लिउविल संख्या

संख्या सिद्धांत में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक वास्तविक संख्या $x$ है,जो की प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $q>1$के साथ पूर्णांकों $(p,q)$ की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि

$$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.$$

लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे पारलौकिक संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी बीजगणितीय संख्या अपरिमेय संख्या की तुलना में अधिक स्पष्टता से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, जोसेफ लिउविल ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर ट्रान्सेंडैंटल हैं, इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।

यह ज्ञात है कि π और e लिउविल संख्या नहीं हैं।

लिउविल संख्याओं का अस्तित्व (लिउविल का स्थिरांक)

लिउविल नंबरों को एक स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।

किसी भी पूर्णांक $b\geq 2$ और पूर्णांकों के किसी भी अनुक्रम के लिए $(a_{1},a_{2},\dots )$ जैसे कि$a_{k}\in \{0,1,2,\dots ,b-1\}$ सभी $k$ के लिए और $a_{k}\neq 0$ अनगिनत $k$ के लिए संख्या परिभाषित करें

$$x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}.$$

विशेष स्थिति में जब $b=10$, और $a_{k}=1$ सभी के लिए $k$, परिणामी संख्या $x$ लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:

L = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...

यह $x$ की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका आधार-$b$ प्रतिनिधित्व है

$x=\left(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}\ldots \right)_{b}\;$

जहां $n$वाँ पद $(n!)$वें स्थान पर है।

चूंकि यह आधार-$b$ प्रतिनिधित्व गैर-दोहराव है, यह इस प्रकार है कि $x$ एक परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए, किसी भी परिमेय संख्या $p/q$ के लिए, हमारे पास $|x-p/q|>0$ है।

अब, किसी पूर्णांक$n\geq 1$ के लिए, $q_{n}$ और $p_{n}$को निम्नानुसार परिभाषित करें:

$$q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}}{b^{n!-k!}}\;.$$

तब