लाई (lie) बीजगणित

"Lie bracket" redirects here. For the operation on vector fields, see Lie bracket of vector fields.

गणित में, एक झूठ बीजगणित (उच्चारण /liː/ LEE) एक सदिश स्थान है ${\mathfrak {g}}$ एक साथ एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ जिसे लाई ब्रैकेट कहा जाता है, एक वैकल्पिक बहुरेखीय नक्शा ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, जो जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है। दो सदिशों का झूठ कोष्ठक $x$ तथा $y$ निरूपित किया जाता है $[x,y]$. वेक्टर स्थान ${\mathfrak {g}}$ और यह ऑपरेशन एक गैर-सहयोगी बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि लाइ ब्रैकेट आवश्यक रूप से साहचर्य संपत्ति नहीं है।

झूठ बीजगणित झूठ समूहों से निकटता से संबंधित हैं, जो समूह (गणित) हैं जो चिकनी कई गुना भी हैं: कोई झूठ समूह झूठ बीजगणित को जन्म देता है, जो पहचान पर इसकी स्पर्शरेखा जगह है। इसके विपरीत, वास्तविक या जटिल संख्याओं पर किसी भी परिमित-आयामी लाई बीजगणित के लिए, एक संबंधित जुड़ा हुआ स्थान लाई समूह होता है जो परिमित आवरण (ली का तीसरा प्रमेय) तक अद्वितीय होता है। यह झूठ समूह-झूठ बीजगणित पत्राचार एक को झूठ बीजगणित के संदर्भ में झूठ समूहों के सरल झूठ समूहों की संरचना और सूची का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

भौतिक विज्ञान में, झूठ समूह भौतिक प्रणालियों के समरूपता समूहों के रूप में प्रकट होते हैं, और उनके झूठ बीजगणित (पहचान के निकट स्पर्शरेखा सदिश) को अतिसूक्ष्म समरूपता गति के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार अलजेब्रा और उनके निरूपण भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी और कण भौतिकी में।

एक प्राथमिक उदाहरण तीन आयामी वैक्टर का स्थान है ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ क्रॉस उत्पाद द्वारा परिभाषित ब्रैकेट ऑपरेशन के साथ $[x,y]=x\times y.$ यह तिरछा-सममित है $x\times y=-y\times x$, और सहयोगीता के बजाय यह जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है:

$x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\times z).$

यह 3डी रोटेशन समूह के लाई समूह और प्रत्येक सदिश का लाई बीजगणित है $v\in \mathbb {R} ^{3}$ अक्ष के चारों ओर एक अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में चित्रित किया जा सकता है $v$, के परिमाण के बराबर वेग के साथ $v$. लाइ ब्रैकेट दो घुमावों के बीच गैर-कम्यूटेटिविटी का एक उपाय है: चूंकि एक रोटेशन स्वयं के साथ आता है, हमारे पास वैकल्पिक संपत्ति है $[x,x]=x\times x=0$.