क्लोजर ऑपरेटर

गणित में, एक सेट (गणित) S पर एक क्लोजर ऑपरेटर एक फंक्शन (गणित) है $\operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)$ S के घात समुच्चय से स्वयं तक जो सभी समुच्चयों के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है $X,Y\subseteq S$

$X\subseteq \operatorname {cl} (X)$	(cl विस्तृत है),
$X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)$	(cl वृद्धि हो रही है ),
$\operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)$	(cl वर्गसम है).

क्लोजर ऑपरेटरों को उनके बंद सेटों द्वारा निर्धारित किया जाता है, यानी, फॉर्म सीएल (एक्स) के सेट द्वारा, क्योंकि सेट 'एक्स' का क्लोजर सीएल (एक्स) सबसे छोटा बंद सेट है 'एक्स' युक्त। बंद सेटों के ऐसे परिवारों को कभी-कभी क्लोजर सिस्टम या मूर परिवार कहा जाता है क्लोजर ऑपरेटर के साथ एक सेट को कभी-कभी क्लोजर स्पेस कहा जाता है। क्लोजर ऑपरेटरों को हल ऑपरेटर्स भी कहा जाता है, जो बिंदु-सेट टोपोलॉजी में अध्ययन किए गए क्लोजर ऑपरेटरों के साथ भ्रम को रोकता है।

इतिहास

ईएच मूर ने अपने 1910 के परिचय में सामान्य विश्लेषण के एक रूप में क्लोजर ऑपरेटरों का अध्ययन किया, जबकि एक उपसमुच्चय को बंद करने की अवधारणा टोपोलॉजिकल स्पेस के संबंध में फ्रेडरिक रिज के काम में उत्पन्न हुई। हालांकि उस समय इसे औपचारिक रूप नहीं दिया गया था, लेकिन बंद करने का विचार 19वीं शताब्दी के अंत में अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) द्वारा उल्लेखनीय योगदान के साथ उत्पन्न हुआ। अर्नस्ट श्रोडर, रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर।

उदाहरण

टोपोलॉजी से सामान्य सेट क्लोजर (टोपोलॉजी) एक क्लोजर ऑपरेटर है। अन्य उदाहरणों में एक सदिश स्थान के उपसमुच्चय की रैखिक अवधि, एक सदिश स्थान के उपसमुच्चय का उत्तल हल या एफ़िन हल या निचला अर्धसतत हल शामिल हैं। ${\overline {f}}$ एक समारोह का $f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$, कहाँ $E$ उदा. एक आदर्श स्थान, निहित रूप से परिभाषित $\operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}$, कहाँ $\operatorname {epi} (f)$ एक फ़ंक्शन का एपिग्राफ (गणित) है $f$.

रिश्तेदार इंटीरियर $\operatorname {ri}$ क्लोजर ऑपरेटर नहीं है: हालांकि यह बेवकूफ है, यह बढ़ नहीं रहा है और यदि $C_{1}$ में घन है $\mathbb {R} ^{3}$ और $C_{2}$ उसके चेहरों में से एक है, फिर $C_{2}\subset C_{1}$, लेकिन $\operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})$ और $\operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset$इसलिए यह नहीं बढ़ रहा है। टोपोलॉजी में, क्लोजर ऑपरेटर कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्ध हैं, जिन्हें संतुष्ट करना चाहिए

$\operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})$

सभी के लिए $n\in \mathbb {N}$ (ध्यान दें कि के लिए $n=0$ यह देता है $\operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing$).

बीजगणित और तर्कशास्त्र में, कई क्लोजर ऑपरेटर अंतिम क्लोजर ऑपरेटर हैं, यानी वे संतुष्ट हैं

$\operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ and }}Y{\text{ finite}}\right\}.$

आंशिक रूप से आदेशित सेट के सिद्धांत में, जो सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं, बंद करने वाले ऑपरेटरों की एक अधिक सामान्य परिभाषा है जो प्रतिस्थापित करती है $\subseteq$ साथ $\leq$. (देखना § Closure operators on partially ordered sets.)

टोपोलॉजी में क्लोजर ऑपरेटर

Main article: Kuratowski closure axioms

एक टोपोलॉजिकल स्पेस के एक सबसेट एक्स के टोपोलॉजिकल क्लोजर में स्पेस के सभी बिंदु y होते हैं, जैसे कि y के हर पड़ोस (गणित) में X का एक बिंदु होता है। फंक्शन जो हर सबसेट X को बंद करता है, वह एक टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर है। . इसके विपरीत, एक सेट पर प्रत्येक टोपोलॉजिकल क्लोजर ऑपरेटर एक टोपोलॉजिकल स्पेस को जन्म देता है, जिसके बंद सेट क्लोजर ऑपरेटर के संबंध में बिल्कुल बंद सेट होते हैं।

बीजगणित में क्लोजर ऑपरेटर

फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर सार्वभौमिक बीजगणित में अपेक्षाकृत प्रमुख भूमिका निभाते हैं, और इस संदर्भ में उन्हें पारंपरिक रूप से बीजगणितीय क्लोजर ऑपरेटर कहा जाता है। एक संरचना (गणितीय तर्क) का प्रत्येक उपसमुच्चय एक उपसंरचना (गणित) उत्पन्न करता है: सबसे छोटा सबलजेब्रा जिसमें सेट होता है। यह एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर को जन्म देता है।

शायद इसके लिए सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण वह कार्य है जो किसी दिए गए सदिश स्थान के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसकी रैखिक अवधि से जोड़ता है। इसी तरह, फ़ंक्शन जो किसी दिए गए समूह (गणित) के प्रत्येक उपसमुच्चय से जुड़ा होता है, उसके द्वारा उत्पन्न उपसमूह, और इसी तरह फ़ील्ड (गणित) और अन्य सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए।

एक सदिश स्थान में रैखिक अवधि और एक क्षेत्र में समान बीजगणितीय समापन दोनों विनिमय संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: यदि x, A और {y} के मिलन के समापन में है, लेकिन A के संवरण में नहीं है, तो y संवरण में है A और {x} के मिलन का। इस संपत्ति के साथ एक फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर को मैट्रॉइड कहा जाता है। एक सदिश स्थान का आयाम (वेक्टर स्थान), या एक क्षेत्र की उत्कृष्टता की डिग्री (इसके प्रमुख क्षेत्र पर) बिल्कुल संबंधित मैट्रोइड का रैंक है।

फ़ंक्शन जो किसी दिए गए क्षेत्र (गणित) के प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके बीजगणितीय बंद करने के लिए मैप करता है, वह भी एक अंतिम समापन ऑपरेटर है, और सामान्य तौर पर यह पहले बताए गए ऑपरेटर से अलग है। फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर्स जो इन दोनों ऑपरेटरों को सामान्यीकृत करते हैं, उन्हें मॉडल सिद्धांत में dcl (निश्चित क्लोजर के लिए) और acl (बीजगणितीय क्लोजर के लिए) के रूप में अध्ययन किया जाता है।

एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्तल हल एक अंतिम क्लोजर ऑपरेटर का एक और उदाहरण है। यह एक्सचेंज विरोधी संपत्ति को संतुष्ट करता है: यदि x {y} और A के संघ के समापन में है, लेकिन {y} के संघ में नहीं है और A के समापन में है, तो y {के संघ के समापन में नहीं है। x} और ए। इस संपत्ति के साथ फ़िनिटरी क्लोजर ऑपरेटर [[antimatroid]] को जन्म देते हैं।

बीजगणित में उपयोग किए जान�