समीकरण गुणांक

गणित में, गुणांकों को समान करने की विधि कई अज्ञात मापदंडों के लिए बहुपद जैसे दो भावों के कार्यात्मक समीकरण को हल करने की विधि है। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि दो व्यंजक स्पष्ट रूप से समान होते हैं जब संगत गुणांक प्रत्येक भिन्न प्रकार के पद के लिए समान होते हैं। सूत्रों को वांछित रूप में लाने के लिए विधि का उपयोग किया जाता है।

वास्तविकिक अंशों में उदाहरण

मान लीजिए कि हम अभिव्यक्ति के आंशिक अंश अपघटन को प्रयुक्त करना चाहते हैं:

${\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,$

अर्थात हम इसे रूप में लाना चाहते हैं:

${\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,$

जिसमें अज्ञात मापदंडों A, B और C हैं। इन सूत्रों को x(x − 1)(x − 2) से गुणा करने पर दोनों बहुपद बन जाते हैं, जिनकी हम सामान्यता करते हैं:

$A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,$

या, x की समान घात के साथ विस्तार और संग्रह करने के बाद:

$(A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,$

इस बिंदु पर यह प्राप्त करना आवश्यक है कि बहुपद 1 वास्तविक में बहुपद 0x² + 0x + 1 के सामान्य है. सकारात्मक घात के लिए शून्य गुणांक वाले। संबंधित गुणांकों को सामान्य करने से अब रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली का परिणाम मिलता है:

$A+B+C=0,\,$

$3A+2B+C=0,\,$

$2A=1.\,$

इसे हल करने का परिणाम है:

$A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,$

नेस्टेड रेडिकल्स में उदाहरण

यदि हम नेस्टेड रेडिकल्स ${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}$ को डी-नेस्ट करना चाहते हैं, तो एक समान समस्या के गुणांकों के अतिरिक्त समान नियम को सम्मिलित करने से उत्पन्न होती है समतुल्य व्यंजक प्राप्त करने के लिए जिसमें स्वयं वर्गमूल वाले व्यंजक का वर्गमूल सम्मिलित न हो, हम परिमेय संख्या प्राचलों d, e के अस्तित्व की कल्पना कर सकते हैं जैसे कि

${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

$a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.$

d और e प्राप्त के लिए हम वर्ग जड़ों को सम्मिलित नहीं करने वाली नियम को सामान्य करते हैं, इसलिए $a=d+e,$ और रेडिकल्स से जुड़े हिस्सों की सामान्यता करें, इसलिए $b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}$ जब वर्गीकित किया जाता है जब $b^{2}c=4de.$ का अर्थ होता है।है यह हमें वांछित मापदंडों d और e में दो समीकरण, एक द्विघात बहुपद और एक रैखिक देता है, और ये नेस्टेड रेडिकल या डेनेस्टिंग नेस्टेड रेडिकल प्राप्त करने के लिए

$e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

$d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

जो एक मान्य समाधान युग्म है यदि ${\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ एक परिमेय संख्या है।

समीकरणों की रैखिक निर्भरता के लिए परीक्षण का उदाहरण

इस अतिनिर्धारित प्रणाली पर विचार करें (सिर्फ 2 अज्ञात में 3 समीकरणों के साथ):

$x-2y+1=0,$

$3x+5y-8=0,$

$4x+3y-7=0.$

यह परीक्षण करने के लिए कि क्या तीसरा समीकरण पहले दो पर रैखिक निर्भरता है, दो मापदंडों a और b को ऐसे मान लें कि पहले समीकरण का a गुना और दूसरे समीकरण का b गुना तीसरा समीकरण के सामान्य है। चूंकि यह सदैव दाएं पक्षों के लिए होता है, जिनमें से सभी 0 हैं, हमें केवल इसे बाएं पक्षों के लिए भी रखने की आवश्यकता है:

$$