संयुग्म चर

For conjugate variables in context of thermodynamics, see Conjugate variables (thermodynamics).

संयुग्म चर गणितीय रूप से परिभाषित चर के जोड़े हैं इस तरह से कि वे फूरियर रूपांतरण डुअल (गणित) बन जाते हैं, या अधिक सामान्यतः पोंट्रीगिन द्वैत के माध्यम से संबंधित हैं। द्वैत संबंध स्वाभाविक रूप से एक अनिश्चितता संबंध की ओर ले जाते हैं - भौतिकी में हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत कहा जाता है - उनके बीच। गणितीय शब्दों में, संयुग्म चर एक सहानुभूतिपूर्ण आधार का हिस्सा हैं, और अनिश्चितता का संबंध सहानुभूतिपूर्ण रूप से मेल खाता है। इसके अलावा, संयुग्म चर नोएदर के प्रमेय से संबंधित हैं, जो बताता है कि यदि भौतिकी के नियम एक संयुग्म चर में परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं, तो अन्य संयुग्म चर समय के साथ नहीं बदलेगा (अर्थात इसे संरक्षित किया जाएगा)।

उदाहरण

एक निश्चित प्रणाली क्या कर रही है (या उसके अधीन किया जा रहा है) के प्रकार के आधार पर कई प्रकार के संयुग्म चर हैं। प्रामाणिक रूप से संयुग्मित चर के उदाहरणों में निम्नलिखित शामिल हैं:

• समय और आवृत्ति: एक संगीत स्वर जितने लंबे समय तक टिका रहता है, उतनी ही सटीक रूप से हम उसकी आवृत्ति को जानते हैं, लेकिन यह एक लंबी अवधि तक फैला होता है और इस प्रकार समय में अधिक वितरित घटना या 'तत्काल' होता है। इसके विपरीत, एक बहुत छोटा संगीत नोट केवल एक क्लिक बन जाता है, और इसलिए अधिक अस्थायी रूप से स्थानीयकृत होता है, लेकिन कोई इसकी आवृत्ति को बहुत सटीक रूप से निर्धारित नहीं कर सकता है।
• डॉपलर प्रभाव और तिरछी सीमा: जितना अधिक हम जानते हैं कि एक राडार लक्ष्य कितनी दूर है, उतना ही कम हम दृष्टिकोण या पीछे हटने के सटीक वेग के बारे में जान सकते हैं, और इसके विपरीत। इस मामले में, डॉपलर और रेंज के द्वि-आयामी कार्य को रडार अस्पष्टता फ़ंक्शन या रडार अस्पष्टता आरेख के रूप में जाना जाता है।
• भूतल ऊर्जा: γ dA (γ = पृष्ठ तनाव; A = पृष्ठीय क्षेत्रफल)।
• इलास्टिक स्ट्रेचिंग: F dL (F = इलास्टिक बल; L लंबाई खिंची हुई)।

क्रिया के डेरिवेटिव्स

शास्त्रीय भौतिकी में, क्रिया के व्युत्पन्न (भौतिकी) मात्रा के संयुग्म चर होते हैं जिसके संबंध में कोई अंतर कर रहा है। क्वांटम यांत्रिकी में, चर के ये समान जोड़े हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा संबंधित हैं।

• एक निश्चित घटना (सापेक्षता) पर एक कण की ऊर्जा घटना के समय के संबंध में उस घटना पर समाप्त होने वाले उस कण के प्रक्षेपवक्र के साथ क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
• किसी कण का रैखिक संवेग उसकी स्थिति (वेक्टर) के संबंध में उसकी क्रिया का व्युत्पन्न है।
• किसी कण का कोणीय संवेग उसके अभिविन्यास (ज्यामिति) (कोणीय स्थिति) के संबंध में उसकी क्रिया का व्युत्पन्न है।
• द्रव्यमान-क्षण ($\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$) एक कण का इसकी गति के संबंध में इसकी क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
• किसी घटना पर विद्युत क्षमता (φ, वोल्टेज) उस घटना पर (मुक्त) विद्युत आवेश के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
• एक घटना में चुंबकीय सदिश क्षमता ('ए') उस घटना में (मुक्त) विद्युत प्रवाह के घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया का व्युत्पन्न है।
• किसी घटना में विद्युत क्षेत्र ('ई') उस घटना पर विद्युत ध्रुवीकरण घनत्व के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया का व्युत्पन्न है।
• किसी घटना में चुंबकीय क्षेत्र ('बी') उस घटना पर चुंबकीयकरण के संबंध में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया का व्युत्पन्न होता है।
• किसी घटना में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षमता उस घटना के द्रव्यमान घनत्व के संबंध में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की क्रिया के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।

क्वांटम सिद्धांत

क्वांटम यांत्रिकी में, संयुग्मित चरों को वेधशालाओं के जोड़े के रूप में महसूस किया जाता है जिनके ऑपरेटर कम्यूट नहीं करते हैं। पारंपरिक शब्दावली में, उन्हें असंगत वेधशाला कहा जाता है। एक उदाहरण के रूप में, स्थिति द्वारा दी गई मापने योग्य मात्राओं पर विचार करें $\left(x\right)$ और गति $\left(p\right)$. क्वांटम-यांत्रिक औपचारिकता में, दो वेधशालाएँ $x$ और $p$ ऑपरेटरों के अनुरूप ${\widehat {x}}$ और ${\widehat {p\,}}$, जो आवश्यक रूप से विहित रूपांतरण संबंध को संतुष्ट करते हैं:

$$[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar$$

दो ऑपरेटरों के प्रत्येक गैर-शून्य कम्यूटेटर के लिए, एक अनिश्चितता सिद्धांत मौजूद है, जिसे हमारे वर्तमान उदाहरण में इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$$

इस अपरिभाषित संकेतन में, $\Delta x$ और $\Delta p$ एक साथ विशिष्टता में अनिश्चितता को निरूपित करें $x$ और $p$. मानक विचलन को शामिल करने वाला एक अधिक सटीक, और सांख्यिकीय रूप से पूर्ण विवरण $\sigma$ पढ़ता है:

$$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$$

अधिक आम तौर पर, किसी भी दो वेधशालाओं के लिए $A$ और $B$ ऑपरेटरों के अनुरूप ${\widehat {A}}$ और ${\widehat {B}}$, सामान्यीकृत अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा दिया गया है:

$${\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{\widehat {A}},{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}$$

अब मान लीजिए कि हम स्पष्ट रूप से दो विशेष ऑपरेटरों को परिभाषित करते हैं, प्रत्येक को एक विशिष्ट गणितीय रूप निर्दिष्ट करते हैं, जैसे कि जोड़ी पूर्वोक्त कम्यूटेशन संबंध को संतुष्ट करती है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि ऑपरेटरों की हमारी विशेष पसंद सामान्य बीजगणितीय संरचना के कई समतुल्य, या आइसोमोर्फिक में से एक को दर्शाती है, जो मूल रूप से क्वांटम यांत्रिकी की विशेषता है। हाइजेनबर्ग ले बीजगणित द्वारा औपचारिक रूप से सामान्यीकरण प्रदान किया जाता है ${\mathfrak {h}}_{3}$, इसी समूह के साथ जिसे हाइजेनबर्ग समूह कहा जाता है $H_{3}$.

द्रव यांत्रिकी

हैमिल्टनियन द्रव यांत्रिकी और क्वांटम हाइड्रोडायनामिक्स में, क्रिया (भौतिकी) स्वयं (या वेग क्षमता) घनत्व (या प्रायिकता घनत्व) का संयुग्म चर है।

यह भी देखें

• विहित निर्देशांक

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