समूह वलय

बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय दिया गया है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह का वलय जो प्रत्येक तत्व के दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक संरचना होती है जिसे एक समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।

समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।

परिभाषा

जी एक समूह जिसे गुणात्मक रूप से लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी का समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करेंगे जो कार्य करने का सेट है एफ जी आर का (गणित) सामान्यीकरण (जी) बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है। $x\mapsto \alpha \cdot f(x)$ और दो कार्यरत एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है $x\mapsto f(x)+g(x)$. योगात्मक समूह आर व जी को एक रिंग में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

$x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).$

जब एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।

संकेतन और शब्दावली के कुछ बदलाव कार्य के रूप में इस प्रकार हैं जैसे f : G → R कभी-कभी जी के तत्वों में आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।

$\sum _{g\in G}f(g)g,$

या

$\sum _{g\in G}f_{g}g,$

जहां यह भ्रम उत्पन्न नहीं होता कि यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान है।

उदाहरण

1. माना जी बराबर सी क्यूब क्रमांक 3 का चक्रीय समूह, विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को एक तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है

$r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,$

जहां जटिल संख्यायें जेड₀ साथ₁ और जेड₂ सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि $a^{3}=a^{0}=1$ जो सी ,जी रिंग सी के लिए समरूपी है। [$a$]/$(a^{3}-1)$

तत्व एस के रूप में उनका योग$s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}$

$r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,$

और उनका उत्पाद इस प्रकार है-

$rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.$

तत्व 1जी के गुणांक रिंग (इसमें सी) सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य हैं।

जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है, तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए।

2.उदाहरण एक वलय आर लॉरेंट बहुपद का है ये आर पर अनंत चक्रीय समूह जेड के समूह वलय से ज्यादा या कम नहीं है।

3. क्यू तत्वों का चतुष्कोणीय समूह इस प्रकार है -$\{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}$ जहाँ आर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है