ज्या नियम

This article is about the law of sines in trigonometry. For the law of sines in physics, see Snell's law.

Law of Sines

File:Law of sines in plane trigonometry-20201220.svg

Figure 1, With circumcircle

File:Law of sines (simple).svg

Figure 2, Without circumcircle

Two triangles labelled with the components of the law of sines. α, β and γ are the angles associated with the vertices at capital A, B, and C, respectively. Lower-case a, b, and c are the lengths of the sides opposite them. (a is opposite α, etc.)

[[त्रिकोणमिति]] में, ज्या का नियम, ज्या नियम, ज्या सूत्र, या साइन नियम किसी भी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को उसके कोणों की ज्या से संबंधित समीकरण है। कानून के अनुसार,

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,$$

कहां a, b, और c एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं, और α, β, और γ विपरीत कोण हैं (आकृति 2 देखें), जबकि R त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या है। जब समीकरण के अंतिम भाग का उपयोग नहीं किया जाता है, तो कानून को कभी-कभी गुणक व्युत्क्रम का उपयोग करके कहा जाता है;

$${\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.$$

ज्या के नियम का उपयोग त्रिभुज की शेष भुजाओं की गणना करने के लिए किया जा सकता है जब दो कोण और एक भुजा ज्ञात हो—एक तकनीक जिसे त्रिभुजन के रूप में जाना जाता है। इसका उपयोग तब भी किया जा सकता है जब दो भुजाएँ और एक असंबद्ध कोण ज्ञात हो। ऐसे कुछ मामलों में, त्रिभुज इस डेटा द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होता है (जिसे अस्पष्ट मामला कहा जाता है) और तकनीक संलग्न कोण के लिए दो संभावित मान देती है।

ज्या का नियम दो त्रिकोणमितीय समीकरणों में से एक है, जिसे आमतौर पर त्रिभुज#प्रकार के त्रिभुज में लंबाई और कोण खोजने के लिए लागू किया जाता है, जबकि दूसरा कोसाइन का नियम है।

ज्या के नियम को निरंतर वक्रता वाली सतहों पर उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

इतिहास

Ubiratan D'Ambrosio और Helaine Selin के अनुसार, ज्या के गोलाकार नियम की खोज 10वीं शताब्दी में हुई थी। इसे अबू-महमूद खोजंदी, अबू अल-वफा 'बुज्जानी, नासिर अल-दीन अल-तुसी और अबू नासिर मंसूर के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। इब्न मुआद अल-जैयानी की 11वीं शताब्दी में एक गोले के अज्ञात चापों की पुस्तक में जीवाओं का सामान्य नियम शामिल है। 13वीं शताब्दी में नासिर अल-दीन अल-तुसी द्वारा सीन्स के विमान नियम को बाद में कहा गया था। अपने ऑन द सेक्टर चित्र में, उन्होंने समतल और गोलीय त्रिभुजों के लिए ज्या के नियम को बताया, और इस नियम के लिए प्रमाण प्रदान किए। ग्लेन वान ब्रुमेलेन के अनुसार, सिन्स का कानून वास्तव में पुस्तक IV में समकोण त्रिभुजों के समाधान के लिए रेजीओमोंटानस की नींव है, और ये समाधान बदले में सामान्य त्रिकोणों के उनके समाधान के लिए आधार हैं। रेजीओमोंटानस 15वीं सदी का जर्मन गणितज्ञ था।

प्रमाण

क्षेत्र T किसी भी त्रिभुज की ऊंचाई को उसके आधार के आधे गुणा उसकी ऊंचाई के रूप में लिखा जा सकता है। त्रिभुज की एक भुजा को आधार के रूप में चुनते हुए, उस आधार के सापेक्ष त्रिभुज की ऊँचाई की गणना चुनी हुई भुजा और आधार के बीच के कोण की ज्या की दूसरी भुजा की लंबाई के रूप में की जाती है। इस प्रकार आधार के चयन के आधार पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल इनमें से किसी भी रूप में लिखा जा सकता है:

$$T={\frac {1}{2}}b\left(c\sin {\alpha }\right)={\frac {1}{2}}c\left(a\sin {\beta }\right)={\frac {1}{2}}a\left(b\sin {\gamma }\right).$$

इनका गुणा करके 2/abc देता है

$${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin {\alpha }}{a}}={\frac {\sin {\beta }}{b}}={\frac {\sin {\gamma }}{c}}\,.$$

त्रिभुज समाधान का अस्पष्ट मामला

ज्या के नियम का उपयोग करते हुए त्रिभुज की एक भुजा का पता लगाना, एक अस्पष्ट मामला तब होता है जब प्रदान किए गए डेटा से दो अलग-अलग त्रिभुज बनाए जा सकते हैं (अर्थात, त्रिभुज के दो अलग-अलग संभावित समाधान हैं)। नीचे दिखाए गए मामले में वे त्रिभुज हैं ABC और ABC′.

एक सामान्य त्रिकोण को देखते हुए, मामला अस्पष्ट होने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:

• त्रिभुज के बारे में केवल ज्ञात जानकारी ही कोण है α और पक्ष a और c.
• कोण α कोण है#कोणों के प्रकार (अर्थात, α <90 डिग्री)।
• पक्ष a भुजा से छोटा है c (अर्थात।, a < c).
• पक्ष a ऊंचाई से अधिक लंबा है h कोण से β, कहां h = c sin α (अर्थात।, a > h).

यदि उपरोक्त सभी शर्तें सत्य हैं, तो प्रत्येक कोण β और β′ एक वैध त्रिभुज उत्पन्न करता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित दोनों सत्य हैं:

$${\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.$$

वहां से हम संबंधित पा सकते हैं β और b या β′ और b′ यदि आवश्यक हो, जहां b शीर्षों से घिरा पक्ष है A और C और b′ से घिरा हुआ है A और C′.

उदाहरण

साइन ऑफ लॉ का उपयोग करके किसी समस्या को कैसे हल किया जाए, इसके उदाहरण निम्नलिखित हैं।

उदाहरण 1

File:Law of sines (example 01).svg

उदाहरण 1

दिया गया: पक्ष a = 20, पक्ष c = 24, और कोण γ = 40°. कोण α वांछित है।

ज्या के नियम का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

$${\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.$$

$$\alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$$

ध्यान दें कि संभावित समाधान α = 147.61° बाहर रखा गया है क्योंकि वह अनिवार्य रूप से देगा α + β + γ > 180°.

उदाहरण 2

File:Law of sines (example 02).svg

उदाहरण 2

यदि त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई a और b के बराबर हैं x, तीसरी भुजा की लंबाई है c, और लंबाई की भुजाओं के विपरीत कोण a, b, और c हैं α, β, और γ क्रमशः तब

$${\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}$$

परिवृत्त से संबंध

पहचान में

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},$$

तीन भिन्नों का सामान्य मान वास्तव में त्रिभुज के परिवृत्त का व्यास है। यह परिणाम टॉलेमी के समय का है।

File:Sinelaw radius (Greek angles).svg

परिधि वाले व्यास के बराबर साइन कानून के अनुपात को व्युत्पन्न करना। ध्यान दें कि त्रिभुज ADB व्यास के साथ परिधि वाले वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है d.

प्रमाण

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, चलो खुदा हुआ एक चक्र है $\triangle ABC$ और दूसरा अंकित है $\triangle ADB$ जो वृत्त के केंद्र O से होकर जाता है। $\angle AOD$ h> का एक केंद्रीय कोण है $180^{\circ }$ और इस तरह $\angle ABD=90^{\circ }$. तब से $\triangle ABD$ एक समकोण त्रिभुज है,

$$\sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},$$

कहां $R={\frac {d}{2}}$ त्रिभुज के परिगत वृत्त की त्रिज्या है।कोणों ${\gamma }$ और ${\delta }$ समान केंद्रीय कोण हैं इसलिए वे समान हैं: ${\gamma }={\delta }$. इसलिए,

$$\sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.$$

पैदावार को पुनर्व्यवस्थित करना

$$2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.$$

बनाने की प्रक्रिया को दोहराता है $\triangle ADB$ अन्य बिंदुओं के साथ देता है

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.$

त्रिभुज के क्षेत्रफल से संबंध

त्रिभुज का क्षेत्रफल किसके द्वारा दिया गया है ${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$, कहां $\theta$ लम्बाई की भुजाओं से घिरा कोण है a और b. इस समीकरण में ज्या नियम को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है

$$T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.$$

ले रहा $R$ परिधि त्रिज्या के रूप में,

$T={\frac {abc}{4R}}.$

यह भी दिखाया जा सकता है कि यह समानता निहित है

$${\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}$$

कहां T त्रिभुज का क्षेत्रफल है और s अर्द्धपरिधि है ${\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$ उपरोक्त दूसरी समानता आसानी से क्षेत्र के लिए हेरॉन के सूत्र को सरल बनाती है।

त्रिकोण के क्षेत्र के लिए निम्नलिखित सूत्र को प्राप्त करने के लिए साइन नियम का भी उपयोग किया जा सकता है: ${\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}$, अपने पास

$T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}$

कहां $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है: ${\textstyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$.

ज्या का गोलाकार नियम

ज्या का गोलाकार नियम एक गोले पर त्रिभुजों से संबंधित है, जिसकी भुजाएँ बड़े वृत्तों के चाप हैं।

मान लीजिए गोले की त्रिज्या 1 है। मान लीजिए a, b, और c त्रिभुज की भुजाओं वाले महा-चापों की लंबाई हो। क्योंकि यह एक इकाई क्षेत्र है, a, b, और c रेडियन में, उन चापों द्वारा गोले के केंद्र में अंतरित कोण हैं। होने देना A, B, और C उन संबंधित भुजाओं के विपरीत कोण बनें। ये तीन बड़े वृत्तों के तलों के बीच द्वितल कोण हैं।

फिर ज्या का गोलाकार नियम कहता है:

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$$

File:Spherical trigonometry vectors.svg

वेक्टर सबूत

तीन इकाई सदिशों के साथ एक इकाई गोले पर विचार करें OA, OB और OC त्रिभुज के मूल से शीर्ष तक खींचा गया। इस प्रकार कोण α, β, और γ कोण हैं a, b, और c, क्रमश। चाप BC परिमाण का कोण घटाता है a केंद्र में। के साथ एक कार्टेशियन आधार का परिचय दें OA साथ में z-अक्ष और OB में xz-विमान एक कोण बना रहा है c उसके साथ z-एक्सिस। सदिश OC परियोजनाओं के लिए ON में xy-तल और बीच का कोण ON और यह x-अक्ष है A. इसलिए, तीन वैक्टरों में घटक होते हैं:

$$\mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.$$

स्केलर ट्रिपल उत्पाद, OA ⋅ (OB × OC) गोलीय त्रिभुज के शीर्षों की स्थिति सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन है OA, OB और OC. यह मात्रा प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशिष्ट समन्वय प्रणाली के लिए अपरिवर्तनीय है OA, OB और OC. स्केलर ट्रिपल उत्पाद का मूल्य OA ⋅ (OB × OC) है 3 × 3 के साथ निर्धारक OA, OB और OC इसकी पंक्तियों के रूप में। उसके साथ z-अक्ष साथ OA इस निर्धारक का वर्ग है

$${\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}$$

इस गणना को दोहराते हुए z-अक्ष साथ OB देता है (sin c sin a sin B)², जबकि के साथ z-अक्ष साथ OC यह है (sin a sin b sin C)². इन भावों की बराबरी करना और भर में विभाजित करना (sin a sin b sin c)² देता है

$${\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},$$

कहां V गोलीय त्रिभुज के शीर्षों की स्थिति सदिश द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का आयतन है। नतीजतन, परिणाम इस प्रकार है।

यह देखना आसान है कि छोटे गोलाकार त्रिभुजों के लिए, जब गोले की त्रिज्या त्रिभुज की भुजाओं की तुलना में बहुत अधिक होती है, तो यह सूत्र सीमा पर तलीय सूत्र बन जाता है, क्योंकि

$$\lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1$$

और उसी के लिए sin b और sin c.

मैं तुम्हें गले लगाता हूं, मैं तुम्हें गले लगाता हूं

ज्यामितीय प्रमाण

एक इकाई क्षेत्र पर विचार करें:

$$OA=OB=OC=1$$

निर्माण बिंदु $D$ और बिंदु $E$ ऐसा है कि $\angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }$ निर्माण बिंदु $A'$ ऐसा है कि $\angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }$ इसलिए यह देखा जा सकता है $\angle ADA'=B$ और $\angle AEA'=C$ नोटिस जो $A'$ का प्रक्षेपण है $A$ विमान पर $OBC$. इसलिए $\angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }$ मूल त्रिकोणमिति द्वारा, हमारे पास है:

$$AD=\sin c$$

$$AE=\sin b$$

लेकिन $AA'=AD\sin B=AE\sin C$ उन्हें मिलाकर हमारे पास है:

$$\sin c\sin B=\sin b\sin C$$

$${\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

इसी तरह के तर्क को लागू करने से, हमें ज्या का गोलीय नियम प्राप्त होता है:

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

See also: Spherical trigonometry, Spherical law of cosines, and Half-side formula

अन्य प्रमाण

कोसाइन के गोलीय नियम से विशुद्ध रूप से बीजगणितीय प्रमाण का निर्माण किया जा सकता है। पहचान से $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$ और के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति $\cos A$ कोसाइन के गोलाकार नियम से

$${\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}$$

चूंकि दाहिने हाथ की ओर एक चक्रीय क्रमचय के तहत अपरिवर्तनीय है $a,\;b,\;c$ गोलाकार साइन नियम तुरंत पालन करता है।

ऊपर ज्यामितीय प्रमाण में प्रयुक्त आकृति द्वारा प्रयोग किया गया है और बनर्जी में भी प्रदान किया गया है (इस पेपर में चित्र 3 देखें) प्रारंभिक रेखीय बीजगणित और प्रक्षेपण मैट्रिसेस का उपयोग करके साइन कानून प्राप्त करने के लिए।

अतिशयोक्तिपूर्ण मामला

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में जब वक्रता -1 होती है, ज्या का नियम बन जाता है

$${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.$$

विशेष मामले में जब B एक समकोण है, एक प्राप्त करता है

$$\sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}$$

जो कि यूक्लिडियन ज्यामिति में सूत्र का अनुरूप है जो एक कोण की ज्या को कर्ण द्वारा विभाजित विपरीत भुजा के रूप में व्यक्त करता है।

See also: Hyperbolic triangle

निरंतर वक्रता की सतहों का मामला

एक वास्तविक पैरामीटर के आधार पर, सामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन को परिभाषित करें K:

$$\sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .$$

निरंतर वक्रता में ज्या का नियम K के रूप में पढ़ता है

$${\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.$$

प्रतिस्थापित करके K = 0, K = 1, और K = −1, ऊपर वर्णित ज्या के नियम के क्रमशः यूक्लिडियन, गोलाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण मामलों को प्राप्त करता है।

होने देना p_K(r) त्रिज्या के एक वृत्त की परिधि को इंगित करें r निरंतर वक्रता के स्थान में K. फिर p_K(r) = 2π sin_K r. अतः ज्या के नियम को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:

$${\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{p_{K}(c)}}\,.$$

इस सूत्रीकरण की खोज जानोस बोल्याई ने की थी।

उच्च आयाम

एक के लिए n-विमीय सिंप्लेक्स (यानी, त्रिकोण (n = 2), चतुष्फलक (n = 3), पेंटाटोप (n = 4), आदि) में nआयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, ध्रुवीय ज्या का निरपेक्ष मान (psin) पहलू (ज्यामिति) के सामान्य वैक्टर जो एक शीर्ष (ज्यामिति) पर मिलते हैं, शीर्ष के विपरीत पहलू के हाइपरएरिया द्वारा विभाजित शीर्ष की पसंद से स्वतंत्र है। लिखना V के हाइपरवॉल्यूम के लिए n-आयामी सिंप्लेक्स और P इसके हाइपरएरिया के उत्पाद के लिए (n − 1)-आयामी पहलू, सामान्य अनुपात है

$${\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.$$

उदाहरण के लिए, एक चतुष्फलक में चार त्रिभुजाकार फलक होते हैं। सामान्य सदिशों के ध्रुवीय ज्या का निरपेक्ष मान तीन पहलुओं को साझा करता है जो एक शीर्ष साझा करते हैं, चौथे पहलू के क्षेत्र से विभाजित शीर्ष की पसंद पर निर्भर नहीं होगा:

$${\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{1}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{2}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{3}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} )\right|}{\mathrm {Area} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {Area} _{1}\mathrm {Area} _{2}\mathrm {Area} _{3}\mathrm {Area} _{4}}}\,.\end{aligned}}$$

यह भी देखें

• गर्सोनाइडेस
• आधा पक्ष सूत्र – गोलाकार त्रिभुजों को हल करने के लिए
• कोसाइन का नियम
• [[स्पर्शरेखा का नियम]]
• स्पर्शरेखा का नियम
• मोल्वाइड का सूत्र – त्रिकोण के समाधान की जाँच के लिए
• त्रिभुजों का हल
• सर्वे करना

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• गोलाकार त्रिकोण
• भूमि की नाप

बाहरी कड़ियाँ

• "Sine theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• The Law of Sines at cut-the-knot
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized law of sines to higher dimensions

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