त्रिभुज

This article is about the basic geometric shape. For other uses, see त्रिभुज (disambiguation).

Equilateral triangle
File:Regular polygon 3 annotated.svg A regular triangle
प्रकार	Regular polygon
किनारेs और कोने	3
स्लीपी सिंबल	{3}
कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख एस	File:CDel node 1.pngFile:CDel 3.pngFile:CDel node.png
समरूपता समूह	Dihedral (D3), order 2×3
आंतरिक कोण (डिग्री)	60°
गुण	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Triangle
File:Triangle illustration.svg A triangle
किनारेs और कोने	3
स्लीपी सिंबल	{3} (for equilateral)
क्षेत्र	various methods; see below
आंतरिक कोण (डिग्री)	60° (for equilateral)

File:Tri plus angle.png

त्रिभुज = त्रि (तीन) + कोण

त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन शीर्षों वाला एक बहुभुज है। यह ज्यामिति में मूल आकृतियों में से एक है। A, B, और C शीर्षों वाले त्रिभुज को $\triangle ABC$ दर्शाया गया है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, कोई भी तीन बिंदु, जब असंरेखित होते हैं, एक विशिष्ट त्रिभुज और साथ ही साथ, एक विशिष्ट तल (अर्थात एक द्वि-विमीय यूक्लिडियन स्थान) निर्धारित करते हैं। दूसरे शब्दों में, केवल एक ही तल है जिसमें वह त्रिभुज समाहित है, और प्रत्येक त्रिभुज किसी न किसी तल में समाहित है। यदि पूरी ज्यामिति केवल यूक्लिडियन तल है, तो केवल एक ही तल है और सभी त्रिभुज उसमें समाहित हैं; हालांकि, उच्च-विमीय यूक्लिडियन स्थानों में, यह अब सत्य नहीं है। यह लेख यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुजों के बारे में है, और विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

त्रिभुज के प्रकार

File:Euler diagram of triangle types.svg

[त्रिभुजों के प्रकारों के यूलर आरेख, इस परिभाषा का उपयोग करते हुए कि आइसोसेल त्रिकोण में कम से कम 2 समान पक्ष हैं (यानी, समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु हैं)।

त्रिकोणों को वर्गीकृत करने के लिए शब्दावली दो हजार साल से अधिक पुरानी है, जिसे यूक्लिड के तत्वों के पहले पृष्ठ पर परिभाषित किया गया है।आधुनिक वर्गीकरण के लिए उपयोग किए जाने वाले नाम या तो यूक्लिड के ग्रीक या उनके लैटिन अनुवादों का प्रत्यक्ष अनुवाद हैं।

पक्षों की लंबाई से

प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने पक्षों की लंबाई के अनुसार तीन प्रकार के त्रिभुज को परिभाषित किया:

Greek: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, lit. 'Of trilateral figures, an isopleuron [equilateral] triangle is that which has its three sides equal, an isosceles that which has two of its sides alone equal, and a scalene that which has its three sides unequal.'

• एक समबाहु त्रिभुज (Greek: ἰσόπλευρον, romanized: isópleuron, lit. 'equal sides') एक ही लंबाई के तीन पक्ष हैं।एक समबाहु त्रिभुज भी एक नियमित बहुभुज है जिसमें सभी कोण 60 ° मापने वाले हैं।
• एक समस्थानिक त्रिभुज (Greek: ἰσοσκελὲς, romanized: isoskelés, lit. 'equal legs') के बराबर लंबाई के दो पक्ष हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण भी होते हैं, अर्थात् एक ही लंबाई के दो पक्षों के विपरीत कोण।यह तथ्य समस्थानिक त्रिभुज प्रमेय की सामग्री है, जिसे यूक्लिड द्वारा जाना जाता था।कुछ गणितज्ञ एक समद्विबाहु त्रिभुज को दो समान पक्षों के लिए परिभाषित करते हैं, जबकि अन्य एक समद्विबाहु त्रिभुज को कम से कम दो समान पक्षों के रूप में परिभाषित करते हैं। बाद की परिभाषा सभी समबाहु त्रिभुज समद्वियों में त्रिकोण बना देगी।45-45-90 दाहिने त्रिभुज, जो टेट्राकिस स्क्वायर टाइलिंग में दिखाई देता है, समद्विबाहु है।
• एक स्केलिन त्रिभुज (Greek: σκαληνὸν, romanized: skalinón, lit. 'unequal') इसके सभी अलग -अलग लंबाई के पक्ष हैं। समान रूप से, इसमें अलग -अलग माप के सभी कोण हैं।

<गैलरी> Triangle.Equilateral.svg|समभुज त्रिकोण Triangle.Isosceles.svg|समद्विबाहु त्रिकोण Triangle.Scalene.svg|विषमबाहु त्रिकोण </गैलरी>

हैच मार्क्स, जिसे टिक मार्क भी कहा जाता है, का उपयोग समान लंबाई के पक्षों की पहचान करने के लिए त्रिकोण और अन्य ज्यामितीय आंकड़ों के आरेखों में किया जाता है।एक पक्ष को टली के रूप में टिक्स के पैटर्न, शॉर्ट लाइन सेगमेंट के साथ चिह्नित किया जा सकता है;दो पक्षों की लंबाई समान होती है यदि वे दोनों एक ही पैटर्न के साथ चिह्नित हैं।एक त्रिभुज में, पैटर्न आमतौर पर 3 टिक से अधिक नहीं होता है।एक समबाहु त्रिभुज का सभी 3 पक्षों पर एक ही पैटर्न होता है, एक समद्विबाहु त्रिभुज का सिर्फ 2 पक्षों पर एक ही पैटर्न होता है, और एक स्कैलेन त्रिभुज के सभी पक्षों पर अलग -अलग पैटर्न होते हैं क्योंकि कोई भी पक्ष समान नहीं होता है।

इसी तरह, कोणों के अंदर 1, 2, या 3 गाढ़ा आर्क्स के पैटर्न का उपयोग समान कोणों को इंगित करने के लिए किया जाता है: एक समबाहु त्रिभुज में सभी 3 कोणों पर एक ही पैटर्न होता है, एक समद्विबाहु त्रिभुज में सिर्फ 2 कोणों पर एक ही पैटर्न होता है, और एक स्केलिन त्रिभुज होता है।सभी कोणों पर अलग -अलग पैटर्न हैं, क्योंकि कोई भी कोण समान नहीं हैं।

आंतरिक कोणों द्वारा

File:Euclid3a.gif

उन्होंने दुनिया के पहले मुद्रित संस्करण (1482) से, बुक I की परिभाषा अनुभाग दिखाते हुए, यूक्लिड के तत्वों का पहला पृष्ठ, सही त्रिभुज को ऑर्थोगोनियस लेबल किया है, और दिखाए गए दो कोण एक्यूटस और एंगुलस ऑटसस हैं।

त्रिकोण को उनके आंतरिक कोणों के अनुसार भी वर्गीकृत किया जा सकता है, यहां डिग्री में मापा जाता है।

• एक दाएं त्रिभुज (या दाएं-कोण वाले त्रिभुज) में 90 ° (एक समकोण) को मापने वाले आंतरिक कोणों में से एक है।सही कोण के विपरीत पक्ष हाइपोटेनस है, त्रिभुज का सबसे लंबा पक्ष।अन्य दो पक्षों को पैर या कैथेटी कहा जाता है (एकवचन: विकट: कैथेटस | कैथेटस) त्रिभुज।सही त्रिकोण पाइथागोरस प्रमेय का पालन करते हैं: दो पैरों की लंबाई के वर्गों का योग हाइपोटेनस की लंबाई के वर्ग के बराबर है: a² + b² = c², where a and b are the lengths of the legs and c is the length of the hypotenuse. Special right triangles are right triangles with additional properties that make calculations involving them easier. One of the two most famous is the 3–4–5 right triangle, where 3² + 4² = 5²।3-4-5 त्रिभुज को मिस्र के त्रिकोण के रूप में भी जाना जाता है। इस स्थिति में, 3, 4, और 5 एक पाइथागोरियन ट्रिपल हैं।अन्य एक एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें 2 कोण हैं जो 45 डिग्री (45-45-90 त्रिकोण) को मापते हैं।
  • त्रिकोण जिसमें 90 ° मापने वाले कोण नहीं होते हैं, उन्हें तिरछे त्रिकोण कहा जाता है।
• 90 ° से कम मापने वाले सभी आंतरिक कोणों के साथ एक त्रिभुज एक तीव्र त्रिकोण या तीव्र-कोण वाले त्रिकोण है। यदि C सबसे लंबे समय की लंबाई है, तो a² + b² > c², जहां ए और बी अन्य पक्षों की लंबाई हैं।
• 90 ° से अधिक एक आंतरिक कोण के साथ एक त्रिभुज एक obtuse त्रिभुज या obtuse-angled त्रिकोण है। यदि C सबसे लंबे समय की लंबाई है, तो a² + b² < c², जहां ए और बी अन्य पक्षों की लंबाई हैं।
• 180 ° (और विकट: Collinear | Collinear vertices) के आंतरिक कोण के साथ एक त्रिकोण पतनशील है।एक सही पतित त्रिभुज में कोलिनियर वर्टिस हैं, जिनमें से दो संयोग हैं।

एक त्रिभुज जिसमें एक ही उपाय के साथ दो कोण होते हैं, में भी एक ही लंबाई के साथ दो पक्ष होते हैं, और इसलिए यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।यह इस प्रकार है कि एक त्रिभुज में जहां सभी कोणों में एक ही उपाय होता है, तीनों पक्षों की लंबाई समान होती है, और इसलिए यह समबाहु होता है।

Right triangle	Obtuse triangle	Acute triangle
Right	Obtuse	Acute
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Oblique

बुनियादी तथ्य

File:Remint3.svg

त्रिभुज, बाहरी कोण दिखा रहा है d।

त्रिकोणों को दो-विमीय विमान के आंकड़े माना जाता है, जब तक कि संदर्भ अन्यथा प्रदान नहीं करता है (देखें #गैर-प्लानर त्रिकोण | गैर-प्लानर त्रिकोण, नीचे)।कठोर उपचारों में, एक त्रिभुज को इसलिए 2-सिम्प्लेक्स कहा जाता है (पॉलीटोप भी देखें)।त्रिभुजों के बारे में प्राथमिक तथ्य यूक्लिड द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, उनके यूक्लिड के तत्वों की पुस्तकों 1-4 में। तत्वों, 300 ईसा पूर्व के आसपास लिखा गया था।

File:Triangle sommeangles.svg

वह त्रिभुज के आंतरिक कोणों के उपाय हमेशा 180 डिग्री तक जोड़ते हैं (एक ही रंग को इंगित करने के लिए वे समान हैं)।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों के उपायों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।<रेफ नाम =: 2 /> यह तथ्य यूक्लिड के समानांतर पोस्टुलेट के बराबर है।यह दो कोणों के माप को देखते हुए किसी भी त्रिभुज के तीसरे कोण के माप का निर्धारण करने की अनुमति देता है।एक त्रिभुज का एक बाहरी कोण एक कोण है जो एक आंतरिक कोण के लिए एक रैखिक जोड़ी (और इसलिए पूरक) है।एक त्रिभुज के बाहरी कोण का माप दो आंतरिक कोणों के उपायों के बराबर है जो इसके आस -पास नहीं हैं;यह बाहरी कोण प्रमेय है।किसी भी त्रिभुज के तीन बाहरी कोणों (प्रत्येक शीर्ष के लिए एक) के उपायों का योग 360 डिग्री है।

समानता और बधाई

दो त्रिभुजों को समान कहा जाता है, अगर एक त्रिभुज के प्रत्येक कोण में दूसरे त्रिभुज में संबंधित कोण के समान उपाय होता है। समान त्रिकोणों के संबंधित पक्षों की लंबाई होती है जो एक ही अनुपात में होती हैं, और यह संपत्ति समानता स्थापित करने के लिए भी पर्याप्त है।

समान त्रिकोण के बारे में कुछ बुनियादी प्रमेय हैं:

• यदि और केवल अगर दो त्रिकोणों के आंतरिक कोणों की एक जोड़ी में एक दूसरे के समान उपाय होते हैं, और एक अन्य जोड़ी में एक दूसरे के समान माप भी होता है, तो त्रिकोण समान होते हैं।
• यदि और केवल अगर दो त्रिकोणों के संबंधित पक्षों की एक जोड़ी एक ही अनुपात में होती है, जैसे कि इसी पक्षों की एक और जोड़ी होती है, और उनके शामिल कोणों में एक ही उपाय होता है, तो त्रिकोण समान होते हैं। (बहुभुज के किसी भी दो पक्षों के लिए शामिल कोण उन दो पक्षों के बीच आंतरिक कोण है।)
• यदि और केवल अगर दो त्रिकोण के तीन जोड़े इसी अनुपात में हैं, तो त्रिकोण समान हैं।

WO त्रिकोण जो बधाई हैं, बिल्कुल समान आकार और आकार हैं: इसी आंतरिक कोणों के सभी जोड़े माप में समान हैं, और संबंधित पक्षों के सभी जोड़े की लंबाई समान है। (यह कुल छह समानता है, लेकिन तीन अक्सर बधाई साबित करने के लिए पर्याप्त होते हैं।)

त्रिकोणों की एक जोड़ी के लिए कुछ व्यक्तिगत रूप से आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं:

• एसएएस पोस्टुलेट: एक त्रिभुज में दो पक्षों की लंबाई एक ही लंबाई है, जो अन्य त्रिभुज में दो पक्षों के समान है, और शामिल कोणों में एक ही उपाय है।
• एएसए: दो आंतरिक कोण और एक त्रिभुज में शामिल पक्ष में क्रमशः एक ही उपाय और लंबाई होती है, अन्य त्रिकोण में। (कोणों की एक जोड़ी के लिए शामिल पक्ष वह पक्ष है जो उनके लिए आम है।)
• SSS: एक त्रिभुज के प्रत्येक पक्ष की लंबाई अन्य त्रिभुज के समान पक्ष के समान होती है।
• एएएस: एक त्रिभुज में दो कोण और एक संबंधित (गैर-शामिल) पक्ष क्रमशः एक ही उपाय और लंबाई है, अन्य त्रिभुज में। (इसे कभी -कभी AACORRS के रूप में संदर्भित किया जाता है और फिर ऊपर ASA शामिल है।)

कुछ व्यक्तिगत रूप से पर्याप्त स्थितियां हैं:

• हाइपोटेनस-लेग (एचएल) प्रमेय: एक सही त्रिभुज में हाइपोटेनस और एक पैर की लंबाई एक और सही त्रिभुज में होती है। इसे आरएचएस (राइट-एंगल, हाइपोटेनस, साइड) भी कहा जाता है।
• हाइपोटेनस-एंगल प्रमेय: एक सही त्रिभुज में हाइपोटेनस और एक तीव्र कोण क्रमशः एक ही लंबाई और माप होता है, अन्य सही त्रिभुज में। यह एएएस प्रमेय का सिर्फ एक विशेष मामला है।

एक महत्वपूर्ण स्थिति है:

• साइड-साइड-एंगल (या एंगल-साइड-साइड) स्थिति: यदि दो पक्षों और एक त्रिभुज के एक गैर-गैर-शामिल कोण की लंबाई और माप क्रमशः, एक और त्रिभुज के रूप में, तो यह पर्याप्त नहीं है, तो यह पर्याप्त नहीं है बधाई साबित; लेकिन अगर दिया गया कोण दोनों पक्षों के लंबे पक्ष के विपरीत है, तो त्रिकोण बधाई हैं। हाइपोटेनस-लेग प्रमेय इस मानदंड का एक विशेष मामला है। साइड-साइड-एंगल की स्थिति स्वयं गारंटी नहीं देती है कि त्रिकोण बधाई हैं क्योंकि एक त्रिभुज obtuse-angled और दूसरा तीव्र-कोण हो सकता है।

सही त्रिकोण और समानता की अवधारणा का उपयोग करते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन को परिभाषित किया जा सकता है। ये एक कोण के कार्य हैं जिनकी त्रिकोणमिति में जांच की जाती है।

सही त्रिकोण

File:Pythagorean.svg

वह पाइथागोरियन प्रमेय

एक केंद्रीय प्रमेय पाइथागोरियन प्रमेय है, जो किसी भी सही त्रिभुज में बताता है, हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई का वर्ग दो अन्य पक्षों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।यदि हाइपोटेनस की लंबाई C है, और पैरों की लंबाई A और B है, तो प्रमेय बताता है कि

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

यह सच है: यदि त्रिभुज के किनारों की लंबाई उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करती है, तो त्रिभुज में एक समकोण के विपरीत कोण होता है।

सही त्रिकोण के बारे में कुछ अन्य तथ्य:

• एक सही त्रिभुज के तीव्र कोण पूरक हैं।

$a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.$

• यदि एक सही त्रिभुज के पैरों की लंबाई समान होती है, तो उन पैरों के विपरीत कोण एक ही उपाय होते हैं।चूंकि ये कोण पूरक हैं, यह इस प्रकार है कि प्रत्येक 45 डिग्री मापता है।पाइथागोरियन प्रमेय द्वारा, हाइपोटेन्यूज़ की लंबाई एक पैर की लंबाई है √2।
• 30 और 60 डिग्री मापने वाले तीव्र कोणों के साथ एक दाहिने त्रिभुज में, हाइपोटेन्यूस छोटे पक्ष की लंबाई से दोगुना होता है, और लंबी पक्ष छोटी साइड टाइम्स की लंबाई के बराबर होता है √3:

$c=2a\,$

$b=a\times {\sqrt {3}}.$

सभी त्रिभुजों के लिए, कोण और पक्ष कोसाइन्स और सिन के कानून के कानून से संबंधित हैं (जिसे कोसाइन नियम और साइन नियम भी कहा जाता है)।

एक त्रिभुज का अस्तित्व

पक्षों पर स्थिति

त्रिभुज असमानता में कहा गया है कि त्रिभुज के किसी भी दो पक्षों की लंबाई का योग तीसरे पक्ष की लंबाई से अधिक या बराबर होना चाहिए।यह योग केवल तीसरे पक्ष की लंबाई के बराबर हो सकता है, एक पतित त्रिभुज के स्थिति में, एक कोलिनियर वर्टिस के साथ।उस राशि के लिए तीसरे पक्ष की लंबाई से कम होना संभव नहीं है।तीन दिए गए सकारात्मक पक्ष लंबाई के साथ एक त्रिभुज मौजूद है यदि और केवल अगर उन पक्षों की लंबाई त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करती है।

कोणों पर शर्तें

तीन दिए गए कोण एक गैर-पतित त्रिभुज (और वास्तव में उनमें से एक अनंतता) बनाते हैं यदि और केवल अगर इन दोनों स्थितियों को पकड़ते हैं: (ए) प्रत्येक कोण सकारात्मक है, और (बी) कोण 180 ° तक योग करते हैं।यदि पतित त्रिकोणों की अनुमति है, तो 0 ° के कोण की अनुमति है।

त्रिकोणमितीय स्थिति

तीन सकारात्मक कोण α, β, और γ, उनमें से प्रत्येक 180 ° से कम, एक त्रिभुज के कोण हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित में से कोई भी स्थिति रखती है:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$

${\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}+{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}+{\sin }^2<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{2}+2\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}$