विश्व रेखा

किसी वस्तु की विश्व रेखा वो पथ है जिसे कोई वस्तु चतुर्विमीय दिक्काल में खोज करती है। यह आधुनिक भौतिक विज्ञान और विशेष रूप से सैद्धांतिक भौतिक विज्ञान में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

एक विश्व रेखा की अवधारणा को "समय" द्वारा एक ग्रहपथ या एक प्रक्षेप पथ,;उदाहरण के लिए,एक ग्रह की 'अंतरिक्ष में ग्रहपथ' या सड़क पर कार के 'प्रक्षेपण' जैसी अवधारणाओं से अलग किया जाता है सामान्य तौर पर दिक्काल के एक बड़े क्षेत्र को शामिल करता है,जिसमें अवधारणात्मक रूप से सीधे पथों को उनकी सापेक्षता के सिद्धांत या गुरुत्वाकर्षण की परस्पर क्रिया की और अधिक सटीक अवस्था दिखाने के लिए पुनर्गणना की जाती है।

विश्व रेखाओं का विचार भौतिक विज्ञान में उत्पन्न हुआ था और हरमन मिंकोव्स्की द्वारा अग्रणी किया गया था। यह शब्द अब सबसे अधिक बार सापेक्षता सिद्धांतों यानी, विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में उपयोग किया जाता है।

भौतिक विज्ञान में प्रयोग

भौतिक विज्ञान में, किसी वस्तु की एक विश्व रेखा (अंतरिक्ष में एक बिंदु के रूप में अनुमानित, उदाहरण के लिए,एक कण या पर्यवेक्षक) वस्तु के इतिहास के अनुरूप स्पेसटाइम घटनाओं का अनुक्रम है। दिक्काल में विश्व रेखा एक विशेष प्रकार का वक्र है। विश्व रेखा स्पेसटाइम में एक समय-समान वक्र है। विश्व रेखा का प्रत्येक बिंदु एक घटना है जिसे उस समय और उस समय वस्तु की स्थानिक स्थिति के साथ अंकित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए,अंतरिक्ष में पृथ्वी की भ्रमण पथ लगभग एक वृत्त है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-विमीय (बंद) वक्र है: पृथ्वी प्रत्येक वर्ष सूर्य के सापेक्ष अंतरिक्ष में उसी बिंदु पर लौटती है। हालाँकि,यह एक अलग समय पर वहाँ पहुँचता है। पृथ्वी की विश्व रेखा दिक्काल में घुमावदार है इसलिए उसी बिंदु पर वापस नहीं आती है।

दिक्काल घटनाओं की पहचान करने वाली एक सतत और सुचारू समन्वय प्रणाली के साथ घटनाओं का संग्रह है। प्रत्येक घटना को चार संख्याओं द्वारा अंकित किया जा सकता है: एक समय समन्वय और तीन स्थान निर्देशांक; इस प्रकार दिक्काल एक चतुर्विमीय स्थान है। दिक्काल के लिए गणितीय शब्द एक चतुर्विम समष्टि है। इस धारणा को उच्च-विमीय स्थान पर भी लागू किया जा सकता है। चार विमियों के आसान दृष्टिकोण के लिए,दो अंतरिक्ष निर्देशांक अक्सर दबा दिए जाते हैं। घटना को तब मिंकोव्स्की आरेख में एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है, जो कि एक समतल सतह है जिसे आमतौर पर समय के समन्वय के साथ खंड किया जाता है, माना की $t$, ऊपर की ओर अंतरिक्ष समन्वय करते हैं, और $x$ क्षैतिज रूप से जैसा कि एफ.आर. हार्वे द्वारा व्यक्त किया गया है।

दिक्काल में एक वक्र M को एक कण की एक विश्व रेखा कहा जाता है यदि इसकी स्पर्शरेखा प्रत्येक बिंदु पर भविष्य के समय की तरह हो। वक्राकार लंबाई मापदंड को उचित समय कहा जाता है और आमतौर पर इसे t के रूप में दर्शाया जाता है। M की लंबाई कण का उचित समय कहलाती है। यदि विश्व रेखा M एक रेखाखंड है, तो कण को स्वंतत्र ढलान मे कहा जाता है।

एक विश्व रेखा दिक्काल में एक बिंदु के पथ का पता लगाती है। एक विश्व पत्रक दिक्काल के माध्यम से यात्रा करने वाली एक-विमीय रेखा द्वारा खोजी गई समान द्वि-विमीय सतह है। एक खुली डोरी की विश्व पत्रक ढीले सिरों वाली एक पट्टी होती है और एक बंद डोरी एक नली के समान होती है।

एक बार जब वस्तु को केवल एक बिंदु के रूप में नहीं बल्कि विस्तारित मात्रा के रूप में अनुमानित किया जाता है,तो यह एक विश्व रेखा नहीं बल्कि एक विश्व नली का पता लगाता है।

घटनाओं का वर्णन करने के लिए एक उपकरण के रूप में विश्व रेखाएं

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विश्व रेखा,विश्व पत्रक् और विश्व मात्रा,क्योंकि वे प्राथमिक कण ,शृंखला सिद्धांत और मेम्ब्रेन (एम-थ्योरी) से प्राप्त होते हैं।

एक-विमीय रेखा या वक्र को निर्देशांक द्वारा एक मापदंड के कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है। मापदंड का प्रत्येक मान दिक्काल में एक बिंदु से मेल खाता है और मापदंड को अलग-अलग करके एक रेखा का पता लगाता है। गणितीय शब्दों में एक वक्र को चार समन्वय कार्यों द्वारा परिभाषित किया जाता है $x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3$ (जहां पर $x^{0}$ आमतौर पर समय समन्वय को दर्शाता है) एक मापदंड के आधार पर $\tau$.दिक्काल में एक समन्वय ग्रिड,वक्र का समूह है,जो चार में से तीन समन्वय कार्य को स्थिर करने पर प्राप्त होता है।

कभी-कभी, विश्व रेखा शब्द का प्रयोग दिक्काल में किसी भी वक्र के लिए शिथिल रूप से किया जाता है। यह शब्दावली भ्रम पैदा करती है। अधिक विस्तार से,एक विश्व रेखा दिक्काल में एक वक्र है जो एक कण,पर्यवेक्षक या छोटी वस्तु के (समय) इतिहास का पता लगाती है। सामान्य तौर पर किसी वस्तु या प्रेक्षक के उचित समय को वक्र मापदंड के रूप में लिया जाता है $\tau$ विश्व रेखा के साथ।

दिक्काल वक्र के कुछ उदाहरण

तीन अलग-अलग विश्व रेखाएं विभिन्न स्थिर चार-वेगों पर यात्रा का प्रतिनिधित्व करती हैं। t समय और x दूरी है।

एक वक्र जिसमें एक क्षैतिज रेखा खंड होता है,दिक्काल में एक छड़ का प्रतिनिधित्व कर सकता है और उचित अर्थों में एक विश्व रेखा नहीं होगी। मापदंड छड़ की लंबाई का पता लगाता है। स्थिर स्थान समन्वय पर एक रेखा (ऊपर अपनाए गए सम्मेलन में एक लंबवत रेखा) अवशेष पर एक कण का प्रतिनिधित्व कर सकती है। एक झुकी हुई रेखा एक स्थिर समन्वय गति के साथ एक कण का प्रतिनिधित्व करती है। जितनी अधिक रेखा लंबवत से झुकी होती है,गति उतनी ही अधिक होती है।

दो विश्व रेखाएँ जो अलग-अलग शुरू होती हैं और फिर प्रतिच्छेद करती हैं,टकराव या संघट्टन का संकेत देती हैं। दिक्काल में एक ही घटना से शुरू होने वाली दो विश्व रेखाएं, प्रत्येक अपने स्वयं के पथ का अनुसरण करती हैं, एक कण के दो अन्य में क्षति या एक कण के दूसरे द्वारा उत्सर्जन का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं।

एक कण और एक पर्यवेक्षक की विश्व रेखाएं एक फोटॉन (प्रकाश का मार्ग) की विश्व रेखा से जुड़ी हो सकती हैं और एक कण द्वारा एक फोटॉन के उत्सर्जन को दर्शाने वाला आरेख बना सकती हैं जिसे बाद में पर्यवेक्षक द्वारा देखा जाता है या किसी अन्य कण द्वारा अवशोषित किया जाता है।

विश्व रेखा की स्पर्शरेखा सदिश: चतुर्विमीय

चार समन्वय कार्य $x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3$ एक विश्व रेखा को परिभाषित करना, एक वास्तविक परिवर्तन के वास्तविक कार्य हैं $\tau$ और सामान्य गणना में आसानी से विभेदित किया जा सकता है। एक मीट्रिक के अस्तित्व के बिना कोई एक बिंदु के बीच के अंतर के बारे में बात कर सकता है $p$ मापदंड मान पर वक्र पर $\tau _{0}$ और वक्र पर एक बिंदु का मापदंड ( $\tau _{0}+\Delta \tau$) थोड़ा दूर दर्शाता है। सीमा में $\Delta \tau \to 0$, इस अंतर से विभाजित $\Delta \tau$ एक वेक्टर को परिभाषित करता है, बिंदु पर विश्व रेखा का स्पर्शरेखा वेक्टर $p$. यह एक चतुर्विमीय वेक्टर है, जिसे बिंदु में परिभाषित किया गया है $p$. यह वस्तु के सामान्य त्रिविमीय वेग से जुड़ा है और इसलिए इसे चतुर्विमीय समष्टि कहा जाता है ${\vec {v}}$,।

$${\vec {v}}=\left(v^{0},v^{1},v^{2},v^{3}\right)=\left({\frac {dx^{0}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{1}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{2}}{d\tau }}\;,{\frac {dx^{3}}{d\tau }}\right)$$

जहां व्युत्पन्न बिंदु पर लिया जाता है $p$, तो $\tau =\tau _{0}$.

बिंदु p से जाने वाले सभी वक्रों में स्पर्शरेखा सदिश होती है,न कि केवल विश्व रेखाएँ। दो सदिशों का योग फिर से किसी अन्य वक्र पर स्पर्शरेखा सदिश होता है और एक अदिश से गुणा करने पर भी यही होता है। इसलिए, एक बिंदु p में सभी स्पर्शरेखा सदिश एक रैखिक स्थान को फैलाते हैं, जिसे बिंदु p पर स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है। उदाहरण के लिए,पृथ्वी की घुमावदार सतह की तरह द्विविमीय स्थान लेते हुए,एक विशिष्ट बिंदु पर इसका स्पर्शरेखा स्थान घुमावदार स्थान का समतल सन्निकटन होगा।

विशेष सापेक्षता में विश्व रेखाएं

घटनाओं के बीच अंतराल को मापने के साधन के बिना अब तक एक विश्व रेखा और स्पर्शरेखा वैक्टर की अवधारणा का वर्णन किया गया है। सामान्य गणित के अनुसार: विशेष सापेक्षता का सिद्धांत संभावित विश्व रेखाओं पर कुछ बाधाएं डालता है। विशेष सापेक्षता में दिक्काल का वर्णन विशेष समन्वय प्रणालियों तक सीमित है जो गति नहीं करते हैं और इसलिए या तो घूमते नहीं हैं,संदर्भों को निष्क्रिय फ्रेम कहा जाता है। ऐसी समन्वय प्रणालियों में, प्रकाश की गति स्थिर होती है। दिक्काल की संरचना एक द्विरेखीय रूप द्वारा निर्धारित की जाती है, जो प्रत्येक जोड़ी की घटनाओं के लिए एक वास्तविक संख्या देता है। द्विरैखीय स्थिति को कभी-कभी दिक्काल मीट्रिक कहा जाता है, लेकिन अलग-अलग घटनाओं के परिणामस्वरूप कभी-कभी मान शून्य होता है, गणित के मीट्रिक रिक्त स्थान में मीट्रिक के विपरीत, द्विरैखिक दिक्काल पर गणितीय मीट्रिक नहीं होता है।

स्वंतत्र रूप से गिरने वाले कणों/वस्तुओं की विश्व रेखाओं को जियोडेजिक्स कहा जाता है। विशेष सापेक्षता में ये मिंकोवस्की अंतरिक्ष में सीधी रेखाएं हैं।

अक्सर समय इकाइयों को इस तरह चुना जाता है कि प्रकाश की गति को एक निश्चित कोण पर रेखाओं द्वारा दर्शाया जा सके,आमतौर पर 45 डिग्री पर ऊर्ध्वाधर (समय) अक्ष के साथ एक कोन बनाते हैं। सामान्य तौर पर,दिक्काल में उपयोगी वक्र तीन प्रकार के हो सकते हैं (अन्य प्रकार आंशिक रूप से एक और आंशिक रूप से दूसरे प्रकार के होंगे) ;

• 'प्रकाश-समान' वक्र,प्रत्येक बिंदु पर प्रकाश की गति वाले होते है। वे दिक्काल में एक कोन बनाते हैं, इसे दो भागों में विभाजित किया जाता हैं। दिक्काल में कोन त्रि-विमीय है,दो विमीयो के साथ चित्रों में एक रेखा के रूप में दिखाई देता है,और एक स्थानिक विमीय के साथ चित्रों में कोन के रूप में दबाया जाता है।

File:World line2.svg

एक प्रकाश शंकु का एक उदाहरण, अंतरिक्ष समय में एक बिंदु से आने और जाने वाली सभी संभावित प्रकाश किरणों की त्रि-आयामी सतह। यहाँ, इसे एक स्थानिक आयाम को दबा कर दर्शाया गया है।

File:Lorentz transform of world line.gif

एक तेजी से गतिमान पर्यवेक्षक (केंद्र) के प्रक्षेपवक्र (विश्व रेखा) के साथ क्षणिक रूप से सह-चलती जड़त्वीय फ्रेम। ऊर्ध्वाधर दिशा समय को इंगित करती है, जबकि क्षैतिज दूरी को इंगित करती है, धराशायी रेखा पर्यवेक्षक का स्पेसटाइम है। छोटे बिंदु स्पेसटाइम में विशिष्ट घटनाएँ हैं। ध्यान दें कि जब पर्यवेक्षक गति करता है तो क्षणिक रूप से सह-चलती जड़त्वीय फ्रेम कैसे बदलता है।

* समय के समान वक्र,जिनकी गति प्रकाश की गति से कम होती है। ये वक्र प्रकाश-समान वक्रों द्वारा परिभाषित कोन के भीतर आने चाहिए। सामान्य भाषा में: विश्व रेखाएं दिक्काल में समय-समान वक्र हैं।

*अंतरिक्ष की तरह वक्र प्रकाश कोन के बाहर गिरते है। उदाहरण के लिए ऐसे वक्र किसी भौतिक वस्तु की लंबाई का वर्णन कर सकते हैं। एक बेलन की परिधि और छड़ की लंबाई अंतरिक्ष जैसे वक्र हैं।

विश्व रेखा पर दी गई घटना में, दिक्काल में मिन्कोव्स्की स्पेस को तीन भागों में बांटा गया है।

• दी गई घटना का भविष्य उन सभी घटनाओं से बनता है जो भविष्य के प्रकाश कोन के भीतर स्थित समय-समान वक्रों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती हैं।
• दी गई घटना का अतीत उन सभी घटनाओं से बनता है जो घटना को प्रभावित कर सकती हैं अर्थात,जो पिछले प्रकाश कोन के भीतर दी गई घटना से विश्व रेखाओं से जुड़ी हो सकती है।
• दी गई घटना में प्रकाश कोन उन सभी घटनाओं से बनता है जिन्हें प्रकाश किरणों के माध्यम से घटना से जोड़ा जा सकता है। जब हम रात में आकाश का निरीक्षण करते हैं,तो हम मूल रूप से पूरे दिक्काल के भीतर केवल पिछले प्रकाश कोन को देखते हैं।
• अन्यत्र दो प्रकाश शंकुओं के बीच का क्षेत्र है। एक पर्यवेक्षक के अन्यंत्र अंक उनके लिए दुर्गम हैं;अतीत में केवल बिंदु ही पर्यवेक्षक को संकेत भेज सकते हैं। सामान्य प्रयोगशाला अनुभव में,सामान्य इकाइयों और माप के तरीकों का उपयोग करते हुए, ऐसा लगता है कि हम वर्तमान को देखते हैं,लेकिन वास्तव में प्रकाश के फैलने में हमेशा देरी होती है। उदाहरण के लिए,हम सूर्य को वैसे ही देखते हैं जैसे वह लगभग 8 मिनट पहले था,न कि अभी जैसा है। गैलीलियन/न्यूटोनियन सिद्धांत में वर्तमान के विपरीत, अन्यत्र घना है; यह त्रिविमीय आयतन नहीं है, बल्कि चतुर्विमीय क्षेत्र है।
  • हाइपरप्लेन समकालिक अन्यत्र में शामिल है, जो किसी दिए गए पर्यवेक्षक के लिए एक ऐसे स्थान द्वारा परिभाषित किया गया है जो उनकी विश्व रेखा के लिए अतिपर्वलिक-ऑर्थोगोनल है। यह वास्तव में त्रि-विमीय है, हालांकि यह आरेख में द्वि सतह होगा क्योंकि एक स्पष्ट चित्र बनाने के लिए एक विमीय को हटाना पड़ा था। यद्यपि प्रकाश कोन किसी दिए गए दिक्काल बिंदु में सभी पर्यवेक्षकों के लिए समान होते हैं,अलग-अलग पर्यवेक्षकों,अलग-अलग वेगों के साथ, लेकिन दिक्काल में बिंदु पर संयोग से,दुनिया की रेखाएं होती हैं जो उनके सापेक्ष वेगों द्वारा निर्धारित कोण पर एक दूसरे को पार करती हैं,और इस प्रकार उनके पास अलग-अलग एक साथ हाइपरप्लेन हैं।
  • वर्तमान का अर्थ अक्सर एकल दिक्काल घटना पर माना जाता है।

समकालिक हाइपरप्लेन

एक विश्व रेखा के बाद से $w(\tau )\in R^{4}$ एक वेग निर्धारित करता है चतुर्विमीय $v={\frac {dw}{d\tau }}$ वह समय की तरह है, मिंकोव्स्की रूप $\eta (v,x)$ एक रैखिक कार्य निर्धारित करता है $R^{4}\rightarrow R$ द्वारा $x\mapsto \eta (v,x).$