आइसोमेट्री

This article is about दूरी-संरक्षण फलन. For अन्य गणितीय उपयोग, see आइसोमेट्री (बहुविकल्पी). For गैर-गणितीय उपयोग, see आइसोमेट्रिक.

Not to be confused with आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण.

गणित में, कोई आइसोमेट्री (या सर्वांगसमता, या सर्वांगसम परिवर्तन) मीट्रिक स्पेस के बीच की दूरी-संरक्षण परिवर्तन है, जिसे सामान्यतः द्विभाजन माना जाता है। आइसोमेट्री शब्द प्राचीन ग्रीक से लिया गया है: ἴσος isos जिसका अर्थ बराबर होता है, और μέτρον metron जिसका अर्थ माप होता है।

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दो विपरीत आइसोमेट्री की संरचना प्रत्यक्ष आइसोमेट्री है। रेखा में प्रतिबिंब विपरीत आइसोमेट्री है, जैसे प्रतिबिम्ब पर R ₁ या R ₂। अनुवाद (ज्यामिति) T प्रत्यक्ष आइसोमेट्री है: दृढ़ पिंड की गति।

परिचय

मीट्रिक स्पेस (अस्पष्ट, सेट और सेट के तत्वों के बीच दूरी निर्दिष्ट करने के लिए योजना) को देखते हुए, कोई आइसोमेट्री परिवर्तन (ज्यामिति) है जो तत्वों को उसी या किसी अन्य मीट्रिक स्पेस पर माप करता है जैसे कि नई मीट्रिक अंतरिक्ष में प्रतिबिम्ब तत्वों के बीच की दूरी मूल मीट्रिक स्पेस में तत्वों के बीच की दूरी के बराबर है।

द्वि-आयामी या त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, दो ज्यामितीय आंकड़े कोई आइसोमेट्री द्वारा संबंधित हो तो वह सर्वांगसम (ज्यामिति) होते है,

आइसोमेट्री जो उन्हें संबंधित करती है वह या तो दृढ़ गति (अनुवाद या घूर्णन) है, या दृढ़ गति और प्रतिबिंब (गणित) की क्रिया संरचना होती है।

आइसोमेट्री का उपयोग अधिकांश उन निर्माणों में किया जाता है जहां स्पेस एक दूसरे स्पेस में एम्बेडिंग होता है। उदाहरण के लिए, मीट्रिक स्पेस $\ M\$ के पूरा होने में $\ M\$ से $\ M'\$में कोई आइसोमेट्री सम्मिलित है, जो $\ M\$पर कॉची अनुक्रमों के स्पेस का भागफल सेट है। मूल स्पेस $\ M\$ इस प्रकार पूर्ण मीट्रिक स्पेस के उप-स्थान के लिए आइसोमेट्रिक रूप से समरूपता है, और इसे सामान्यतः इस उप-स्थान के साथ पहचाना जाता है।

अन्य एम्बेडिंग निर्माणों से पता चलता है कि प्रत्येक मीट्रिक स्पेस कुछ मानक सदिश स्पेस के बंद सबसेट के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है और यह कि प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक स्पेस आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है जो कुछ बनच स्पेस के बंद उपसमुच्चय के लिए है।

कोई हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर आइसोमेट्रिक सर्जेक्टिव लीनियर ऑपरेटर को एकात्मक ऑपरेटर कहा जाता है।

परिभाषा

$\ X\$ और $\ Y\$ को मेट्रिक्स (जैसे, दूरियां) $\ d_{X}\$ और $\ d_{Y}\$के साथ मीट्रिक स्पेस मान ले. फलन (गणित) $\ f:X\to Y\$को कोई आइसोमेट्री या दूरी को संरक्षित करने वाला कहा जाता है यदि किसी के लिए $\ a,b\in X\$किसी के पास है

$d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).$

कोई आइसोमेट्री स्वचालित रूप से इंजेक्शन फलन है, अन्यथा दो अलग-अलग बिंदुओं, a और b को ही बिंदु पर मैप किया जा सकता है, जिससे मीट्रिक डी के संयोग स्वयंसिद्ध का खंडन होता है।

यह प्रमाण साक्ष्य के समान है कि आंशिक रूप से आदेशित सेटों के बीच एम्बेडिंग ऑर्डर इंजेक्शन है। स्पष्ट रूप से, मीट्रिक स्पेस के बीच प्रत्येक आइसोमेट्री टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है।

एक 'वैश्विक आइसोमेट्री', 'आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म' या 'सर्वांगसमता मैपिंग' विशेषण आइसोमेट्री है। किसी भी अन्य आपत्ति की तरह, वैश्विक आइसोमेट्री में फ़ंक्शन व्युत्क्रम होता है।

वैश्विक आइसोमेट्री का व्युत्क्रम भी वैश्विक आइसोमेट्री है।

दो मीट्रिक स्पेस X और Y को 'आइसोमेट्रिक' कहा जाता है यदि X से Y तक विशेषण आइसोमेट्री है।

मेट्रिक स्पेस से द्विभाजित आइसोमेट्रीज़ का सेट (गणित) फ़ंक्शन संरचना के संबंध में समूह (गणित) बनाता है, जिसे ' आइसोमेट्री समूह ' कहा जाता है।

पथ आइसोमेट्री या आर्कवाइज आइसोमेट्री की दुर्बल धारणा भी है:

एक 'पाथ आइसोमेट्री' या 'आर्कवाइज़ आइसोमेट्री' माप है जो वक्रों की लंबाई को संरक्षित करता है, इस तरह का माप आवश्यक रूप से दूरी के संरक्षण के अर्थ में आइसोमेट्री नहीं है, और यह आवश्यक रूप से विशेषण या इंजेक्शन भी नहीं है।

यह शब्द अधिकांश केवल आइसोमेट्री के लिए संक्षिप्त होता है, इसलिए किसी को संदर्भ से निर्धारित करने के लिए सर्तकता रहना चाहिए कि किस प्रकार का उद्देश्य है।

उदाहरण

• यूक्लिडियन स्पेस पर कोई भी प्रतिबिंब (गणित), अनुवाद (ज्यामिति) और घूर्णन वैश्विक आइसोमेट्री है। यूक्लिडियन समूह और यूक्लिडियन स्पेस § आइसोमेट्रीज़ भी देखें।
• वो माप $\ x\mapsto |x|\$ में $\ \mathbb {R} \$ पथ आइसोमेट्री है लेकिन (सामान्य) आइसोमेट्री नहीं है। ध्यान दें कि आइसोमेट्री के विपरीत, इस पथ आइसोमेट्री को इंजेक्शन होने की आवश्यकता नहीं है।

आदर्श स्पेसों के बीच आइसोमेट्री

निम्नलिखित प्रमेय मजूर और उलम के कारण है।

परिभाषा: दो तत्वों का मध्यबिंदु x और y सदिश स्पेस में सदिश 1/2(x + y) है.

प्रमेय — मान लें कि A : X → Y सामान्य स्थान के बीच एक विशेषण आइसोमेट्री है जो 0 से 0 (स्टीफन बानाच को मैप करता है जिसे इस तरह कहा जाता है मैप रोटेशन) जहां ध्यान दें कि A नहीं है जिसे लीनियर आइसोमेट्री माना जाता है। फिर A मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदुओं के लिए मैप करता है और वास्तविक संख्याओं के मैप $\mathbb {R}$ के रूप में रैखिक है। यदि X और Y जटिल सदिश स्थान हैं तो A $\mathbb {C}$ पर मैप के रूप में रैखिक होने में विफल हो सकता है।

रेखीय समरूपता

दो मानक सदिश स्पेस $V$ और $W$ दिए गए हैं रेखीय समरूपता रेखीय माप $A:V\to W$ है जो मानदंडों को संरक्षित करता है:

$\|Av\|=\|v\|$

सभी $\ v\in V\$के लिए रैखिक आइसोमेट्री उपरोक्त अर्थों में दूरी-संरक्षित माप हैं।

वे वैश्विक आइसोमेट्री हैं यदि और केवल यदि वे विशेषण हैं।

एक आंतरिक उत्पाद स्पेस में, उपरोक्त परिभाषा कम हो जाती है

$\langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle$

सभी $v\in V\$ के लिये जो यह कहने के बराबर है कि $\ A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}\ .$ इसका तात्पर्य यह भी है कि आइसोमेट्री आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करती है, जैसे

$\langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle \ .$

रैखिक आइसोमेट्री हमेशा एकात्मक ऑपरेटर नहीं होते हैं, चूंकि, इसके लिए अतिरिक्त रूप से $V=W$ और $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}\$इसकी आवश्यकता होती है

मज़ूर-उलम प्रमेय के अनुसार, $\mathbb {R}$ पर मानक वेक्टर स्पेस का कोई भी आइसोमेट्री सजातीय परिवर्तन है।

उदाहरण

• $\mathbb {C} ^{n}$ से कोई रेखीय माप अपने आप में आइसोमेट्री है ( डॉट उत्पाद के लिए) यदि और केवल यदि इसका मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स है।

मैनिफोल्ड

मैनिफोल्ड की आइसोमेट्री उस मैनिफोल्ड की किसी भी (चिकनी) मैपिंग को अपने आप में या किसी अन्य मैनिफोल्ड में है जो बिंदुओं के बीच की दूरी की धारणा को संरक्षित करती है।

आइसोमेट्री की परिभाषा के लिए मैनिफोल्ड पर