भौगोलिक दूरी

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भौगोलिक दूरी या भौगोलिक दूरी पृथ्वी की सतह के साथ मापी गई दूरी है। इस लेख के सूत्र अक्षांश और देशांतर के संदर्भ में भौगोलिक निर्देशांक द्वारा परिभाषित बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं। यह दूरी जियोडेसी#जियोडेटिक समस्याओं|दूसरी (उलटा) जियोडेटिक समस्या को हल करने में एक तत्व है।

परिचय

भौगोलिक निर्देशांक के बीच की दूरी की गणना अमूर्तता के कुछ स्तर पर आधारित है; यह सटीक दूरी प्रदान नहीं करता है, जो पृथ्वी की सतह में प्रत्येक अनियमितता के लिए खाते का प्रयास करने पर अप्राप्य है। दो भौगोलिक बिंदुओं के बीच की सतह के लिए सामान्य सार हैं:

• सपाट सतह;
• गोलाकार सतह;
• दीर्घवृत्ताकार सतह।

ऊपर दिए गए सभी सार ऊंचाई में परिवर्तन की उपेक्षा करते हैं। दूरियों की गणना जो आदर्श सतह के सापेक्ष ऊंचाई में परिवर्तन के कारण होती है, पर इस लेख में चर्चा नहीं की गई है।

नामकरण

दूरी, $D,\,\!$ दो बिंदुओं के बीच गणना की जाती है, $P_{1}\,\!$ और $P_{2}\,\!$. दो बिंदुओं के भौगोलिक निर्देशांक, (अक्षांश, देशांतर) जोड़े के रूप में हैं $(\phi _{1},\lambda _{1})\,\!$ और $(\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!$ क्रमश। दो बिंदुओं में से किसे के रूप में नामित किया गया है $P_{1}\,\!$ दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।

मानचित्रों पर अक्षांश और देशांतर निर्देशांक आमतौर पर डिग्री (कोण) एस में व्यक्त किए जाते हैं। नीचे दिए गए सूत्रों के दिए गए रूपों में, सही परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्दिष्ट इकाइयों में एक या अधिक मान व्यक्त किए जाने चाहिए। जहां भौगोलिक निर्देशांक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क के रूप में उपयोग किए जाते हैं, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मान को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के साथ संगत किसी भी कोणीय इकाइयों में मान व्यक्त किए जा सकते हैं। कई इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर किसी भी डिग्री या कांति में त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना की अनुमति देते हैं। कैलकुलेटर मोड को ज्यामितीय निर्देशांकों के लिए उपयोग की जाने वाली इकाइयों के साथ संगत होना चाहिए।

अक्षांश और देशांतर में अंतर को निम्नानुसार लेबल और गणना की जाती है:

${\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!$

यह महत्वपूर्ण नहीं है कि नीचे दिए गए फ़ार्मुलों में उपयोग किए जाने पर परिणाम सकारात्मक है या नकारात्मक।

माध्य अक्षांश को निम्न प्रकार से लेबल और परिकलित किया जाता है:

$\phi _{m}={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!$

कोलैटिट्यूड को निम्नानुसार लेबल और गणना की जाती है:

रेडियन में व्यक्त अक्षांशों के लिए:

$\theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi ;\,\!$

डिग्री में व्यक्त अक्षांशों के लिए:

$\theta =90^{\circ }-\phi .\,\!$

जब तक अन्यथा निर्दिष्ट न हो, नीचे की गणना के लिए पृथ्वी की पृथ्वी त्रिज्या है:

$R\,\!$ = 6,371.009 किलोमीटर = 3,958.761 क़ानून मील = 3,440.069 समुद्री मील।

$D_{\,}\!$ = दो बिंदुओं के बीच की दूरी, जैसा कि पृथ्वी की सतह के साथ मापा जाता है और त्रिज्या के लिए उपयोग किए गए मान के समान इकाइयों में जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न हो।

अक्षांश/देशांतर की विलक्षणताएं और असंततता

देशांतर में भौगोलिक ध्रुव पर गणितीय विलक्षणता है (देशांतर अपरिभाषित है) और ±180वें मध्याह्न|180° मध्याह्न पर एक विच्छिन्नता (गणित) है। साथ ही, अक्षांश वृत्त के तलीय प्रक्षेपण ध्रुवों के पास अत्यधिक वक्रित होते हैं। इसलिए, डेल्टा (पत्र)अक्षर) अक्षांश/देशांतर के लिए उपरोक्त समीकरण ($\Delta \phi \!$, $\Delta \lambda \!$) और माध्य अक्षांश ($\phi _{m}\!$) ध्रुवों या ±180° याम्योत्तर के पास की स्थितियों के लिए अपेक्षित उत्तर नहीं दे सकता है। उदाहरण पर विचार करें। का मान है $\Delta \lambda \!$ (पूर्व विस्थापन) जब $\lambda _{1}\!$ और $\lambda _{2}\!$ ±180° याम्योत्तर के दोनों ओर हैं, या का मान $\phi _{m}\!$ (मतलब अक्षांश) दो स्थितियों के लिए ($\phi _{1}\!$=89°, $\lambda _{1}\!$=45°) और ($\phi _{2}\!$=89°, $\lambda _{2}\!$=−135°).

यदि अक्षांश/देशांतर पर आधारित गणना पृथ्वी की सभी स्थितियों के लिए मान्य होनी चाहिए, तो यह सत्यापित किया जाना चाहिए कि विच्छिन्नता और ध्रुवों को सही ढंग से नियंत्रित किया गया है। एक अन्य समाधान अक्षांश/देशांतर के बजाय एन-वेक्टर | एन-वेक्टर का उपयोग करना है, क्योंकि इस क्षैतिज स्थिति के प्रतिनिधित्व में असंतोष या विलक्षणता नहीं है।

सपाट-सतह सूत्र

पृथ्वी की सतह के लिए समतल सन्निकटन छोटी दूरियों के लिए उपयोगी हो सकता है। इस सन्निकटन का उपयोग करके दूरी की गणना की सटीकता तेजी से गलत हो जाती है:

• बिंदुओं के बीच की दूरी अधिक हो जाती है;
• एक बिंदु एक भौगोलिक ध्रुव के करीब हो जाता है।

समतल में दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक सीधी रेखा होती है। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग विमान में बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है।

कम दूरी पर भी, भौगोलिक दूरी की गणनाओं की सटीकता, जो एक सपाट पृथ्वी को मानती है, उस विधि पर निर्भर करती है जिसके द्वारा अक्षांश और देशांतर निर्देशांक विमान पर मानचित्र प्रक्षेपण किया गया है। अक्षांश और देशांतर का प्रक्षेपण एक विमान पर निर्देशांक करता है, नक्शानवीसी का दायरा है।

इस खंड में प्रस्तुत सूत्र सटीकता की अलग-अलग डिग्री प्रदान करते हैं।

गोलाकार पृथ्वी एक विमान के लिए अनुमानित

यह सूत्र अक्षांश के साथ याम्योत्तरों के बीच की दूरी में भिन्नता को ध्यान में रखता है:

$D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{m})\Delta \lambda )^{2}}},$

कहाँ:

$\Delta \phi \,\!$ और $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$