वास्तविक समन्वय स्थान

कार्तीय निर्देशांक वास्तविक संख्याओं के युग्मों के साथ यूक्लिडियन विमान के बिंदुओं की पहचान करते हैं

गणित में, आयाम का वास्तविक समन्वय स्थान $n$ , निरूपित $R n$ (/ɑːrˈɛn/ ar-EN) या $\mathbb {R} ^{n}$ , टपल का सेट है | $n$ वास्तविक संख्याओं का -tuples, जो कि सभी अनुक्रमों का समुच्चय है $n$ वास्तविक संख्या। घटक-वार जोड़ और अदिश गुणन के साथ, यह एक वास्तविक सदिश स्थान है, और इसके तत्वों को समन्वय सदिश कहा जाता है।

वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों के किसी भी आधार (वेक्टर स्पेस) पर समन्वय (वेक्टर स्पेस) वेक्टर स्पेस के समान आयाम के वास्तविक वेक्टर स्थान का निर्माण करता है। इसी तरह, कार्टेशियन आयाम के यूक्लिडियन अंतरिक्ष के बिंदुओं का समन्वय करता है $n$ आयाम का एक वास्तविक समन्वय स्थान बनाएं $n$ .

सदिशों, बिंदुओं और निर्देशांक सदिशों के बीच ये एक-से-एक पत्राचार निर्देशांक स्थान और निर्देशांक सदिश के नामों की व्याख्या करते हैं। यह वास्तविक निर्देशांक रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए ज्यामितीय शर्तों और विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है, और, इसके विपरीत, ज्यामिति में पथरी के तरीकों का उपयोग करने के लिए। ज्यामिति का यह दृष्टिकोण 17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा पेश किया गया था। यह व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदुओं का पता लगाने और उनके साथ कंप्यूटिंग करने की अनुमति देता है।

परिभाषा और संरचना

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $n$ , समुच्चय (गणित) $R n$ सभी के होते हैं $n$ वास्तविक संख्या के -tuples ( $R$ ). इसे कहा जाता है $n$ -आयामी वास्तविक स्थान या वास्तविक $n$ -अंतरिक्ष ।

का एक तत्व $R n$ इस प्रकार एक है $n$ -tuple, और लिखा है

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

जहां प्रत्येक

x i

एक वास्तविक संख्या है। इसलिए, बहुभिन्नरूपी कलन में, कई वास्तविक चरों के फलन के एक फलन का प्रांत और एक वास्तविक सदिश मान वाले फलन का कोडोमेन किसके उपसमुच्चय होते हैं

R n

कुछ के लिए

n

.

असली $n$ -स्पेस में और भी कई गुण हैं, विशेष रूप से:

घटकवार संचालन जोड़ और स्केलर गुणन के साथ, यह एक वास्तविक वेक्टर स्पेस है। हर एक $n$ -विमीय वास्तविक सदिश समष्टि इसके लिए तुल्याकारी है।
डॉट उत्पाद के साथ (घटकों के उत्पाद द्वारा शब्द का योग), यह एक आंतरिक उत्पाद स्थान है। हर एक $n$ -आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान इसके लिए समरूप है।
प्रत्येक आंतरिक उत्पाद स्थान के रूप में, यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस और एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है।
यह एक यूक्लिडियन स्पेस है और एक वास्तविक affine अंतरिक्ष है, और हर यूक्लिडियन या एफाइन स्पेस इसके लिए आइसोमोर्फिक है।
यह एक विश्लेषणात्मक विविध है, और इसे सभी मैनिफोल्ड के प्रोटोटाइप के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि, परिभाषा के अनुसार, एक मैनिफोल्ड, प्रत्येक बिंदु के पास, एक खुले उपसमुच्चय के लिए आइसोमॉर्फिक है $R n$ .
यह एक बीजगणितीय विविधता है, और प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय विविधता का एक उपसमुच्चय है $R n$ .

ये गुण और संरचनाएं $R n$ गणित के लगभग सभी क्षेत्रों और उनके अनुप्रयोग डोमेन, जैसे सांख्यिकी, संभाव्यता सिद्धांत और भौतिकी के कई हिस्सों में इसे मौलिक बनाएं।

कई चर के एक समारोह का डोमेन

कोई समारोह $f (x 1, x 2, ..., x n)$ का $n$ वास्तविक चरों को एक फलन के रूप में माना जा सकता है $R n$ (यानी, के साथ $R n$ एक समारोह के अपने डोमेन के रूप में)। असली का उपयोग $n$ -स्पेस, अलग-अलग माने जाने वाले कई वेरिएबल्स के बजाय, नोटेशन को सरल बना सकता है और उचित परिभाषाएँ सुझा सकता है। के लिए विचार करें $n = 2$ , निम्नलिखित रूप की एक फ़ंक्शन रचना:

F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),

जहां कार्य करता है

g 1

तथा

g 2

निरंतर कार्य कर रहे हैं। यदि

$\forall x 1 \in R : f (x 1, \cdot)$ निरंतर है (द्वारा $x 2$ )
$\forall x 2 \in R : f (\cdot, x 2)$ निरंतर है (द्वारा $x 1$ )

फिर $F$ अनिवार्य रूप से निरंतर नहीं है। निरंतरता एक मजबूत स्थिति है: की निरंतरता $f$ प्राकृतिक में $R 2$ टोपोलॉजी (#सांस्थितिक गुण), जिसे बहुभिन्नरूपी निरंतरता भी कहा जाता है, जो संरचना की निरंतरता के लिए पर्याप्त है $F$ .

वेक्टर स्पेस

समन्वय स्थान $R n$ एक बनाता है $n$ रैखिकता की संरचना के योग के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर आयामी सदिश स्थल, और अक्सर अभी भी निरूपित किया जाता है $R n$ . संचालन चालू है $R n$ एक सदिश स्थान के रूप में आमतौर पर द्वारा परिभाषित किया जाता है

\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})

\alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).

योज्य तत्समक किसके द्वारा दिया जाता है

\mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)

और सदिश का योज्य व्युत्क्रम

x

द्वारा दिया गया है

-\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).

यह संरचना महत्वपूर्ण है क्योंकि कोई भी

n

-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि सदिश समष्टि के लिए तुल्याकारी है

R n

.

मैट्रिक्स संकेतन

मानक मैट्रिक्स (गणित) अंकन में, प्रत्येक तत्व $R n$ आमतौर पर कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}

और कभी-कभी एक पंक्ति वेक्टर के रूप में:

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.

समन्वय स्थान

R n

तब सभी के स्थान के रूप में व्याख्या की जा सकती है

n \times 1

कॉलम वैक्टर, या सभी

1 \times n

जोड़ और अदिश गुणन के साधारण मैट्रिक्स संचालन के साथ पंक्ति वैक्टर।

से रैखिक परिवर्तन $R n$ प्रति $R m$ के रूप में लिखा जा सकता है $m \times n$ मैट्रिक्स जो के तत्वों पर कार्य करते हैं $R n$ बाएँ और दाएँ (बीजगणित) गुणन के माध्यम से (जब के तत्व $R n$ कॉलम वैक्टर हैं) और के तत्वों पर $R m$ सही गुणा के माध्यम से (जब वे पंक्ति वैक्टर हैं)। बाएं गुणन का सूत्र, मैट्रिक्स गुणन का एक विशेष मामला है:

(A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}

कोई भी रैखिक परिवर्तन एक सतत कार्य है (देखें #स्थलीय गुण)। साथ ही, एक मैट्रिक्स एक खुले मानचित्र को परिभाषित करता है $R n$ प्रति $R m$ अगर और केवल अगर रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत) के बराबर है $m$ .

मानक आधार

समन्वय स्थान $R n$ एक मानक आधार के साथ आता है:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}

यह देखने के लिए कि यह एक आधार है, ध्यान दें कि एक स्वेच्छ सदिश in

R n

रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.

ज्यामितीय गुण और उपयोग

अभिविन्यास

तथ्य यह है कि वास्तविक संख्याएं, कई अन्य क्षेत्रों (गणित) के विपरीत, एक आदेशित फ़ील्ड का गठन करती हैं, पर एक अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) उत्पन्न करती हैं $R n$ . कोई रैंक (मैट्रिक्स थ्योरी) | का पूर्ण-रैंक रैखिक नक्शा $R n$ अपने मैट्रिक्स के निर्धारक के संकेत (गणित) के आधार पर या तो अंतरिक्ष के अभिविन्यास को संरक्षित या उलट देता है। यदि एक क्रमपरिवर्तन समन्वय करता है (या, दूसरे शब्दों में, आधार के तत्व), परिणामी अभिविन्यास क्रमचय की समानता पर निर्भर करेगा।

डिफियोमोर्फिज्म ऑफ $R n$ या डोमेन (गणितीय विश्लेषण), शून्य जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक से बचने के लिए उनके गुण द्वारा, अभिविन्यास-संरक्षण और अभिविन्यास-उलटने के लिए भी वर्गीकृत किया जाता है। विभेदक रूपों के सिद्धांत के लिए इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिनके अनुप्रयोगों में बिजली का गतिविज्ञान शामिल हैं।

इस संरचना की एक और अभिव्यक्ति यह है कि बिंदु प्रतिबिंब में $R n$ सम और विषम संख्याओं के आधार पर अलग-अलग गुण होते हैं | की समता $n$ . एक जैसे के लिए $n$ यह ओरिएंटेशन को बरकरार रखता है, जबकि ऑड के लिए $n$ यह उल्टा है (अनुचित रोटेशन भी देखें)।

एफ़िन स्पेस

$R n$ एक एफ़िन स्पेस के रूप में समझा जाता है वही स्थान है, जहां $R n$ एक सदिश स्थान के रूप में अनुवाद (ज्यामिति) द्वारा समूह क्रिया (गणित)। इसके विपरीत, एक वेक्टर को दो बिंदुओं के बीच विस्थापन (वेक्टर) के रूप में समझा जाना चाहिए, आमतौर पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाली एक निर्देशित रेखा खंड द्वारा चित्रित किया जाता है। भेद कहता है कि कोई विहित रूप नहीं है जहां मूल (गणित) को एक संबंध में जाना चाहिए $n$ -स्पेस, क्योंकि इसका कहीं भी अनुवाद किया जा सकता है।

उत्तलता

एन-सिम्प्लेक्स (Rn में #Polytopes देखें) मानक उत्तल सेट है, जो हर पॉलीटॉप के लिए मैप करता है, और मानक का प्रतिच्छेदन है

(n + 1)

affine हाइपरप्लेन (मानक affine स्थान) और मानक

(n + 1)

ऑर्थोंट (मानक शंकु)।

एक वास्तविक सदिश स्थान में, जैसे $R n$ , एक उत्तल शंकु (रैखिक बीजगणित) को परिभाषित कर सकता है, जिसमें इसके वैक्टरों के सभी गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजन होते हैं। एक affine स्थान में संगत अवधारणा एक उत्तल सेट है, जो केवल उत्तल संयोजनों (गैर-ऋणात्मक रैखिक संयोजनों का योग 1) की अनुमति देता है।

सार्वभौम बीजगणित की भाषा में, सदिश समष्टि सार्वभौम सदिश समष्टि पर बीजगणित है $R \infty$ गुणांकों के परिमित अनुक्रमों की संख्या, सदिशों के परिमित योगों के संगत, जबकि एक संबधित स्थान इस स्थान में सार्वभौम सजातीय हाइपरप्लेन पर एक बीजगणित है (परिमित अनुक्रमों का योग 1), एक शंकु सार्वभौम orthant (परिमित अनुक्रमों का) पर एक बीजगणित है गैर-ऋणात्मक संख्याओं का), और एक उत्तल सेट सार्वभौमिक सिंप्लेक्स (गैर-नकारात्मक संख्याओं के परिमित अनुक्रमों का योग 1) पर एक बीजगणित है। यह निर्देशांक पर (संभव) प्रतिबंधों के साथ राशियों के संदर्भ में स्वयंसिद्धों को ज्यामितीय बनाता है।

उत्तल विश्लेषण से एक और अवधारणा एक उत्तल कार्य है $R n$ वास्तविक संख्याओं के लिए, जो बिंदु (ज्यामिति) के उत्तल संयोजन पर इसके मूल्य और समान गुणांक वाले उन बिंदुओं में मानों के योग के बीच एक असमानता (गणित) के माध्यम से परिभाषित किया गया है।

यूक्लिडियन स्थान

डॉट उत्पाद

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस को परिभाषित करता है

| x | = \sqrt x \cdot x

सदिश स्थान पर

R n

. यदि प्रत्येक सदिश का अपना यूक्लिडियन मानदंड है, तो बिंदुओं के किसी भी जोड़े के लिए दूरी

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

पर एक मीट्रिक स्थान संरचना प्रदान करते हुए परिभाषित किया गया है

R n

इसके affine संरचना के अलावा।

सदिश अंतरिक्ष संरचना के लिए, डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी को आमतौर पर मौजूद माना जाता है $R n$ विशेष स्पष्टीकरण के बिना। हालाँकि, असली $n$ -अंतरिक्ष और एक यूक्लिडियन $n$ -अंतरिक्ष विशिष्ट वस्तुएं हैं, सख्ती से बोलना। कोई यूक्लिडियन $n$ -स्पेस में एक समन्वय प्रणाली है जहां डॉट उत्पाद और यूक्लिडियन दूरी के ऊपर दिखाया गया रूप है, जिसे रेनाटस कार्टेसियस कहा जाता है। लेकिन यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर कई कार्टेशियन समन्वय प्रणाली हैं।

इसके विपरीत, यूक्लिडियन मीट्रिक के लिए उपरोक्त सूत्र मानक यूक्लिडियन संरचना को परिभाषित करता है $R n$ , लेकिन यह एकमात्र संभव नहीं है। दरअसल, कोई सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप $q$ अपनी दूरी तय करता है $\sqrt q (x - y)$ , लेकिन यह इस मायने में यूक्लिडियन से बहुत अलग नहीं है कि

\exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).

मीट्रिक का ऐसा परिवर्तन इसके कुछ गुणों को संरक्षित करता है, उदाहरण के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान होने का गुण। इसका तात्पर्य यह भी है कि कोई भी पूर्ण-रैंक रैखिक परिवर्तन

R n

, या इसका संबधित रूपांतरण, कुछ निश्चित दूरी से अधिक दूरियों को आवर्धित नहीं करता है

C 2

, और इससे छोटी दूरी नहीं बनाता है

1 / C 1

गुना, एक निश्चित परिमित संख्या गुना छोटा।^{[clarification needed]} मीट्रिक कार्यों की उपरोक्त समानता मान्य रहती है यदि

\sqrt q (x - y)

से बदल दिया जाता है

M (x - y)

, कहाँ पे

M

डिग्री 1 का कोई उत्तल सकारात्मक सजातीय कार्य है, यानी एक आदर्श सदिश स्थान (उपयोगी उदाहरणों के लिए मिंकोव्स्की दूरी देखें)। इस तथ्य के कारण कि कोई भी प्राकृतिक मीट्रिक चालू है

R n

यूक्लिडियन मीट्रिक से विशेष रूप से भिन्न नहीं है,

R n

यूक्लिडियन से हमेशा अलग नहीं होता है

n

-पेशेवर गणितीय कार्यों में भी स्थान।

बीजीय और अवकल ज्यामिति में

हालांकि मैनिफोल्ड की परिभाषा के लिए जरूरी नहीं है कि इसका मॉडल स्पेस होना चाहिए $R n$ , यह विकल्प सबसे आम है, और अंतर ज्यामिति में लगभग अनन्य है।

दूसरी ओर, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेयों का कहना है कि कोई भी वास्तविक अवकलनीय मैनिफोल्ड | अवकलनीय है $m$ -आयामी मैनिफोल्ड में एम्बेडिंग किया जा सकता है $R 2 m$ .

अन्य दिखावे

अन्य संरचनाओं पर विचार किया गया $R n$ एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष, सहानुभूतिपूर्ण संरचना (यहां तक कि $n$ ), और संपर्क संरचना (विषम $n$ ). इन सभी संरचनाओं, हालांकि एक समन्वय-मुक्त तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, निर्देशांक में मानक (और यथोचित सरल) रूपों को स्वीकार करते हैं।

$R n$ की एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि भी है $C n$ जो जटिल संयुग्मन के लिए अपरिवर्तनीय है; जटिलता भी देखें।

आर में पॉलीटोप्स^{एन </सुप>}

polytope्स के तीन परिवार हैं जिनका सरल प्रतिनिधित्व है $R n$ रिक्त स्थान, किसी के लिए $n$ , और वास्तविक में किसी भी affine समन्वय प्रणाली की कल्पना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है $n$ -अंतरिक्ष। अतिविम के वर्टिकल में निर्देशांक होते हैं $(x 1, x 2, ..., x n)$ जहां प्रत्येक $x k$ केवल दो मानों में से एक लेता है, आमतौर पर 0 या 1. हालांकि, उदाहरण के लिए, 0 और 1 के बजाय किन्हीं भी दो संख्याओं को चुना जा सकता है −1 और 1. एक $n$ -हाइपरक्यूब को कार्टेशियन उत्पाद के रूप में माना जा सकता है $n$ समान अंतराल (गणित) (जैसे इकाई अंतराल $[0,1]$ ) वास्तविक रेखा पर। एक के रूप में $n$ आयामी उपसमुच्चय को असमानताओं की प्रणाली | की प्रणाली के साथ वर्णित किया जा सकता है $2 n$ असमानताएँ:

{\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}

के लिये

[0,1]

, तथा

{\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}

के लिये

[-1,1]

.

कुछ के लिए, क्रॉस-पॉलीटॉप के प्रत्येक शीर्ष में है $k$ , द $x k$ निर्देशांक ±1 के बराबर और अन्य सभी निर्देशांक 0 के बराबर (जैसे कि यह है $k$ वें #मानक आधार पर हस्ताक्षर करने के लिए (गणित))। यह हाइपरक्यूब का दोहरी पॉलीटॉप है। एक के रूप में $n$ -आयामी उपसमुच्चय इसे एक असमानता के साथ वर्णित किया जा सकता है जो पूर्ण मूल्य संचालन का उपयोग करता है:

\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,

लेकिन यह एक प्रणाली के साथ व्यक्त किया जा सकता है

2 n

रैखिक असमानताएं भी।

साधारण रूप से गणना करने योग्य निर्देशांक वाला तीसरा पॉलीटॉप मानक सिंप्लेक्स है, जिसके कोने हैं $n$ मानक आधार वैक्टर और उत्पत्ति (गणित) $(0, 0, ..., 0)$ . एक के रूप में $n$ आयामी उपसमुच्चय की एक प्रणाली के साथ इसका वर्णन किया गया है $n + 1$ रैखिक असमानताएँ:

{\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}

सभी ≤ का < के साथ प्रतिस्थापन इन पॉलीटोप्स के अंदरूनी भाग देता है।

सामयिक गुण

की टोपोलॉजी (संरचना)। $R n$ (मानक टोपोलॉजी, यूक्लिडियन टोपोलॉजी, या सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है) न केवल परिभाषा और उपयोग प्राप्त किया जा सकता है। यह #यूक्लिडियन अंतरिक्ष द्वारा प्रेरित प्राकृतिक टोपोलॉजी के समान है: यूक्लिडियन टोपोलॉजी में एक सेट खुला सेट है अगर और केवल अगर इसके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर एक खुली गेंद होती है। भी, $R n$ एक रैखिक सामयिक स्थान है (ऊपर रैखिक मानचित्रों की निरंतरता देखें), और इसकी रैखिक संरचना के साथ संगत केवल एक संभव (गैर-तुच्छ) टोपोलॉजी है। चूंकि कई खुले रैखिक मानचित्र हैं $R n$ स्वयं के लिए जो आइसोमेट्री नहीं हैं, वहां कई यूक्लिडियन संरचनाएं हो सकती हैं $R n$ जो एक ही टोपोलॉजी से मेल खाते हैं। वास्तव में, यह रैखिक संरचना पर भी बहुत अधिक निर्भर नहीं करता है: कई गैर-रैखिक भिन्नताएं (और अन्य होमोमोर्फिज्म) हैं $R n$ खुद पर, या उसके हिस्से जैसे यूक्लिडियन ओपन बॉल या आरएन में #Polytopes)।

$R n$ सांस्थितिक आयाम है $n$ . की टोपोलॉजी पर एक महत्वपूर्ण परिणाम $R n$ , जो सतही से बहुत दूर है, L. E. J. Brouwer का डोमेन का व्युत्क्रम है। का कोई उपसमुच्चय $R n$ (इसके उप-स्थान टोपोलॉजी के साथ) जो कि एक अन्य खुले उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है $R n$ स्वयं खुला है। इसका तात्कालिक परिणाम यह होता है $R m$ के लिए होमियोमोर्फिज्म नहीं है $R n$ यदि $m \neq n$ – एक सहज रूप से स्पष्ट परिणाम जो फिर भी साबित करना मुश्किल है।

टोपोलॉजिकल आयाम में अंतर के बावजूद, और एक भोली धारणा के विपरीत, कम-आयामी मैप करना संभव है^{[clarification needed]} वास्तविक स्थान निरंतर और विशेषण कार्य करता है $R n$ . एक निरंतर (हालांकि चिकना नहीं) स्थान भरने वाला वक्र (एक छवि $R 1$ ) संभव है।^{[clarification needed]}

उदाहरण

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the only element of

R 0

R 1

एन ≤ 1

के मामले $0 \leq n \leq 1$ कुछ भी नया ऑफर न करें: $R 1$ वास्तविक रेखा है, जबकि $R 0$ (खाली कॉलम वेक्टर युक्त स्थान) एक सिंगलटन (गणित) है, जिसे शून्य वेक्टर स्पेस के रूप में समझा जाता है। हालांकि, अलग-अलग वर्णन करने वाले सिद्धांतों के मामलों को तुच्छता (गणित) के रूप में शामिल करना उपयोगी है $n$ .

एन = 2

हाइपरक्यूब और क्रॉस-पॉलीटॉप दोनों

R 2

वर्ग हैं, लेकिन शीर्षों के निर्देशांक अलग तरीके से व्यवस्थित हैं

एन = 3

घनक्षेत्र (हाइपरक्यूब) और अष्टफलक (क्रॉस-पॉलीटॉप)।

R 3

. निर्देशांक नहीं दिखाए गए हैं

एन = 4

$R 4$ इस तथ्य का उपयोग करके कल्पना की जा सकती है कि 16 अंक $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ , जहां प्रत्येक $x k$ या तो 0 या 1 है, एक tesseract (चित्रित) के शिखर हैं, 4-हाइपरक्यूब (आरएन में #Polytopes देखें)।

का पहला प्रमुख प्रयोग $R 4$ एक [[अंतरिक्ष समय]] मॉडल है: तीन स्थानिक निर्देशांक और एक बार। यह आमतौर पर सापेक्षता के सिद्धांत से जुड़ा हुआ है, हालांकि गैलिलियो गैलिली के बाद से ऐसे मॉडलों के लिए चार आयामों का उपयोग किया गया था। सिद्धांत की पसंद अलग संरचना की ओर ले जाती है, हालांकि: गैलीलियन सापेक्षता में $t$ निर्देशांक विशेषाधिकार प्राप्त है, लेकिन आइंस्टीनियन सापेक्षता में ऐसा नहीं है। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में विशेष सापेक्षता निर्धारित की गई है। सामान्य सापेक्षता घुमावदार स्थानों का उपयोग करती है, जिसके बारे में सोचा जा सकता है $R 4$ अधिकांश व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) के साथ। इनमें से कोई भी संरचना एक (सकारात्मक-निश्चित) मीट्रिक (गणित) प्रदान नहीं करती है $R 4$ .

इयूक्लिडियन $R 4$ गणितज्ञों का भी ध्यान आकर्षित करता है, उदाहरण के लिए चतुष्कोणों से इसके संबंध के कारण, स्वयं एक क्षेत्र पर एक 4-आयामी बीजगणित। कुछ जानकारी के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन देखें।

विभेदक ज्यामिति में, $n = 4$ एकमात्र मामला है जहां $R n$ एक गैर-मानक विभेदक संरचना को स्वीकार करता है: विदेशी R4|विदेशी R देखें^{4</उप>।}

मानदंड चालू $R n$

सदिश स्थान पर कई मानदंडों को परिभाषित किया जा सकता है $R n$ . कुछ सामान्य उदाहरण हैं

पी-मानदंड, द्वारा परिभाषित ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ कहाँ पे $p$ एक सकारात्मक पूर्णांक है। मुकदमा $p=2$ बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह बिल्कुल यूक्लिडियन मानदंड है।
द $\infty$ -नॉर्म या अधिकतम मानदंड, द्वारा परिभाषित $\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ . यह सभी पी-मानदंडों की सीमा है: ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ .

वास्तव में आश्चर्यजनक और उपयोगी परिणाम यह है कि प्रत्येक मानदंड पर परिभाषित किया गया है $R n$ समतुल्य मानदंड है। इसका मतलब दो मनमाने मानदंडों के लिए है $\|\cdot \|$ तथा $\|\cdot \|'$ पर $R n$ आप हमेशा सकारात्मक वास्तविक संख्याएं पा सकते हैं $\alpha ,\beta >0$ , ऐसा है कि

\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|

सभी के लिए

\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}

.

यह सभी मानदंडों के सेट पर एक समानता संबंध को परिभाषित करता है $R n$ . इस परिणाम से आप जाँच सकते हैं कि सदिशों का एक क्रम $R n$ के साथ मिलती है $\|\cdot \|$ अगर और केवल अगर यह अभिसरण करता है $\|\cdot \|'$ .

इस परिणाम का प्रमाण कैसा दिख सकता है इसका एक स्केच यहां दिया गया है:

तुल्यता संबंध के कारण यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक मानदंड चालू है $R n$ यूक्लिडियन मानदंड के बराबर है $\|\cdot \|_{2}$ . होने देना $\|\cdot \|$ एक मनमाना मानदंड हो $R n$ . सबूत दो चरणों में बांटा गया है:

हम दिखाते हैं कि मौजूद है $\beta >0$ , ऐसा है कि $\|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ . इस चरण में आप इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि प्रत्येक $\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ मानक आधार (रैखिक बीजगणित) के रैखिक संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: ${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ . फिर कॉची-श्वार्ज़ असमानता के साथ $\|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},$ कहाँ पे ${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$ .
अब हमें एक खोजना है $\alpha >0$ , ऐसा है कि $\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|$ सभी के लिए $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ . मान लीजिए कि ऐसा कोई नहीं है $\alpha$ . फिर वहाँ हर के लिए मौजूद है $k\in \mathbb {N}$ a $\mathbf {x} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ , ऐसा है कि $\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|$ . दूसरा क्रम परिभाषित करें $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ द्वारा ${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$ . यह क्रम परिबद्ध है क्योंकि $\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1$ . तो बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय के कारण एक अभिसारी अनुवर्तीता मौजूद है $({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbb {N} }$ सीमा के साथ $\mathbf {a} \in$ $R n$ . अब हम दिखाते हैं $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ लेकिन $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ है, जो एक विरोधाभास है। यह है $\|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,$ इसलिये $\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0$ तथा $0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}$ , इसलिए ${\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0$ . यह संकेत करता है $\|\mathbf {a} \|=0$ , इसलिए $\mathbf {a} =\mathbf {0}$ . दूसरी ओर $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ , इसलिये $\|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1$ . यह कभी सच नहीं हो सकता, इसलिए धारणा झूठी थी और ऐसा मौजूद है $\alpha >0$ .