द्विघात रूप

For सांख्यिकी में उपयोग, see द्विघात रूप (सांख्यिकी).

गणित में, एक द्विघात रूप एक बहुपद है जिसमें बहुपद दो की सभी डिग्री होती है ( रूप (गणित) एक सजातीय बहुपद का दूसरा नाम है)। उदाहरण के लिए,

$4x^{2}+2xy-3y^{2}$

चरों में द्विघात रूप है x और y. गुणांक आमतौर पर एक निश्चित क्षेत्र (गणित) से संबंधित होते हैं K, जैसे कि वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याएँ, और एक द्विघात रूप की बात करता है K. यदि $K=\mathbb {R}$, और द्विघात रूप केवल शून्य लेता है जब सभी चर एक साथ शून्य होते हैं, तो यह एक निश्चित द्विघात रूप है, अन्यथा यह एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप है।

द्विघात रूप गणित की विभिन्न शाखाओं में एक केंद्रीय स्थान पर अधिकार कर लेते हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत , रैखिक बीजगणित, समूह सिद्धांत ( ऑर्थोगोनल समूह ), अंतर ज्यामिति ( रिमेंनियन मीट्रिक, दूसरा मौलिक रूप ), अंतर टोपोलॉजी ( चौराहे का रूप (4-कई गुना) चार- शामिल हैं। मैनिफोल्ड्स), और लाई थ्योरी ( मारक रूप )।

द्विघात रूपों को द्विघात समीकरण के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसमें केवल एक चर होता है और इसमें डिग्री दो या उससे कम की उपबंध सम्मिलित होती हैं। एक द्विघात रूप सजातीय बहुपद की अधिक सामान्य अवधारणा की एक घटना है।

परिचय

द्विघात रूप एन चर में सजातीय द्विघात बहुपद हैं। एक, दो और तीन चर के मामलों में उन्हें 'यूनरी', 'द्विआधारी द्विघात रूप ' और 'टर्नरी' कहा जाता है और निम्नलिखित स्पष्ट रूप होते हैं:

${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unary)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binary)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternary)}}\end{aligned}}$

जहाँ a, ..., f 'गुणांक' हैं। अंकन $\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$ अक्सर प्रयोग किया जाता है द्विघात रूप के लिए

$q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

उनके अध्ययन में प्रयुक्त द्विघात रूपों और विधियों का सिद्धांत गुणांक की प्रकृति पर काफी हद तक निर्भर करता है, जो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या, परिमेय संख्या या पूर्णांक हो सकता है। रेखीय बीजगणित, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और द्विघात रूपों के अधिकांश अनुप्रयोगों में, गुणांक वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं। द्विघात रूपों के बीजगणितीय सिद्धांत में, गुणांक एक निश्चित क्षेत्र (बीजगणित) के तत्व हैं। द्विघात रूपों के अंकगणितीय सिद्धांत में, गुणांक एक निश्चित क्रमविनिमेय अंगूठी से संबंधित होते हैं, अक्सर पूर्णांक जेड या पी- आदिक पूर्णांक | पी- आदिक पूर्णांक जेडपी. द्विआधारी द्विघात रूपों का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में अध्ययन किया गया है, विशेष रूप से, द्विघात क्षेत्र के सिद्धांत, निरंतर अंश ों और मॉड्यूलर रूपों में। एन चरों में अभिन्न द्विघात रूपों के सिद्धांत में बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

सजातीय निर्देशांक ों का उपयोग करते हुए, एन चरों में एक गैर-शून्य द्विघात रूप (एन−1)-आयामी प्रक्षेपी स्थान में एक (एन−2)-आयामी [[ क्वाड्रिक (प्रक्षेपी ज्यामिति ) ]] को परिभाषित करता है। यह प्रक्षेपी ज्यामिति में एक बुनियादी निर्माण है। इस तरह कोई 3-आयामी वास्तविक द्विघात रूपों को शंक्वाकार वर्गों के रूप में देख सकता है।

एक उदाहरण त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष और यूक्लिडियन मानदंड के वर्ग (बीजगणित) द्वारा दिया गया है जो निर्देशांक के साथ एक बिंदु के बीच की दूरी को व्यक्त करता है। (x, y, z) और उत्पत्ति:

$q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\|(x,y,z)\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

ज्यामितीय अधिस्वरों के साथ निकट से संबंधित धारणा एक द्विघात स्थान है, जो एक जोड़ी है (V, q), V के साथ एक क्षेत्र K पर एक सदिश स्थान, और q : V → K वी। देखें पर एक द्विघात रूप § Definitions सदिश स्थान पर द्विघात रूप की परिभाषा के लिए नीचे।

इतिहास

विशेष द्विघात रूपों का अध्ययन, विशेष रूप से यह प्रश्न कि क्या एक दिया गया पूर्णांक, पूर्णांकों पर द्विघात रूप का मान हो सकता है, कई सदियों पहले का है। ऐसा ही एक मामला दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट का प्रमेय है, जो यह निर्धारित करता है कि कब एक पूर्णांक को रूप में व्यक्त किया जा सकता है x² + y², जहाँ x, y पूर्णांक हैं। यह समस्या पायथागॉरियन ट्रिपल शोध करने की समस्या से संबंधित है, जो दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में सामने आई थी।

628 में, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत लिखा, जिसमें कई अन्य बातों के अतिरिक्त, फॉर्म के समीकरणों का अध्ययन सम्मिलित है। x² − ny² = c. विशेष रूप से उन्होंने उस पर विचार किया जिसे अब पेल का समीकरण कहा जाता है, x² − ny² = 1, और इसके समाधान के लिए एक तरीका ढूंढा। यूरोप में इस समस्या का अध्ययन विलियम ब्रॉन्कर, द्वितीय विस्काउंट ब्रॉन्कर, लियोनहार्ड यूलर और जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने किया था।

1801 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अंकगणितीय शोध प्रकाशित किया, जिसका एक बड़ा हिस्सा पूर्णांकों पर द्विआधारी द्विघात रूपों के एक पूर्ण सिद्धांत के लिए समर्पित था। तब से, अवधारणा को सामान्यीकृत किया गया है, और द्विघात संख्या क्षेत्र ों, मॉड्यूलर समूह और गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ संबंधों को और स्पष्ट किया गया है।

संबद्ध सममित मैट्रिक्स

कोई भी n×n आव्यूह A एक द्विघात रूप निर्धारित करता है q_A में n द्वारा चर

$q_A(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}{x}_i{x}_j={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}A$