बेल बहुपद

For a different family of polynomials B_n(x) occasionally called Bell polynomials, see Touchard polynomials.

साहचर्य गणित में, एरिक टेम्पल बेल के सम्मान में नामित बेल बहुपद का उपयोग सेट विभाजन के अध्ययन में किया जाता है। वे स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर से संबंधित हैं। वे कई अनुप्रयोगों में भी होते हैं, जैसे कि फा डि ब्रूनो के सूत्र में।

परिभाषाएँ

घातीय बेल बहुपद

आंशिक या अपूर्ण घातीय बेल बहुपद बहुपदों की एक त्रिकोणीय सरणी द्वारा दिए गए हैं

$B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$

जहां सभी अनुक्रमों पर योग लिया जाता है₁, जे₂, जे₃, ..., जे_n−k+1 गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों की, जैसे कि ये दो शर्तें पूरी होती हैं:

$j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,$ :$j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.$

योग

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

nवां पूर्ण चरघातांकी बेल बहुपद कहलाता है।

साधारण बेल बहुपद

इसी तरह, आंशिक साधारण बेल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है

${\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},$

जहां योग सभी अनुक्रमों पर चलता है j₁, जे₂, जे₃, ..., जे_n−k+1 ऐसे गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की

$j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,$

$j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.$

साधारण बेल बहुपदों को घातीय बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

${\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).$

सामान्य तौर पर, बेल बहुपद घातीय बेल बहुपद को संदर्भित करता है, जब तक कि अन्यथा स्पष्ट रूप से न कहा गया हो।

संयुक्त अर्थ

घातीय बेल बहुपद एक सेट को विभाजित करने के तरीकों से संबंधित जानकारी को कूटबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सेट {ए, बी, सी} पर विचार करते हैं, तो इसे दो गैर-खाली, गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिसे 3 अलग-अलग तरीकों से भागों या ब्लॉकों के रूप में भी जाना जाता है:

{{A}, {B, C}}

{{B}, {A, C}}

{{C}, {B, A}}

इस प्रकार, हम इन विभाजनों के बारे में जानकारी को एन्कोड कर सकते हैं

$B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.$

यहाँ, बी की सदस्यताएँ_3,2 हमें बताता है कि हम 3 तत्वों के साथ सेट के विभाजन को 2 ब्लॉकों में विभाजित करने पर विचार कर रहे हैं। प्रत्येक एक्स की सबस्क्रिप्ट_i किसी दिए गए विभाजन में i तत्वों (या आकार i के ब्लॉक) के साथ ब्लॉक की उपस्थिति को इंगित करता है। तो यहाँ, एक्स₂ दो तत्वों के साथ एक ब्लॉक की उपस्थिति को इंगित करता है। इसी प्रकार, एक्स₁ एकल तत्व वाले ब्लॉक की उपस्थिति को इंगित करता है। x का प्रतिपादक_i^j इंगित करता है कि एकल विभाजन में आकार i के ऐसे j ब्लॉक हैं। यहाँ, चूँकि दोनों x₁ और एक्स₂ प्रतिपादक 1 है, यह इंगित करता है कि दिए गए विभाजन में केवल एक ऐसा ब्लॉक है। एकपद का गुणांक इंगित करता है कि ऐसे कितने विभाजन हैं। हमारे मामले के लिए, 3 तत्वों के साथ 2 ब्लॉकों में एक सेट के 3 विभाजन हैं, जहां प्रत्येक विभाजन में तत्वों को 1 और 2 के आकार के दो ब्लॉकों में विभाजित किया गया है।

चूँकि किसी भी समुच्चय को एक ही ब्लॉक में केवल एक तरीके से विभाजित किया जा सकता है, उपरोक्त व्याख्या का अर्थ होगा कि B_n,1 = एक्स_n. इसी तरह, चूंकि केवल एक ही तरीका है कि n तत्वों वाले एक सेट को n सिंगलटन में विभाजित किया जाए, B_n,n = एक्स₁^एन.

अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, विचार करें

$B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.$

यह हमें बताता है कि यदि 6 तत्वों के एक सेट को 2 ब्लॉकों में विभाजित किया जाता है, तो हमारे पास आकार 1 और 5 के ब्लॉक के साथ 6 विभाजन, आकार 4 और 2 के ब्लॉक वाले 15 विभाजन और 3 आकार के 2 ब्लॉक वाले 10 विभाजन हो सकते हैं।

एकपदी में सबस्क्रिप्ट का योग तत्वों की कुल संख्या के बराबर है। इस प्रकार, आंशिक बेल बहुपद में दिखाई देने वाले मोनोमियल्स की संख्या उन तरीकों की संख्या के बराबर होती है, जिन्हें पूर्णांक n को k धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह n के k भागों में पूर्णांक विभाजन के समान है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों में, पूर्णांक 3 को केवल 2+1 के रूप में दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। इस प्रकार, B में केवल एक एकपदी है_3,2. हालाँकि, पूर्णांक 6 को 5+1, 4+2 और 3+3 के रूप में दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। इस प्रकार, B में तीन एकपदी हैं_6,2. वास्तव में, एक मोनोमियल में वेरिएबल्स के सबस्क्रिप्ट वही होते हैं जो पूर्णांक विभाजन द्वारा दिए गए होते हैं, जो विभिन्न ब्लॉकों के आकार को दर्शाते हैं। एक पूर्ण बेल बहुपद बी में दिखाई देने वाले एकपदों की कुल संख्या_nइस प्रकार n के पूर्णांक विभाजनों की कुल संख्या के बराबर है।

साथ ही प्रत्येक मोनोमियल की डिग्री, जो मोनोमियल में प्रत्येक चर के घातांक का योग है, सेट में विभाजित ब्लॉकों की संख्या के बराबर है। यानी जे₁ + जे₂ + ... = के। इस प्रकार, एक पूर्ण बेल बहुपद बी दिया गया_n, हम आंशिक बेल बहुपद बी को अलग कर सकते हैं_n,kडिग्री k वाले उन सभी एकपदों को एकत्रित करके।

अंत में, यदि हम ब्लॉक के आकार की उपेक्षा करते हैं और सभी x_i = x, तो आंशिक बेल बहुपद बी के गुणांकों का योग_n,k n तत्वों वाले एक सेट को k ब्लॉकों में विभाजित करने के तरीकों की कुल संख्या देगा, जो दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के समान है। साथ ही, पूर्ण बेल बहुपद बी के सभी गुणांकों का योग_nहमें n तत्वों के साथ एक सेट को गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित करने के तरीकों की कुल संख्या देगा, जो बेल संख्या के समान है।

सामान्य तौर पर, यदि पूर्णांक n एक पूर्णांक विभाजन है जिसमें एक योग है जिसमें 1 j दिखाई देता है₁ बार, 2 प्रकट होता है जे₂ बार, और इसी तरह, फिर आकार n के एक सेट के विभाजन की संख्या जो पूर्णांक n के उस विभाजन के लिए ढह जाती है जब सेट के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं, बहुपद में संबंधित गुणांक होता है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, हमारे पास है

$B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}$

क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 2 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने के तरीके हैं

6 के सेट को 5 + 1 के रूप में विभाजित करने के 6 तरीके,

6 के सेट को 4 + 2 के रूप में विभाजित करने के 15 तरीके, और

6 के सेट को 3 + 3 के रूप में विभाजित करने के 10 तरीके।

इसी प्रकार,

$B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}$

क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 3 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने के तरीके हैं

6 के सेट को 4+1+1 के रूप में विभाजित करने के 15 तरीके,

60 6 के सेट को 3+2+1 के रूप में विभाजित करने के तरीके, और

6 के सेट को 2+2+2 के रूप में विभाजित करने के 15 तरीके।

गुण

जनरेटिंग फंक्शन

घातीय आंशिक बेल बहुपदों को इसके जनरेटिंग फ़ंक्शन के दोहरे श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}$

दूसरे शब्दों में, k-th शक्ति के श्रृंखला विस्तार द्वारा समान मात्रा में क्या है:

${\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots$

पूर्ण घातीय बेल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है $\Phi (t,1)$, या दूसरे शब्दों में:

$\Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.$

इस प्रकार, n-वाँ पूर्ण बेल बहुपद दिया जाता है

$B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.$

इसी तरह, साधारण आंशिक बेल बहुपद को जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

${\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.$

या, समतुल्य, k-वें शक्ति के श्रृंखला विस्तार द्वारा:

$\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.$

यह भी देखें जनरेटिंग फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन#पॉवर ऑफ़ ओजीएफ एंड कंपोज़िशन विथ फंक्शन्स फॉर बेल पॉलीनॉमियल जनरेटिंग फंक्शन एक्सपेंशन ऑफ़ कंपोज़िशन ऑफ़ सीक्वेंस उत्पन्न करने वाले कार्य एंड एक्सपोनेंटिएशन, लॉगरिथम्स, एंड [[घातांक प्रकार्य]] ऑफ़ ए सीक्वेंस जनरेटिंग फंक्शन। इनमें से प्रत्येक सूत्र को कॉमेट के संबंधित अनुभागों में उद्धृत किया गया है।

पुनरावृत्ति संबंध

पूर्ण बेल बहुपद को पुनरावृत्ति संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}$

प्रारंभिक मूल्य के साथ $B_{0}=1$.

आंशिक बेल बहुपदों की भी पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दक्षतापूर्वक गणना की जा सकती है:

$B_{n,k}=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n-1}{i-1}}x_{i}B_{n-i,k-1},$

कहाँ

$B_{0,0}=1;$

$B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;$

$B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.$

पूर्ण बेल बहुपद निम्नलिखित पुनरावृत्ति अंतर सूत्र को भी संतुष्ट करते हैं:

${\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}$

संजात

संपूर्ण बेल बहुपदों के आंशिक अवकलज निम्न द्वारा दिए गए हैं

${\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).$

इसी प्रकार, आंशिक बेल बहुपदों के आंशिक डेरिवेटिव द्वारा दिए गए हैं

${\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).$

यदि बेल बहुपदों के तर्क एक आयामी कार्य हैं, तो श्रृंखला नियम का उपयोग प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है

${\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).$

निर्धारक रूप

पूर्ण बेल बहुपद निर्धारकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}$

और

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.$

स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर

बेल बहुपद बी का मान_n,k(एक्स₁,एक्स₂,...) कारख़ाने का के अनुक्रम पर पहली तरह की एक अहस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्या के बराबर होती है:

$B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].$

इन मानों का योग फैक्टोरियल के अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपद का मान देता है:

$B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.$

बेल बहुपद बी का मान_n,k(एक्स₁,एक्स₂,...) एक के अनुक्रम पर दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या के बराबर होती है:

$B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.$

इन मानों का योग एक के अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपद का मान देता है:

$B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},$

जो nth बेल नंबर है।

व्युत्क्रम संबंध

अगर हम परिभाषित करते हैं

$y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),$

तो हमारे पास उलटा संबंध है

$x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).$

टचर्ड बहुपद

Main article: Touchard polynomials

बहुपद स्पर्श $T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}$ x होने वाले सभी तर्कों पर पूर्ण बेल बहुपद के मान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).$

कनवल्शन आइडेंटिटी

अनुक्रमों के लिए एक्स_n, और_n, n = 1, 2, ..., कनवल्शन को परिभाषित करें:

$(x\mathbin {\diamondsuit } y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.$

योग की सीमाएं 1 और n − 1 हैं, न कि 0 और n ।

होने देना $x_{n}^{k\diamondsuit }\,$ अनुक्रम का nवाँ पद हो

$\displaystyle \underbrace {x\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } x} _{k{\text{ factors}}}.\,$

तब

$B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,$

उदाहरण के लिए, आइए गणना करें $B_{4,3}(x_{1},x_{2})$. अपने पास

$x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )$

$x\mathbin {\diamondsuit } x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )$

$x\mathbin {\diamondsuit } x\mathbin {\diamondsuit } x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )$

और इस तरह,

$B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\mathbin {\diamondsuit } x\mathbin {\diamondsuit } x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.$

अन्य पहचान

• $B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)$ जो ये रही संख्या देता है।
• $B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}$ जो इम्पोटेंस # इम्पोटेंट फंक्शन देता है।
• $B_{n,k}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-k}x_{n-k+1})=(-1)^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n-k+1})$ और $B_{n}(-x_{1},x_{2},-x_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}x_{n})=(-1)^{n}B_{n}(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})$.
• संपूर्ण बेल बहुपद द्विपद प्रकार के संबंध को संतुष्ट करते हैं:

  $B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),$

  $B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).$

यह कारक की चूक को ठीक करता है $(q!)^{k}$ कॉमटेट की किताब में।

• कब $1\leq a<n$,

$B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.$

• आंशिक बेल बहुपद के विशेष मामले:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$