भागफल नियम

कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है। अनुमान $h(x)=f(x)/g(x),$ जहां f और g दोनों अवकलनीय और $g(x)\neq 0$ है। भागफल नियम बताता है कि h(x) का व्युत्पन्न है।

$h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

विशेष $h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}$, अनुमान $f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}$, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}$$

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

भागफल नियम का प्रयोग $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}$$

पारस्परिक नियम

Main article: पारस्परिक नियम

पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष प्रकरण है जिसमें अंश $f(x)=1$ है। भागफल नियम प्रयुक्त करने से देता है।

$$h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.$$

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अनुमान $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द $f(x)g(x)$ के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया है:

सीमा मूल्यांकन $\lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{g(x)^{2}}}$ $g(x)$ की अवकलनीयता द्वारा उचित है, निरंतरता का अर्थ है, जिसे $\lim _{k\to 0}g(x+k)=g(x)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण

अनुमान $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},$ इसलिए $f(x)=g(x)h(x)$ उत्पाद नियम तब $f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$ देता है। $h'(x)$ के लिए समाधान करने और $h(x)$ के लिए वापस प्रतिस्थापित करने देता है:

$${\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}$$

व्युत्क्रम नियम या श्रृंखला नियम का प्रयोग करके प्रमाण

अनुमान $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}$ अतः उत्पाद नियम देता है

$$h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right].$$

दूसरे अवधि में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, पारस्परिक नियम या श्रृंखला नियम के साथ घात नियम प्रयुक्त करें:

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}$

परिणाम को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

$${\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}$$

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण

अनुमान $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और प्राकृतिक लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है

$$\ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|$$

निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को प्रयुक्त करना,

$$\ln |h(x)|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|$$

दोनों पक्षों का लघुगणक व्युत्पन्न लेने पर,

$${\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}$$

$h'(x)$ के लिए समाधान करने और $h(x)$ के लिए $f(x)/g(x)$ को वापस प्रतिस्थापित करने देता है:

$${\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}$$

नोट: फलनो के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है इसलिए फलनो के लघुगणकीय अवकलन का ऋणात्मक मान हो सकें, क्योंकि लघुगणक केवल धनात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि ${\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}$, जो लघुगणकीय अवकलन के लिए फलनो को पूर्ण मूल्य लेने को उचित सिद्ध करता है।

उच्च क्रम व्युत्पन्न

एक भागफल (आंशिक रूप से इसके पहले n − 1 व्युत्पन्न के संदर्भ में) के n वें व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भेद करना $f=gh$ को दो बार अवकलित करना (जिसके परिणामस्वरूप $f''=g''h+2g'h'+gh''$) और फिर $h''$ के लिए समाधान करने पर प्राप्त होता है।

$$h''=\left({\frac {f}{g}}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}}$$

यह भी देखें

• श्रृंखला नियम – समाहित फलनों के व्युत्पन्न के लिए
• अभिन्न का अवकलन
• अवकलन नियम – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
• सामान्य लीबनिज नियम – कलन में उत्पाद नियम का सामान्यीकरण
• व्युत्क्रम फलन और अवकलन –गणना की पहचान
• अवकलन की रैखिकता – गणना के गुण
• उत्पाद नियम – किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र
• पारस्परिक नियम – अवकलन नियम
• व्युत्पन्न की तालिका – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
• सदिश कलन पहचान – गणितीय पहचान

संदर्भ