वलय सिद्धांत
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| Algebraic structure → Ring theory Ring theory |
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Rings
Related structures
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Commutative rings
p-adic number theory and decimals
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बीजगणित में, वलय सिद्धांत वलयों (गणित) का अध्ययन है[1]—बीजगणितीय संरचनाएं जिनमें जोड़ और गुणन परिभाषित हैं और पूर्णांकों के लिए परिभाषित उन संक्रियाओं के समान गुण हैं। वलय सिद्धांत वलयों की संरचना का अध्ययन करता है, बीजगणित का उनका प्रतिनिधित्व, या, अलग-अलग भाषा में, मॉड्यूल (वलयअंगूठी सिद्धांत), वलयों की विशेष कक्षाएं (समूह के वलय, विभाजन के वलय, सार्वभौमिक आवरण बीजगणित), साथ ही गुणों की सरणी जो सिद्धांत के भीतर और इसके अनुप्रयोगों के लिए, जैसे समरूप बीजगणित और बहुपद पहचान वलय, दोनों के लिए रुचिकर सिद्ध हुआ।
क्रमविनिमेय वलय गैर क्रमविनिमेय वाले की तुलना में बहुत उत्तम समझे जाते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, जो क्रमविनिमेय वलयों के कई प्राकृतिक उदाहरण प्रदान करते हैं, ने क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत के विकास को बहुत प्रेरित किया है, जो अब क्रमविनिमेय बीजगणित के नाम से आधुनिक गणित का प्रमुख क्षेत्र है। क्योंकि ये तीन क्षेत्र (बीजगणितीय ज्यामिति, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और क्रमविनिमेय बीजगणित) इतने घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं कि सामान्यतः यह तय करना कठिन और अर्थहीन होता है कि कोई विशेष परिणाम किस क्षेत्र से संबंधित है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसज़ प्रमेय है जो बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक है, और इसे कम्यूटेटिव बीजगणित के संदर्भ में कहा और सिद्ध किया गया है। इसी प्रकार, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को प्राथमिक अंकगणित के संदर्भ में कहा गया है, जो क्रमविनिमेय बीजगणित का हिस्सा है, किन्तु इसके प्रमाण में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों के गहरे परिणाम सम्मिलित हैं।
गैर-अनुवर्ती वलय स्वाद में काफी भिन्न होते हैं, क्योंकि अधिक असामान्य व्यवहार उत्पन्न हो सकता है। चूँकि सिद्धांत अपने आप में विकसित हुआ है, हाल ही की प्रवृत्ति ने ज्यामितीय फैशन में गैर-अनुक्रमिक रिंगों के कुछ वर्गों के सिद्धांत का निर्माण करके क्रमविनिमेय विकास को समानांतर करने की मांग की है जैसे कि वे फ़ंक्शन (गणित) के वलय थे (गैर-गणित) मौजूदा) 'नॉनकम्यूटेटिव स्पेस'। यह प्रवृत्ति 1980 के दशक में गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के विकास और क्वांटम समूहों की खोज के साथ शुरू हुई। इसने गैर-अनुक्रमिक रिंगों की उत्तम समझ उत्पन्न की है, विशेष रूप से नॉन-कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग्स।[2] रिंग और मूलभूत अवधारणाओं और उनके गुणों की परिभाषा के लिए, रिंग (गणित) देखें। रिंग थ्योरी में प्रयुक्त शब्दों की परिभाषाएं रिंग थ्योरी की शब्दावली में पाई जा सकती हैं।
कम्यूटेटिव रिंग्स
वलय को क्रमविनिमेय कहा जाता है यदि इसका गुणन क्रमविनिमेय है। क्रमविनिमेय वलय परिचित संख्या प्रणालियों के समान हैं, और क्रमविनिमेय वलय के लिए विभिन्न परिभाषाओं को पूर्णांकों के गुणों को औपचारिक रूप देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। बीजगणितीय ज्यामिति में क्रमविनिमेय वलय भी महत्वपूर्ण हैं। क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत में, संख्याओं को अधिकांश