदी के एक अनुप्रस्थ काट से होकर प्रवाहित होती है, को उस अनुप्रस्थ काट के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, या सूर्य के प्रकाश की ऊर्जा की वह मात्रा जो प्रति सेकंड स्थल खंड पर आती है, जिसे स्थल खंड के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, फ्लक्स के प्रकार हैं।

सामान्य गणितीय परिभाषा (परिवहन)

जटिलता के बढ़ते क्रम में यहां 3 परिभाषाएं दी गई हैं। प्रत्येक निम्नलिखित की एक विशेष स्थिति है। सभी स्थितियों में अधिकतर प्रतीक j, (या J) प्रवाह के लिए तथा भौतिक मात्रा के लिए q प्रवाहित होता है, एवं समय के लिए t, और क्षेत्र के लिए A का उपयोग किया जाता है। ये परिज्ञापक मोटे अक्षरों में केवल तभी लिखे जाएंगे जब वे सदिश हों।

सर्वप्रथम, (एकल) अदिश के रूप में फ्लक्स:

$$j={\frac {I}{A}},$$

जहां

$$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}.$$

इस स्थिति में जिस सतह पर फ्लक्स को मापा जा रहा है वह स्थिर है और उसका क्षेत्रफल A है। सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को सर्वत्र स्थिति और सतह के लंबवत के सन्दर्भ में स्थिर माना जाता है।

द्वितीय, एक सतह के साथ परिभाषित एक अदिश क्षेत्र के रूप में फ्लक्स, अर्थात सतह पर बिंदुओं का कलन:

$$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$

$$I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).$$

पूर्ववत, सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को सर्वत्र लंबवत माना जाता है। यद्यपि प्रवाह को स्थिर नहीं होना चाहिए। q अब 'p' का एक कलन है, जो सतह पर एक बिंदु है और A एक क्षेत्र है। सतह के माध्यम से कुल प्रवाह को मापने के स्थान पर, q सतह के साथ p पर केंद्रित क्षेत्र A के साथ डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है।

अंत में, सदिश क्षेत्र के रूप में फ्लक्स:

$$\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$

$$\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).$$

इस स्थिति में, कोई निश्चित सतह नहीं है जिसे हम माप रहे हैं। q एक बिंदु, एक क्षेत्र और एक दिशा का एक कलन है (मात्रक सदिश $\mathbf {\hat {n}}$ द्वारा दिया गया),और उस मात्रक सदिश के लंबवत क्षेत्र A की डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है। I को मात्रक सदिश चुनने के लिए परिभाषित किया गया है जो बिंदु के ओर प्रवाह को अधिकतम करता है, क्योंकि वास्तविक प्रवाह उस डिस्क पर अधिकतम होता है जो इसके लंबवत है। मात्रक सदिश इस प्रकार विशिष्ट रूप से कलन को अधिकतम करता है जब यह प्रवाह की "सही दिशा" में इंगित करता है। (यथार्थ रूप से, यह अंकन का दुरुपयोग है क्योंकि "आर्ग मैक्स" सीधे सदिश की तुलना नहीं कर सकता है; हम सदिश को इसके स्थान पर सबसे बड़े मानदंड के साथ लेते हैं।)

गुणधर्म

ये प्रत्यक्ष परिभाषाएँ, विशेष रूप से अंतिम, दुष्कर हैं। उदाहरण के लिए, आर्ग मैक्स संरचना अनुभवजन्य माप के दृष्टिकोण से कृत्रिम है, जब एक वात दिग्दर्शक या इसी तरह के एक के साथ एक बिंदु पर फ्लक्स की दिशा को सरलता से कम कर सकते हैं। सदिश फ्लक्स को सीधे परिभाषित करने के स्थान पर, इसके विषय में कुछ गुणों को बताना प्रायः अधिक सहज होता है। इसके अतिरिक्त, इन गुणों से फ्लक्स को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

यदि फ्लक्स j क्षेत्र से सामान्य क्षेत्र $\mathbf {\hat {n}}$ से θ कोण से होकर जाता है, तो बिंदु गुणनफल

$$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta .$$

अर्थात्, सतह से होकर जाने वाले फ्लक्स का घटक (अर्थात इसके समान) j cos θ, जबकि क्षेत्र में स्पर्शरेखा से पारित होने वाले फ्लक्स का घटक j sin θ है किन्तु वास्तव में स्पर्शरेखा के दिशा में क्षेत्र से होकर जाने वाला कोई फ्लक्स नहीं है। क्षेत्र के सामान्य होकर जाने वाला फ्लक्स का एकमात्र घटक कोसाइन घटक है।

सदिश फ्लक्स के लिए, सतह (गणित) S पर 'j' का सतह समाकल, सतह के माध्यम से समय की प्रति इकाई उचित प्रवाह देता है:

$${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} ,$$

जहाँ A (और इसका अतिसूक्ष्म) सदिश क्षेत्र है – संयोजन $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$ क्षेत्र A के परिमाण जिसके माध्यम से गुणधर्म पारित होती है और मात्रक सदिश $\mathbf {\hat {n}}$ क्षेत्र के लिए सामान्य..समीकरणों के दूसरे समुच्चय के विपरीत, यहाँ सतह समतल होने की आवश्यकता नहीं है।

अंत में, हम समय अवधि t₁ से t₂ तक पुनः समाकलित कर सकते हैं, उसी समय (t₂ − t₁) में सतह के माध्यम से प्रवाहित गुणधर्म की कुल राशि प्राप्त कर सकते हैं :

$$q={\int <!--\; \int \; -->}_{t_1}^{t_2}{\iint <!--\; \iint \; -->}_S$$