ट्रेस ऑपरेटर

एक आयत पर परिभाषित एक फ़ंक्शन (शीर्ष आकृति, लाल रंग में), और इसका ट्रेस (निचला आंकड़ा, लाल रंग में)।

गणित में, ट्रेस ऑपरेटर सोबोलेव स्पेस में सामान्यीकृत फलनों के लिए अपने डोमेन की सीमा तक फलन के प्रतिबंध की धारणा को बढ़ाता है। यह निर्धारित सीमा स्थितियों (सीमा मान समस्याओं) के साथ आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां कमजोर समाधान फलनों के पारम्परिक अर्थों में सीमा शर्तों को पूरा करने के लिए नियमित रूप से पर्याप्त नहीं हो सकते हैं।

प्रेरणा

एक परिबद्ध, चिकने डोमेन (गणितीय विश्लेषण) ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ पर, विषम के साथ पॉइसन के समीकरण को हल करने की समस्या पर विचार करें डिरिचलेट सीमा शर्तें:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

दिए गए फलन ${\textstyle f}$ तथा ${\textstyle g}$ के साथ नियमितता के साथ नीचे दिए गए एप्लिकेशन सेक्शन में चर्चा की गई है। इस समीकरण के कमजोर समाधान ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ को संतुष्ट करना चाहिए

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ सभी के लिए ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$ .

${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle u}$ की नियमितता इस अभिन्न समीकरण की अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। चूँकि, यह स्पष्ट नहीं है कि ${\textstyle u}$ किस अर्थ में सीमा शर्त ${\textstyle u=g}$ पर ${\textstyle \partial \Omega }$: को संतुष्ट कर सकते हैं परिभाषा के अनुसार, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ फलनों का एक तुल्यता वर्ग है जिसका ${\textstyle \partial \Omega }$ पर मनमाना मान हो सकता है चूंकि यह n-आयामी लेबेस्गु माप के संबंध में एक शून्य सेट है।

यदि ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ में ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ रखने पर, सोबोलेव का एम्बेडिंग प्रमेय, जैसे कि ${\textstyle u}$ पारम्परिक अर्थों में सीमा की स्थिति को संतुष्ट कर सकता है, अर्थात ${\textstyle u}$ से आंशिक ${\textstyle \partial \Omega }$ का प्रतिबंध फलन ${\textstyle g}$ से सहमत हैं (अधिक उपयुक्त रूप से: ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ में ${\textstyle u}$ का एक प्रतिनिधि मौजूद है इस गुण के साथ)। ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n>1}$ के साथ ऐसा एम्बेडिंग उपस्थित नहीं है और यहां प्रस्तुत ट्रेस ऑपरेटर ${\textstyle T}$ का प्रयोग ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ का अर्थ देने के लिए किया जाना चाहिए | फिर ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ के साथ ${\textstyle Tu=g}$ को सीमा मान समस्या का एक कमजोर समाधान कहा जाता है यदि ऊपर दिए गए अभिन्न समीकरण को संतुष्ट किया जाता है। ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा उचित होने के लिए, पर्याप्त रूप से नियमित ${\textstyle u}$ के लिए ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ करना आवश्यक है। |

ट्रेस प्रमेय

ट्रेस ऑपरेटर को सोबोलेव स्पेस ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ में ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ के साथ फलनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, अन्य स्थानों पर ट्रेस के संभावित विस्तार के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें। माना ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ के लिये ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ लिप्सचिट्ज़ सीमा के साथ एक परिबद्ध डोमेन हो। तबवहाँ एक परिबद्ध रेखीय ट्रेस ऑपरेटर उपस्थित है

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$