इकाई वेक्टर

Not to be confused with सदिश एक आधार है.

गणित में, सामान्यतया सदिश समष्टि में इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है। इकाई सदिश को प्रायः लोअरकेस अक्षर द्वारा सरकमफ्लेक्स या "हैट" के रूप में दर्शाया जाता है, जैसा कि

उच्चारण ${\hat {\mathbf {v} }}$-हैट के रूप में दर्शाया जाता है।

शब्द दिशा सदिश , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से इकाई वृत्त पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।

एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में इकाई सदिश के रूप में होता है जैसे ,

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है। सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी इकाई सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

इकाई सदिश को अधिकांशतः सदिश समष्टि के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है और समष्टि में प्रत्येक सदिश को इकाई सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

Main article: Standard basis

Unit vectors may be used to एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, एक तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z कुल्हाड़ियों की दिशा में मानक इकाई सदिश हैं

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल इकाई सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन (जैसे, i या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं ${\vec {\imath }}$) मानक इकाई सदिश संकेतन के अतिरिक्त (जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोटिस $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$, $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$, $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$, के साथ या उसके बिना#गणित, का भी उपयोग किया जाता है,विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम उत्पन्न कर सकता है (उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।

जब समष्टि में एक इकाई सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ इकाई सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (सदिश (ज्यामिति) के खंड) के अभिविन्यास (गणित) (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

See also: Jacobian matrix

The three orthogonal unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त सदिश हैं:

• ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (भी नामित $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करना जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु समरूपता अक्ष के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
• $\mathbf {\hat {z}}$, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करना;

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ द्वारा:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

सदिश ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य हैं $\varphi ,$ और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन इकाई सदिश को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव $\varphi$ हैं:

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .$

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई सदिश हैं: $\mathbf {\hat {r}}$, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई विमान वामावर्त में कोण बढ़ रहा है;और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, वह दिशा जिसमें सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है।प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण $\theta$ सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच झूठ बोलने के लिए लिया जाता है।यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि गोलाकार निर्देशांक में लिखे गए किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल के संदर्भ को नोट किया जाए, की भूमिकाओं के रूप में ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ अधिकांशतः उलट होते हैं।यहाँ, अमेरिकन फिजिक्स कन्वेंशन प्रयोग किया जाता है।यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है $\varphi$ बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:

$\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

गोलाकार इकाई सदिश दोनों पर निर्भर करते हैं $\varphi$ और $\theta$, और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं।अधिक पूर्ण विवरण के लिए, जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}$

${\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$

सामान्य इकाई वैक्टर

Main article: Orthogonal coordinates

Common themes of unit vectORS पूरे भौतिकी और ज्यामिति में होता है:

Unit vector	Nomenclature	Diagram
Tangent vector to a curve/flux line	$\mathbf {\hat {t}}$	"200px" "200px" A normal vector $\mathbf {\hat {n}}$ to the plane containing and defined by the radial position vector $r\mathbf {\hat {r}}$ and angular tangential direction of rotation $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component	$\mathbf {\hat {n}}$ In terms of polar coordinates; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
Binormal vector to tangent and normal	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$
Parallel to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	"200px" One unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ aligned parallel to a principal direction (red line), and a perpendicular unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ is in any radial direction relative to the principal line.
Perpendicular to some axis/line in some radial direction	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
Possible angular deviation relative to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	"200px" Unit vector at acute deviation angle φ (including 0 or π/2 rad) relative to a principal direction.

वक्रता निर्देशांक

सामान्यतः , एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई सदिश का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है $\mathbf {\hat {e}} _{n}$(वास्तविक संख्या समष्टि की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-समष्टि के लिए, इन सदिश को निरूपित किया जा सकता है $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$।यह लगभग हमेशा सुविधाजनक होता है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और दाहिने हाथ का नियम होना चाहिए। दाएं हाथ:

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}$

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}$

कहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है (जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और $\varepsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक है (जो कि IJK के रूप में आदेशित क्रम के लिए 1 है, और kji के रूप में आदेशित क्रमपरिवर्तन के लिए −1)।

राइट वर्सोर

में एक इकाई सदिश $\mathbb {R} ^{3}$ डब्ल्यू। आर। हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों को विकसित किया था $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$।वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में $q=s+v$ एक स्केलर भाग s और एक सदिश भाग v है। यदि V एक इकाई सदिश है $\mathbb {R} ^{3}$, फिर v का वर्ग चतुर्भुज में -1 है।इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ 3-स्पेयर में एक पाठ्यक्रम में होना है।जब ang एक समकोण है, तो वर्सोर एक सही संस्करण है: इसका स्केलर भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक इकाई सदिश है $\mathbb {R} ^{3}$।

यह भी देखें

• [[Cartesianनिर्देशांक विधि
• निर्देशांक विधि
• Curvilinear निर्देशांक
• चार-वेग
• जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
• सामान्य वेक्टर
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
• मानक आधार
• इकाई अंतराल
• इकाई एकक वर्ग, एकक क्यूब , इकाई सर्कल, इकाई स्फीयर और एकक हाइपरबोला
• सदिश संकेतन
• लोगों का वेक्टर
• एकक मैट्रिक्स

संदर्भ

• G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.