असंगत प्रवाह

द्रव यांत्रिकी या अधिक सामान्यतः सातत्य यांत्रिकी में, असंपीड्य प्रवाह (आइसोकोरिक प्रवाह) एक प्रवाह को संदर्भित करता है जिसमें द्रव पार्सल के भीतर सामग्रीघनत्व स्थिर होता है - एक असीम मात्रा जोप्रवाह वेग के साथ चलती है। एक समतुल्य कथन जो असंपीड्यता का तात्पर्य है कि प्रवाह वेग काविचलन शून्य है।

असंगत प्रवाह का अर्थ यह नहीं है कि तरल पदार्थ स्वयं अक्षम्य है। यह नीचे की व्युत्पत्ति में दिखाया गया है कि (सही परिस्थितियों में) संपीड़ित तरल पदार्थ भी - एक अच्छे सन्निकटन के लिए - एक असंगत प्रवाह के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। असंगत प्रवाह का तात्पर्य है कि घनत्व द्रव के एक पार्सल के अन्दर स्थिर रहता है जो प्रवाह वेग के साथ चलता है।

व्युत्पत्ति

असंगत प्रवाह के लिए मौलिक आवश्यकता यह है कि घनत्व, $\rho$, एक छोटे तत्व आयतन, डीवी के अन्दर स्थिर है, जो प्रवाह वेग 'U' पर चलता है। गणितीय रूप से, इस बाधा का तात्पर्य है कि घनत्व की द्रव्य व्युत्पन्न को अपूर्ण प्रवाह सुनिश्चित करने के लिए गायब हो जाना चाहिए। इस बाधा को आरंभ करने से पहले, हमें आवश्यक संबंध उत्पन्न करने के लिए द्रव्यमान के संरक्षण को प्रायौगिक करना होगा। द्रव्यमान की गणना घनत्व के एकआयत अभिन्न अंग द्वारा की जाती है, $\rho$:

${m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.$

द्रव्यमान के संरक्षण के लिए आवश्यक है कि नियंत्रण आयतन के अंदर द्रव्यमान का समय व्युत्पन्न द्रव्यमान प्रवाह,J के बराबर हो, इसकी सीमाओं के पार गणितीय रूप से, हम सतह अभिन्न के संदर्भ में इस बाधा का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

${\partial m \over \partial t}=-$ File:OiintLaTeX.svg$S$ $\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

उपरोक्त अभिव्यक्ति में नकारात्मक संकेत यह सुनिश्चित करता है कि बाहरी प्रवाह के परिणामस्वरूप समय के संबंध में द्रव्यमान में कमी आती है, इस फलन का उपयोग करते हुए कि सतह क्षेत्र वेक्टर बाहर की ओर इंगित करता है। अब, विचलन प्रमेय का उपयोग करके हम प्रवाह और आंशिक समय व्युत्पन्न के बीच संबंध को प्राप्त कर सकते हैं:

${\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},$

इसलिए:

${\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .$

असंगत प्रवाह सुनिश्चित करने के लिए समय के संबंध में घनत्व के आंशिक व्युत्पन्न को गायब होने की आवश्यकता नहीं है। जब हम समय के संबंध में घनत्व के आंशिक व्युत्पन्न की बात करते हैं, तो हम निश्चित स्थिति के नियंत्रण मात्रा के अन्दर परिवर्तन की इस दर को संदर्भित करते हैं। घनत्व के आंशिक समय व्युत्पन्न को गैर-शून्य होने देने से, हम खुद को असंगत तरल पदार्थों तक सीमित नहीं कर रहे हैं, चूंकि घनत्व एक निश्चित स्थिति से देखा जा सकता है चूंकि द्रव नियंत्रण मात्रा के माध्यम से प्रवाहित होता है। यह दृष्टिकोण व्यापकता को बनाए रखता है, और यह आवश्यक नहीं है कि घनत्व के गायब होने का आंशिक समय व्युत्पन्न दिखाता है कि संपीड़ित तरल पदार्थ अभी भी असंगत प्रवाह से प्रासंगिक होते हैं। क्या रुचियां हमें एक नियंत्रण मात्रा के घनत्व में परिवर्तन है जो प्रवाह वेग, 'यू' के साथ चलती है। प्रवाह निम्न कार्य के माध्यम से प्रवाह वेग से संबंधित है:

${\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.$

ताकि द्रव्यमान के संरक्षण का अर्थ है कि:

${\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.$

पिछला संबंध (जहां हमने उपयुक्त वेक्टर कैलकुलस पहचान का उपयोग किया है) निरंतरता समीकरण के रूप में जाना जाता है। अब, हमें घनत्व केकुल व्युत्पन्न के बारे में निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है (जहां हमश्रृंखला नियम लागू करते हैं):

${\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.$

इसलिए यदि हम एक नियंत्रण आयतन चुनते हैं जो द्रव के समान गति से चल रहा है (अर्थात (dx/dt, & nbsp; dy/dt, & nbsp; dz/dt) & nbsp; = & nbsp; 'u') तो यह अभिव्यक्ति सामग्री व्युत्पन्न को सरल बनाती है:

${D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.$

और इसलिए ऊपर दिए गए निरंतरता समीकरण का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि:

${D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.$

समय के साथ घनत्व में बदलाव का अर्थ यह होगा कि द्रव या तो संकुचित या विस्तारित हो गया था (या यह कि हमारे निरंतर मात्रा में निहित द्रव्यमान, डीवी, बदल गया था), जिसे हमने निषिद्ध कर दिया है। हमें तब आवश्यकता होनी चाहिए कि घनत्व की सामग्री व्युत्पन्न गायब हो जाए, और समकक्ष (गैर-शून्य घनत्व के लिए) इसलिए प्रवाह वेग का विचलन होना चाहिए:

${\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.$

और इसलिए द्रव्यमान के संरक्षण और बाधा के साथ प्रारंभ करते हुए द्रव की गतिमान मात्रा के भीतर घनत्व स्थिर रहता है, यह दिखाया गया है कि असंगत प्रवाह के लिए आवश्यक एक समतुल्य स्थिति यह है कि प्रवाह वेग का विचलन गायब हो जाता है।

संपीड़ितता से संबंध

कुछ क्षेत्रों में, दबाव भिन्नताओं के परिणामस्वरूप घनत्व में परिवर्तन प्रवाह की असंगतता का एक उपाय है। यह संपीड्यता के संदर्भ में सबसे अच्छा व्यक्त किया गया है

$\beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.$

यदि संपीड़ितता स्वीकार्य रूप से छोटी है, तो प्रवाह को असंगत माना जाता है।

सोलेनोइडल क्षेत्र से संबंध

एक असंगत प्रवाह को एक सोलनोइडल प्रवाह वेग क्षेत्र द्वारा वर्णित किया गया है। परंतु एक परिनालिका क्षेत्र, एक शून्य विचलन होने के अतिरिक्त, गैर-शून्य कर्ल (अर्थात, घूर्णी घटक) होने का अतिरिक्त अर्थ भी रखता है।

अन्यथा, यदि एक असंगत प्रवाह में शून्य का एक कर्ल भी होता है, तो यह एक अप्रिय क्षेत्र भी है, तो प्रवाह वेग क्षेत्र वास्तव मेंलाप्लासियन वेक्टर क्षेत्र है।

सामग्री से अंतर

जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है, एक असंगत (आइसोचोरिक) प्रवाह वह है जिसमें

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,$

यह कहने के बराबर है

$\frac{D\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{Dt}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}+$