इकाई वेक्टर

Not to be confused with Vector of ones.

गणित में, एक आदर्श वेक्टर स्थान में एक इकाई वेक्टर एक वेक्टर_ (गणित_and_physics) (अक्सर एक वेक्टर (ज्यामिति)) है।में ${\hat {\mathbf {v} }}$ (उच्चारण वी-एचएटी)।

शब्द दिशा वेक्टर , जिसे आमतौर पर डी के रूप में निरूपित किया जाता है, का उपयोग एक इकाई वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा रहा है।2 डी स्थानिक दिशाएँ एकक व्रत पर अंक के बराबर हैं और 3 डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के बराबर हैं।

File:2D Direction Vectors.svg

दो 2 डी दिशा वैक्टर के उदाहरण

फ़ाइल: 3 डी दिशा वैक्टर.टिफ | अंगूठा

एक गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में यूनिट वेक्टर है, अर्थात्, यानी, ?> जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है। सामान्यीकृत वेक्टर शब्द को कभी -कभी यूनिट वेक्टर के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

यूनिट वैक्टर को अक्सर वेक्टर स्पेस के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है, और अंतरिक्ष में प्रत्येक वेक्टर को यूनिट वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

Main article: Standard basis

Unit vectors may be used to एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, एक तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z कुल्हाड़ियों की दिशा में मानक इकाई वैक्टर हैं

<गणित alt = i-hat 3 द्वारा 1 मैट्रिक्स 1,0,0 के बराबर है;जे-हैट 3 के बराबर है 1 मैट्रिक्स 0,1,0;के-हैट 3 के बराबर है 1 मैट्रिक्स 0,0,1>

\ mathbf {\ hat {i}} = \ _ {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}, \, \, \ mathbf {\ hat {j}} = \ {bmatrix} 0 {bmatrix} 0 \ _1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \, \, \ mathbf {\ hat {k}} = = \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ _ {bmatrix} </math>

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे आमतौर पर रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अक्सर सामान्य वेक्टर संकेतन (जैसे, 'मैं' या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं गणित alt = वेक्टर i> \ vec {\ imath} </math>) के बजाय मानक इकाई वेक्टर संकेतन (जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोट्स <गणित alt = x-hat, y-hat, z-hat> (\ mathbf {\ hat {Xbf {\ hat}, \ mathbf {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {y { {x}} _ 2, \\ mathbf {\ hat {x}} _ 3) </math>, <गणित alt = e-hat उप x, e-hat उप y, e-hat उप z> (\ mathbf {\ _ \ _ hat {ee} _x, \ mathbf {\ hat {e} _y, \ mathbf {\ hat {ee} _z) </math>, या $(e\ mathbf{\ hat{ee}_{1},\ mathbf{\ hat{ee}_{2},\ mathbf{\ hat{ee}}}}_{3})$, के साथ या उसके बिना भी हैं। इस्तेमाल किया गया,विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम पैदा कर सकता है (उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।

जब अंतरिक्ष में एक यूनिट वेक्टर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार वेक्टर के साथ यूनिट वेक्टर द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (वेक्टर (ज्यामिति) के खंड) के अभिविन्यास (गणित) (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

See also: Jacobian matrix

The three orthogonal unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त वैक्टर हैं:

• <गणित alt = rho-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} </math> (यह भी नामित $\ mathbf{\ hat{e}}$ या Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "य" found.in 1:17"): {\displaystyle या <math> या <math> या <math> या <math>alt = s-hat> \ boldsymbol {\ hat s} } ), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
• <गणित alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat \ varphi} </math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु समरूपता अक्ष के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
• <गणित alt = z-hat> \ mathbf {\ hat {z}}} </math>, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है;

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं <गणित alt = x-hat> \ hat {x} </math>, <गणित alt = y-hat> \ hat {y} </math>, <गणित alt = z-hat> \ hat {z} </math> by:

<गणित alt = rho-hat X-hat दिशा में phi के cosine को y-hat दिशा में phi की साइन के बराबर करता है> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} = \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ _hat {x}} + \ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}} </math>

<गणित alt = phi-hat X-hat दिशा में phi की नकारात्मक साइन के बराबर होता है, साथ ही y-hat दिशा में phi के cosine> \ boldsymbol {\ hat \ varphi} =-\ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}} </math>

?

वैक्टर <गणित alt = rho-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} </math> और Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "ग" found.in 1:48"): {\displaystyle \ boldsymbol {\ hat \ varphi} गणित alt = समन्वय pi> \ varphi, } और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन यूनिट वैक्टर को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव गणित> \ varphi </गणित> हैं:

<गणित alt = phi के संबंध में rho-hat का आंशिक व्युत्पन्न X-hat दिशा में phi के माइनस साइन के बराबर होता है, Y-hat दिशा में phi के cosine phi-hat> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ _hat {\ rho}}} {\ _ आंशिक \ varphi} = -\ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}}} </गणित>

<गणित alt = phi के संबंध में phi-hat का आंशिक व्युत्पन्न X-hat दिशा में phi के माइनस कोसाइन के बराबर होता है, जो y-hat दिशा में phi के माइनस साइन में माइनस rho-hat> \ frac {\ _ आंशिक \ boldsymbol {के बराबर होता है {\ hat \ varphi}} {\ _ आंशिक \ varphi} =rho}} </math>

<गणित alt = phi के संबंध में z-hat का आंशिक व्युत्पन्न शून्य> \ frac {\ आंशिक \ mathbf {\ hat {z}}} {\ _ आंशिक \ varphi} = \ mathbf {0} </math>

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई वैक्टर हैं: <गणित alt = r-hat> \ mathbf {\ hat {r}}} </math>, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है;<गणित alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} </math>, जिस दिशा में X-y विमान में कोण सकारात्मक X- अक्ष से वामावर्त होता है;और <गणित alt = theta-hat> \ boldsymbol {\ hat \ theta} </math>, जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है।प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण $\theta$ आमतौर पर शून्य और 180 डिग्री के बीच झूठ बोलने के लिए लिया जाता है।यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि गोलाकार निर्देशांक में लिखे गए किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल के संदर्भ को नोट किया जाए, जैसा कि <गणित ALT = PHI-HAT> \ BOLDSYMBOL {\ HAT \ VARPHI} </MATH> और Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "क" found.in 1:17"): {\displaystyle की भूमिकाओं के रूप में\ boldsymbol {\ hat \ theta} } अक्सर उलट होते हैं।यहाँ, अमेरिकन फिजिक्स कन्वेंशन प्रयोग किया जाता है।यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है $\varphi$ बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:

? {r}} = \ sin \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {x} + \ sin \ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {yt {y} + \ cos \ thbf {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ _ }} </गणित>

<गणित alt = theta-hat समानता समानता X-hat दिशा में Phi के समय के समय की समानता Z-hat दिशा में y-hat दिशा माइनस साइन में रहने वाले समय के z-hat दिशा में z-hat दिशा में gerection> \ boldsymbol {{\ {\ { hat \ theta} = \ cos \ cos \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {xt {x} \ mathbf {\ hat {z}} </math>

? } + \ cos \ verphi \ mathbf {\ hat {y} </math>

गोलाकार इकाई दोनों पर ved गणित alt = phi> \ varphi </ math> और गणित alt = theta> \ theta </math>, और इसलिए 5 संभव गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं।अधिक पूर्ण विवरण के लिए, जैकबियन गणित और निर्धारक देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:

<गणित Alt = r-hat का आंशिक व्युत्पन्न Y-HAT डायरेक्टिव डायरेक्टिव इक्विटी में Phi के समय के एक्स-हैट दिशात्मक प्लस साइन में समय के समय के समय के समय के PHALS माइनस के संबंध में पीएच -हैट दिशा में थीटा में थीटा> \ frac {\ आंशिक \ mathbf {\ hat {r}} {\ _ आंशिक \ vaph} = -\ sin \ _ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {Xin} + \ thateeta \ cos \ virphi \ mathbf {\ hat {y}} = \ sin \ theta \ boldsymbol {\ hat \ vi} </math>

<गणित alt = r-hat का आंशिक व्युत्पन्न Z के y-hat प्रत्यक्ष माइनस में Phi के समय में एक्स-हैट दिशा में समय के समय के समय के थेटामोस के समान कोस के संबंध में। z में z में। x} + \ cos \ sin \ vi \ mathbf {\ hat {y}} - \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {\ hat {\ hat { </गणित>

<गणित alt = X-Hat दिशा में समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के साथ theta-hat का आंशिक व्युत्पन्न, Y-HAT निर्देशित समान में प्रस्तुत करता है Theta में theta में phi-hat दिशा में> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ theta}} {\ _ आंशिक \ virph} = cos \ _ \ cos \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {y}} = \ cos \ boldsymbol {\ hat \ vph} </math>

<गणित alt = थीटा-हैट का आंशिक व्युत्पन्न थीटा के संबंध में एक्स-हैट दिशा माइनस में पीएचआई के टाइम्स कोल के माइनस के बराबर होता है और वाई-हैट दिशा में पीएचआई के समय के समय के समय का समय जेड-हैट दिशा में थीटा में थीटा की दिशा माइनस माइनस आर-हेट> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ theta}} {\ _ आंशिक \ theta} =-\ sin \ cos \ _ \ _ \ _ गणित \ hat {x}} - \ sin \ sin \ vhi \ mathbf {\ hat {y}} - \ cos \ thata \ mathbf {\ hat {\ hat {\ mathbf {\ hat {r} </math>

<गणित Alt = PH-HAT का आंशिक व्युत्पन्न Y-HAT दिशा में PH के X-Hat दिशा में PHI के PHAS माइनस कोस के संबंध में Y-HAT दिशा में R-HAT दिशा के R-HAT दिशा के माइनस के बराबर होता है। TheTa -hat दिशा में तब का शून्य> \ frac {\ _ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ varpher}} {\ pertial \ virphi} = x (\ sin \ virphi \ mathbf {\ hat {y}} = -\ sin \ theta \ mathbf {\ hat {r}} -\ cos \ boldsymbol {\ hat {\ theta} </math>

सामान्य इकाई वैक्टर

Main article: Orthogonal coordinates

Common themes of unit vectORS पूरे भौतिकी और ज्यामिति में होता है:

Unit vector	Nomenclature	Diagram
Tangent vector to a curve/flux line	$\mathbf {\hat {t}}$	"200px" "200px" A normal vector $\mathbf {\hat {n}}$ to the plane containing and defined by the radial position vector $r\mathbf {\hat {r}}$ and angular tangential direction of rotation $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component	$\mathbf {\hat {n}}$ In terms of polar coordinates; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
Binormal vector to tangent and normal	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$
Parallel to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	"200px" One unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ aligned parallel to a principal direction (red line), and a perpendicular unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ is in any radial direction relative to the principal line.
Perpendicular to some axis/line in some radial direction	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
Possible angular deviation relative to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	"200px" Unit vector at acute deviation angle φ (including 0 or π/2 rad) relative to a principal direction.

वक्रता निर्देशांक

सामान्य तौर पर, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई वैक्टर <गणित alt = e-hat उप n> \ mathbf {\ hat {e}} _ n </math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।(वास्तविक संख्या अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-स्पेस के लिए, इन वैक्टरों को <गणित alt = e-hat उप 1, e-hat उप 2, e-hat उप 3> \ mathbf {\ hat {ee} _1, \ mathbf {\ hat {e {e {e {e {e {{e {\ hat {e {\ hat {e { }} _ 2, \ Mathbf {\ hat {e} _3 </math>।यह सबसे नज़दीकी हमेशा सुविधाजनक है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और दाहिने हाथ का नियम होने के लिए परिभाषित किया जाए। दाएं हाथ:

? </गणित> ? \ mathbf {\ hat {e} _k) = \ verepsilon_ {ijk} </math>

जहाँ ये है $\delta _{ij}$ KRONECKER DELTA है (जो कि I = J के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "ल" found.in 1:17"): {\displaystyle लेवी-Civita प्रतीक है (जो 1 के लिए 1 है।क्रमपरिवर्तन IJK के रूप में आदेश दिया गया, और k1 के रूप में आदेश दिए गए क्रम के लिए −1)। == राइट वर्सोर == में एक इकाई वेक्टर <math>\mathbb{R}^3} डब्ल्यू। आर। हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों को विकसित किया था $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$।वास्तव में, वह वेक्टर शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में $q=s+v$ एक स्केलर भाग s और एक वेक्टर भाग v है। यदि V एक यूनिट वेक्टर है $\mathbb {R} ^{3}$, फिर v का वर्ग चतुर्भुज में -1 है।इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ 3-स्पेयर में एक पाठ्यक्रम में होना है।जब ang एक समकोण है, तो वर्सोर एक सही संस्करण है: इसका स्केलर भाग शून्य है और इसका वेक्टर भाग V एक इकाई वेक्टर है $\mathbb {R} ^{3}$।

यह भी देखें

• [[Cartesianनिर्देशांक तरीका
• निर्देशांक तरीका
• Curvilinear निर्देशांक
• चार-वेग
• जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
• [[सामान्य वेक्टर]]
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
• मानक आधार
• इकाई अंतराल
• यूनिट एकक वर्ग, एकक क्यूब , यूनिट सर्कल, यूनिट स्फीयर और एकक हाइपरबोला
• वेक्टर संकेतन
• लोगों का वेक्टर
• एकक मैट्रिक्स

संदर्भ

• G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.